ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssfzo12 Unicode version

Theorem ssfzo12 10030
Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfzo12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )

Proof of Theorem ssfzo12
StepHypRef Expression
1 fzolb2 9960 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( K..^ L )  <->  K  <  L ) )
21biimp3ar 1325 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  K  e.  ( K..^ L ) )
3 fzoend 10028 . . 3  |-  ( K  e.  ( K..^ L
)  ->  ( L  -  1 )  e.  ( K..^ L ) )
4 ssel2 3095 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  /\  K  e.  ( K..^ L ) )  ->  K  e.  ( M..^ N ) )
5 ssel2 3095 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  /\  ( L  -  1 )  e.  ( K..^ L ) )  ->  ( L  -  1 )  e.  ( M..^ N ) )
6 elfzolt2 9962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  -  1 )  e.  ( M..^ N
)  ->  ( L  -  1 )  < 
N )
7 simp2 983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  L  e.  ZZ )
8 elfzoel2 9952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ZZ )
9 zlem1lt 9132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  N  <->  ( L  -  1 )  <  N ) )
107, 8, 9syl2anr 288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ( M..^ N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )  -> 
( L  <_  N  <->  ( L  -  1 )  <  N ) )
11 elfzole1 9961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  K )
12 pm3.2 138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  <_  K  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1311, 12syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1413adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ( M..^ N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )  -> 
( L  <_  N  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1510, 14sylbird 169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( M..^ N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )  -> 
( ( L  - 
1 )  <  N  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1615ex 114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( L  -  1 )  <  N  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
1716com13 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  -  1 )  <  N  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  -> 
( K  e.  ( M..^ N )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
185, 6, 173syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  /\  ( L  -  1 )  e.  ( K..^ L ) )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
1918ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  -> 
( ( L  - 
1 )  e.  ( K..^ L )  -> 
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2019com24 87 . . . . . . 7  |-  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  -> 
( K  e.  ( M..^ N )  -> 
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( L  -  1 )  e.  ( K..^ L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
214, 20syl5com 29 . . . . . 6  |-  ( ( ( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  /\  K  e.  ( K..^ L ) )  ->  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  -> 
( ( L  - 
1 )  e.  ( K..^ L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2221ex 114 . . . . 5  |-  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  -> 
( K  e.  ( K..^ L )  -> 
( ( K..^ L
)  C_  ( M..^ N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  -> 
( ( L  - 
1 )  e.  ( K..^ L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) ) )
2322pm2.43a 51 . . . 4  |-  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  -> 
( K  e.  ( K..^ L )  -> 
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( L  -  1 )  e.  ( K..^ L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2423com14 88 . . 3  |-  ( ( L  -  1 )  e.  ( K..^ L
)  ->  ( K  e.  ( K..^ L )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
253, 24mpcom 36 . 2  |-  ( K  e.  ( K..^ L
)  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
262, 25mpcom 36 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    e. wcel 1481    C_ wss 3074   class class class wbr 3935  (class class class)co 5780   1c1 7643    < clt 7822    <_ cle 7823    - cmin 7955   ZZcz 9076  ..^cfzo 9948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-cnex 7733  ax-resscn 7734  ax-1cn 7735  ax-1re 7736  ax-icn 7737  ax-addcl 7738  ax-addrcl 7739  ax-mulcl 7740  ax-addcom 7742  ax-addass 7744  ax-distr 7746  ax-i2m1 7747  ax-0lt1 7748  ax-0id 7750  ax-rnegex 7751  ax-cnre 7753  ax-pre-ltirr 7754  ax-pre-ltwlin 7755  ax-pre-lttrn 7756  ax-pre-ltadd 7758
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-int 3778  df-iun 3821  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-id 4221  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-fv 5137  df-riota 5736  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-1st 6044  df-2nd 6045  df-pnf 7824  df-mnf 7825  df-xr 7826  df-ltxr 7827  df-le 7828  df-sub 7957  df-neg 7958  df-inn 8743  df-n0 9000  df-z 9077  df-uz 9349  df-fz 9820  df-fzo 9949
This theorem is referenced by:  ssfzo12bi  10031
  Copyright terms: Public domain W3C validator