Theorem ssfzo12 10180

Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssfzo12	|- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )

Proof of Theorem ssfzo12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzolb2 10110	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( K e. ( K..^ L ) <-> K < L ) )
2	1	biimp3ar 1341	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> K e. ( K..^ L ) )
3		fzoend 10178	. . 3 |- ( K e. ( K..^ L ) -> ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) )
4		ssel2 3142	. . . . . . 7 |- ( ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) /\ K e. ( K..^ L ) ) -> K e. ( M..^ N ) )
5		ssel2 3142	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) /\ ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) ) -> ( L - 1 ) e. ( M..^ N ) )
6		elfzolt2 10112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L - 1 ) e. ( M..^ N ) -> ( L - 1 ) < N )
7		simp2 993	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> L e. ZZ )
8		elfzoel2 10102	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( M..^ N ) -> N e. ZZ )
9		zlem1lt 9268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( L <_ N <-> ( L - 1 ) < N ) )
10	7, 8, 9	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( M..^ N ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) ) -> ( L <_ N <-> ( L - 1 ) < N ) )
11		elfzole1 10111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( M..^ N ) -> M <_ K )
12		pm3.2 138	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M <_ K -> ( L <_ N -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( M..^ N ) -> ( L <_ N -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
14	13	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( M..^ N ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) ) -> ( L <_ N -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
15	10, 14	sylbird 169	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( M..^ N ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) ) -> ( ( L - 1 ) < N -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
16	15	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( M..^ N ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( L - 1 ) < N -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
17	16	com13 80	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L - 1 ) < N -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( K e. ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
18	5, 6, 17	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) /\ ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( K e. ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
19	18	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( K e. ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
20	19	com24 87	. . . . . . 7 |- ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( K e. ( M..^ N ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
21	4, 20	syl5com 29	. . . . . 6 |- ( ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) /\ K e. ( K..^ L ) ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
22	21	ex 114	. . . . 5 |- ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( K e. ( K..^ L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) ) )
23	22	pm2.43a 51	. . . 4 |- ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( K e. ( K..^ L ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
24	23	com14 88	. . 3 |- ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( K e. ( K..^ L ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
25	3, 24	mpcom 36	. 2 |- ( K e. ( K..^ L ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
26	2, 25	mpcom 36	1 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   e. wcel 2141   C_ wss 3121   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   1c1 7775   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   ZZcz 9212  ..^cfzo 10098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099

This theorem is referenced by:  ssfzo12bi  10181