Theorem sraring 14261

Description: Condition for a subring algebra to be a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sraring.1	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
sraring.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sraring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)

Proof of Theorem sraring

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2		sraring.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4		sraring.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
5	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉))
6		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝑉 ⊆ 𝐵)
7	6, 2	sseqtrdi 3243	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑅))
8	7	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑅))
9	5, 8, 1	srabaseg 14251	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐴))
10	2, 9	eqtrid 2251	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝐴))
11	5, 8, 1	sraaddgg 14252	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐴))
12	11	oveqdr 5982	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐴)𝑦))
13	5, 8, 1	sramulrg 14253	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐴))
14	13	oveqdr 5982	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐴)𝑦))
15	3, 10, 12, 14	ringpropd 13850	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝐴 ∈ Ring))
16	1, 15	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ⊆ wss 3168  ‘cfv 5277  Basecbs 12882  +_gcplusg 12959  ._rcmulr 12960  Ringcrg 13808  subringAlg csra 14245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-addass 8040  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-ltadd 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-ltxr 8125  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-5 9111  df-6 9112  df-7 9113  df-8 9114  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-base 12888  df-sets 12889  df-iress 12890  df-plusg 12972  df-mulr 12973  df-sca 12975  df-vsca 12976  df-ip 12977  df-0g 13140  df-mgm 13238  df-sgrp 13284  df-mnd 13299  df-grp 13385  df-mgp 13733  df-ring 13810  df-sra 14247

This theorem is referenced by: (None)