Theorem ssfzo12 10591

Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssfzo12	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem ssfzo12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzolb2 10511	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) ↔ 𝐾 < 𝐿))
2	1	biimp3ar 1383	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿))
3		fzoend 10589	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿))
4		ssel2 3237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿)) → 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁))
5		ssel2 3237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿)) → (𝐿 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁))
6		elfzolt2 10513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐿 − 1) < 𝑁)
7		simp2 1025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
8		elfzoel2 10502	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
9		zlem1lt 9651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝑁 ↔ (𝐿 − 1) < 𝑁))
10	7, 8, 9	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐿 ≤ 𝑁 ↔ (𝐿 − 1) < 𝑁))
11		elfzole1 10512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)
12		pm3.2 139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
15	10, 14	sylbird 170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝐿 − 1) < 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
16	15	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) < 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
17	16	com13 80	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 − 1) < 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
18	5, 6, 17	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
19	18	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
20	19	com24 87	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
21	4, 20	syl5com 29	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿)) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
22	21	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))))
23	22	pm2.43a 51	. . . 4 ⊢ ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
24	23	com14 88	. . 3 ⊢ ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
25	3, 24	mpcom 36	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
26	2, 25	mpcom 36	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3214   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  1c1 8144   < clt 8324   ≤ cle 8325   − cmin 8460  ℤcz 9594  ..^cfzo 10498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499

This theorem is referenced by:  ssfzo12bi  10592