Theorem sraring 14456

Description: Condition for a subring algebra to be a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sraring.1	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
sraring.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sraring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)

Proof of Theorem sraring

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2		sraring.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4		sraring.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉)
5	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑉))
6		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝑉 ⊆ 𝐵)
7	6, 2	sseqtrdi 3273	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑅))
8	7	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑅))
9	5, 8, 1	srabaseg 14446	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐴))
10	2, 9	eqtrid 2274	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝐴))
11	5, 8, 1	sraaddgg 14447	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐴))
12	11	oveqdr 6041	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐴)𝑦))
13	5, 8, 1	sramulrg 14448	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐴))
14	13	oveqdr 6041	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐴)𝑦))
15	3, 10, 12, 14	ringpropd 14044	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝐴 ∈ Ring))
16	1, 15	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3198  ‘cfv 5324  Basecbs 13075  +_gcplusg 13153  ._rcmulr 13154  Ringcrg 14002  subringAlg csra 14440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-ltxr 8212  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-sets 13082  df-iress 13083  df-plusg 13166  df-mulr 13167  df-sca 13169  df-vsca 13170  df-ip 13171  df-0g 13334  df-mgm 13432  df-sgrp 13478  df-mnd 13493  df-grp 13579  df-mgp 13927  df-ring 14004  df-sra 14442

This theorem is referenced by: (None)