Theorem ssfzo12 9994

Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssfzo12	|- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )

Proof of Theorem ssfzo12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzolb2 9924	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( K e. ( K..^ L ) <-> K < L ) )
2	1	biimp3ar 1324	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> K e. ( K..^ L ) )
3		fzoend 9992	. . 3 |- ( K e. ( K..^ L ) -> ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) )
4		ssel2 3087	. . . . . . 7 |- ( ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) /\ K e. ( K..^ L ) ) -> K e. ( M..^ N ) )
5		ssel2 3087	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) /\ ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) ) -> ( L - 1 ) e. ( M..^ N ) )
6		elfzolt2 9926	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L - 1 ) e. ( M..^ N ) -> ( L - 1 ) < N )
7		simp2 982	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> L e. ZZ )
8		elfzoel2 9916	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( M..^ N ) -> N e. ZZ )
9		zlem1lt 9103	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( L <_ N <-> ( L - 1 ) < N ) )
10	7, 8, 9	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( M..^ N ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) ) -> ( L <_ N <-> ( L - 1 ) < N ) )
11		elfzole1 9925	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( M..^ N ) -> M <_ K )
12		pm3.2 138	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M <_ K -> ( L <_ N -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( M..^ N ) -> ( L <_ N -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
14	13	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( M..^ N ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) ) -> ( L <_ N -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
15	10, 14	sylbird 169	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( M..^ N ) /\ ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) ) -> ( ( L - 1 ) < N -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
16	15	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( M..^ N ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( L - 1 ) < N -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
17	16	com13 80	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L - 1 ) < N -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( K e. ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
18	5, 6, 17	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) /\ ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( K e. ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
19	18	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( K e. ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
20	19	com24 87	. . . . . . 7 |- ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( K e. ( M..^ N ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
21	4, 20	syl5com 29	. . . . . 6 |- ( ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) /\ K e. ( K..^ L ) ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
22	21	ex 114	. . . . 5 |- ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( K e. ( K..^ L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) ) )
23	22	pm2.43a 51	. . . 4 |- ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( K e. ( K..^ L ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
24	23	com14 88	. . 3 |- ( ( L - 1 ) e. ( K..^ L ) -> ( K e. ( K..^ L ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
25	3, 24	mpcom 36	. 2 |- ( K e. ( K..^ L ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
26	2, 25	mpcom 36	1 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   e. wcel 1480   C_ wss 3066   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   1c1 7614   < clt 7793   <_ cle 7794   - cmin 7926   ZZcz 9047  ..^cfzo 9912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784  df-fzo 9913

This theorem is referenced by:  ssfzo12bi  9995