Theorem ssfzo12 10644

Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssfzo12	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem ssfzo12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzolb2 10564	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) ↔ 𝐾 < 𝐿))
2	1	biimp3ar 1387	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿))
3		fzoend 10642	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿))
4		ssel2 3243	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿)) → 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁))
5		ssel2 3243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿)) → (𝐿 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁))
6		elfzolt2 10566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐿 − 1) < 𝑁)
7		simp2 1029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
8		elfzoel2 10555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
9		zlem1lt 9703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝑁 ↔ (𝐿 − 1) < 𝑁))
10	7, 8, 9	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐿 ≤ 𝑁 ↔ (𝐿 − 1) < 𝑁))
11		elfzole1 10565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)
12		pm3.2 139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
15	10, 14	sylbird 170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝐿 − 1) < 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
16	15	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) < 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
17	16	com13 80	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 − 1) < 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
18	5, 6, 17	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
19	18	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
20	19	com24 87	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
21	4, 20	syl5com 29	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿)) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
22	21	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))))
23	22	pm2.43a 51	. . . 4 ⊢ ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
24	23	com14 88	. . 3 ⊢ ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
25	3, 24	mpcom 36	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
26	2, 25	mpcom 36	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  1c1 8180   < clt 8360   ≤ cle 8361   − cmin 8497  ℤcz 9646  ..^cfzo 10551

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-fz 10414  df-fzo 10552

This theorem is used by:  ssfzo12bi  10645