ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssfzo12 Unicode version

Theorem ssfzo12 9566
Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfzo12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )

Proof of Theorem ssfzo12
StepHypRef Expression
1 fzolb2 9496 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( K..^ L )  <->  K  <  L ) )
21biimp3ar 1280 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  K  e.  ( K..^ L ) )
3 fzoend 9564 . . 3  |-  ( K  e.  ( K..^ L
)  ->  ( L  -  1 )  e.  ( K..^ L ) )
4 ssel2 3009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  /\  K  e.  ( K..^ L ) )  ->  K  e.  ( M..^ N ) )
5 ssel2 3009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  /\  ( L  -  1 )  e.  ( K..^ L ) )  ->  ( L  -  1 )  e.  ( M..^ N ) )
6 elfzolt2 9498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  -  1 )  e.  ( M..^ N
)  ->  ( L  -  1 )  < 
N )
7 simp2 942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  L  e.  ZZ )
8 elfzoel2 9488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ZZ )
9 zlem1lt 8742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  N  <->  ( L  -  1 )  <  N ) )
107, 8, 9syl2anr 284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ( M..^ N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )  -> 
( L  <_  N  <->  ( L  -  1 )  <  N ) )
11 elfzole1 9497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  K )
12 pm3.2 137 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  <_  K  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1311, 12syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1413adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ( M..^ N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )  -> 
( L  <_  N  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1510, 14sylbird 168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( M..^ N )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )  -> 
( ( L  - 
1 )  <  N  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1615ex 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( L  -  1 )  <  N  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
1716com13 79 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  -  1 )  <  N  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  -> 
( K  e.  ( M..^ N )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
185, 6, 173syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  /\  ( L  -  1 )  e.  ( K..^ L ) )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
1918ex 113 . . . . . . . 8  |-  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  -> 
( ( L  - 
1 )  e.  ( K..^ L )  -> 
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2019com24 86 . . . . . . 7  |-  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  -> 
( K  e.  ( M..^ N )  -> 
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( L  -  1 )  e.  ( K..^ L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
214, 20syl5com 29 . . . . . 6  |-  ( ( ( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  /\  K  e.  ( K..^ L ) )  ->  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  -> 
( ( L  - 
1 )  e.  ( K..^ L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2221ex 113 . . . . 5  |-  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  -> 
( K  e.  ( K..^ L )  -> 
( ( K..^ L
)  C_  ( M..^ N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  -> 
( ( L  - 
1 )  e.  ( K..^ L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) ) )
2322pm2.43a 50 . . . 4  |-  ( ( K..^ L )  C_  ( M..^ N )  -> 
( K  e.  ( K..^ L )  -> 
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( L  -  1 )  e.  ( K..^ L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2423com14 87 . . 3  |-  ( ( L  -  1 )  e.  ( K..^ L
)  ->  ( K  e.  ( K..^ L )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
253, 24mpcom 36 . 2  |-  ( K  e.  ( K..^ L
)  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
262, 25mpcom 36 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 922    e. wcel 1436    C_ wss 2988   class class class wbr 3822  (class class class)co 5615   1c1 7298    < clt 7469    <_ cle 7470    - cmin 7600   ZZcz 8686  ..^cfzo 9484
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-addcom 7392  ax-addass 7394  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-ltadd 7408
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-id 4096  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-inn 8361  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-fz 9360  df-fzo 9485
This theorem is referenced by:  ssfzo12bi  9567
  Copyright terms: Public domain W3C validator