Theorem ssfzo12 9888

Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssfzo12	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem ssfzo12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzolb2 9818	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) ↔ 𝐾 < 𝐿))
2	1	biimp3ar 1305	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿))
3		fzoend 9886	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿))
4		ssel2 3056	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿)) → 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁))
5		ssel2 3056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿)) → (𝐿 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁))
6		elfzolt2 9820	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐿 − 1) < 𝑁)
7		simp2 963	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
8		elfzoel2 9810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
9		zlem1lt 9008	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝑁 ↔ (𝐿 − 1) < 𝑁))
10	7, 8, 9	syl2anr 286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐿 ≤ 𝑁 ↔ (𝐿 − 1) < 𝑁))
11		elfzole1 9819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)
12		pm3.2 138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ≤ 𝐾 → (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
14	13	adantr 272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
15	10, 14	sylbird 169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝐿 − 1) < 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
16	15	ex 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) < 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
17	16	com13 80	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 − 1) < 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
18	5, 6, 17	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
19	18	ex 114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
20	19	com24 87	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
21	4, 20	syl5com 29	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿)) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
22	21	ex 114	. . . . 5 ⊢ ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))))
23	22	pm2.43a 51	. . . 4 ⊢ ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
24	23	com14 88	. . 3 ⊢ ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))))
25	3, 24	mpcom 36	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))))
26	2, 25	mpcom 36	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 943   ∈ wcel 1461   ⊆ wss 3035   class class class wbr 3893  (class class class)co 5726  1c1 7542   < clt 7718   ≤ cle 7719   − cmin 7850  ℤcz 8952  ..^cfzo 9806

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-ltadd 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-inn 8625  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-fz 9678  df-fzo 9807

This theorem is referenced by:  ssfzo12bi  9889