Theorem sraring 14589

Description: Condition for a subring algebra to be a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sraring.1	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
sraring.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sraring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)

Proof of Theorem sraring

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2		sraring.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4		sraring.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
5	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉))
6		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝑉 ⊆ 𝐵)
7	6, 2	sseqtrdi 3285	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑅))
8	7	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑅))
9	5, 8, 1	srabaseg 14579	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐴))
10	2, 9	eqtrid 2277	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝐴))
11	5, 8, 1	sraaddgg 14580	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐴))
12	11	oveqdr 6077	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐴)𝑦))
13	5, 8, 1	sramulrg 14581	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐴))
14	13	oveqdr 6077	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐴)𝑦))
15	3, 10, 12, 14	ringpropd 14174	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝐴 ∈ Ring))
16	1, 15	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ⊆ wss 3210  ‘cfv 5351  Basecbs 13204  +_gcplusg 13282  ._rcmulr 13283  Ringcrg 14132  subringAlg csra 14573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-ltxr 8312  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-sets 13211  df-iress 13212  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-sca 13298  df-vsca 13299  df-ip 13300  df-0g 13463  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622  df-grp 13708  df-mgp 14057  df-ring 14134  df-sra 14575

This theorem is referenced by: (None)