Theorem sraring 13758

Description: Condition for a subring algebra to be a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sraring.1	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
sraring.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sraring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)

Proof of Theorem sraring

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2		sraring.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4		sraring.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
5	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉))
6		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝑉 ⊆ 𝐵)
7	6, 2	sseqtrdi 3218	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑅))
8	7	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑅))
9	5, 8, 1	srabaseg 13748	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐴))
10	2, 9	eqtrid 2234	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝐴))
11	5, 8, 1	sraaddgg 13749	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐴))
12	11	oveqdr 5920	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐴)𝑦))
13	5, 8, 1	sramulrg 13750	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐴))
14	13	oveqdr 5920	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐴)𝑦))
15	3, 10, 12, 14	ringpropd 13385	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝐴 ∈ Ring))
16	1, 15	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ⊆ wss 3144  ‘cfv 5232  Basecbs 12507  +_gcplusg 12582  ._rcmulr 12583  Ringcrg 13343  subringAlg csra 13742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-addcom 7936  ax-addass 7938  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-ltadd 7952

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-ltxr 8022  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-5 9006  df-6 9007  df-7 9008  df-8 9009  df-ndx 12510  df-slot 12511  df-base 12513  df-sets 12514  df-iress 12515  df-plusg 12595  df-mulr 12596  df-sca 12598  df-vsca 12599  df-ip 12600  df-0g 12756  df-mgm 12825  df-sgrp 12858  df-mnd 12871  df-grp 12941  df-mgp 13268  df-ring 13345  df-sra 13744

This theorem is referenced by: (None)