Theorem ssfzo12 10149

Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssfzo12	|- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )

Proof of Theorem ssfzo12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzolb2 10079	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( K e. ( K..^ L ) <-> K < L ) )
2	1	biimp3ar 1335	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> K e. ( K..^ L ) )
3		fzoend 10147	. . 3 |- ( K e. ( K..^ L ) -> ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) )
4		ssel2 3132	. . . . . . 7 |- ( ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) /\ K e. ( K..^ L ) ) -> K e. ( M..^ N ) )
5		ssel2 3132	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) /\ ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) ) -> ( L - 1 ) e. ( M..^ N ) )
6		elfzolt2 10081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L - 1 ) e. ( M..^ N ) -> ( L - 1 ) < N )
7		simp2 987	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> L e. ZZ )
8		elfzoel2 10071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( M..^ N ) -> N e. ZZ )
9		zlem1lt 9238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( L <_ N <-> ( L - 1 ) < N ) )
10	7, 8, 9	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( M..^ N ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) ) -> ( L <_ N <-> ( L - 1 ) < N ) )
11		elfzole1 10080	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( M..^ N ) -> M <_ K )
12		pm3.2 138	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M <_ K -> ( L <_ N -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( M..^ N ) -> ( L <_ N -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
14	13	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( M..^ N ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) ) -> ( L <_ N -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
15	10, 14	sylbird 169	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( M..^ N ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) ) -> ( ( L - 1 ) < N -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
16	15	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( M..^ N ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( L - 1 ) < N -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
17	16	com13 80	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L - 1 ) < N -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( K e. ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
18	5, 6, 17	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) /\ ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( K e. ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
19	18	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( K e. ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
20	19	com24 87	. . . . . . 7 |- ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( K e. ( M..^ N ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
21	4, 20	syl5com 29	. . . . . 6 |- ( ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) /\ K e. ( K..^ L ) ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
22	21	ex 114	. . . . 5 |- ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( K e. ( K..^ L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) ) )
23	22	pm2.43a 51	. . . 4 |- ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( K e. ( K..^ L ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
24	23	com14 88	. . 3 |- ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( K e. ( K..^ L ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
25	3, 24	mpcom 36	. 2 |- ( K e. ( K..^ L ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
26	2, 25	mpcom 36	1 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 967   e. wcel 2135   C_ wss 3111   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836   1c1 7745   < clt 7924   <_ cle 7925   - cmin 8060   ZZcz 9182  ..^cfzo 10067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-inn 8849  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-fz 9936  df-fzo 10068

This theorem is referenced by:  ssfzo12bi  10150