Theorem sraring 14398

Description: Condition for a subring algebra to be a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sraring.1	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
sraring.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sraring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)

Proof of Theorem sraring

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2		sraring.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4		sraring.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
5	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉))
6		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝑉 ⊆ 𝐵)
7	6, 2	sseqtrdi 3272	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑅))
8	7	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑅))
9	5, 8, 1	srabaseg 14388	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐴))
10	2, 9	eqtrid 2274	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝐴))
11	5, 8, 1	sraaddgg 14389	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐴))
12	11	oveqdr 6022	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐴)𝑦))
13	5, 8, 1	sramulrg 14390	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐴))
14	13	oveqdr 6022	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐴)𝑦))
15	3, 10, 12, 14	ringpropd 13987	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝐴 ∈ Ring))
16	1, 15	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  ‘cfv 5314  Basecbs 13018  +_gcplusg 13096  ._rcmulr 13097  Ringcrg 13945  subringAlg csra 14382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-ltxr 8174  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-5 9160  df-6 9161  df-7 9162  df-8 9163  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-sets 13025  df-iress 13026  df-plusg 13109  df-mulr 13110  df-sca 13112  df-vsca 13113  df-ip 13114  df-0g 13277  df-mgm 13375  df-sgrp 13421  df-mnd 13436  df-grp 13522  df-mgp 13870  df-ring 13947  df-sra 14384

This theorem is referenced by: (None)