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Theorem ssfzo12bi 10238
Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfzo12bi  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  <->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) )

Proof of Theorem ssfzo12bi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 981 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  K  <  L ) )
21biimpri 133 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  K  <  L
)  ->  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )
323adant2 1017 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  < 
L ) )
4 ssfzo12 10237 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
53, 4syl 14 . 2  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
6 elfzo2 10163 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( K..^ L
)  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  L  e.  ZZ  /\  x  <  L ) )
7 eluz2 9547 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  K  <_  x ) )
8 simprrl 539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
98adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  x
) )  ->  M  e.  ZZ )
10 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  x
) )  ->  x  e.  ZZ )
11 zre 9270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
1211adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
1312adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  RR )
1413adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  RR )
15 zre 9270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
1615adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
1716adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  RR )
1817adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  K  e.  RR )
19 zre 9270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
2019adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  x  e.  RR )
21 letr 8053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( M  <_  K  /\  K  <_  x )  ->  M  <_  x
) )
2214, 18, 20, 21syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( M  <_  K  /\  K  <_  x )  ->  M  <_  x ) )
2322imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  x
) )  ->  M  <_  x )
249, 10, 233jca 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  x
) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) )
2524exp31 364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  <_  K  /\  K  <_  x
)  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
2625com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( M  <_  K  /\  K  <_  x )  ->  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
2726expdimp 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  -> 
( K  <_  x  ->  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
2827impancom 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  -> 
( M  <_  K  ->  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
2928com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( M  <_  K  ->  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
30293adant3 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  ( M  <_  K  ->  (
( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
3130com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  <_  K  ->  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
3231adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  <_  K  /\  L  <_  N )  -> 
( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) ) )
3332impcom 125 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) )
3433com12 30 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  -> 
( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L
)  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) )
3534adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) )
3635imp 124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  /\  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) )
37 eluz2 9547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) )
3836, 37sylibr 134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  /\  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )  ->  x  e.  (
ZZ>= `  M ) )
39 simpl2r 1052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
4039adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  /\  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
4119adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  x  e.  RR )
42 zre 9270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
4342ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
44 zre 9270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
4544adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
4645adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  RR )
4746adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
48 ltletr 8060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( x  <  L  /\  L  <_  N )  ->  x  <  N
) )
4941, 43, 47, 48syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  < 
L  /\  L  <_  N )  ->  x  <  N ) )
5049ex 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( x  e.  ZZ  ->  ( ( x  < 
L  /\  L  <_  N )  ->  x  <  N ) ) )
5150com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  < 
L  /\  L  <_  N )  ->  ( x  e.  ZZ  ->  x  <  N ) ) )
52513adant3 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( x  <  L  /\  L  <_  N )  ->  ( x  e.  ZZ  ->  x  <  N ) ) )
5352expcomd 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  ( L  <_  N  ->  (
x  <  L  ->  ( x  e.  ZZ  ->  x  <  N ) ) ) )
5453adantld 278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( M  <_  K  /\  L  <_  N )  ->  ( x  < 
L  ->  ( x  e.  ZZ  ->  x  <  N ) ) ) )
5554imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( x  <  L  ->  ( x  e.  ZZ  ->  x  <  N ) ) )
5655com13 80 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  <  L  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  <  N ) ) )
5756adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  -> 
( x  <  L  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L
)  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  <  N ) ) )
5857imp 124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  <  N ) )
5958imp 124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  /\  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )  ->  x  <  N
)
60 elfzo2 10163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( M..^ N
)  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  x  <  N ) )
6138, 40, 59, 60syl3anbrc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  /\  x  <  L )  /\  (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) )
6261exp31 364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  -> 
( x  <  L  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L
)  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) ) )
63623adant1 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  K  <_  x )  ->  (
x  <  L  ->  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) ) )
647, 63sylbi 121 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( x  <  L  ->  ( (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) ) )
6564imp 124 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  x  <  L )  ->  (
( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) )
66653adant2 1017 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  L  e.  ZZ  /\  x  < 
L )  ->  (
( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) )
676, 66sylbi 121 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( K..^ L
)  ->  ( (
( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) )
6867com12 30 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( x  e.  ( K..^ L )  ->  x  e.  ( M..^ N ) ) )
6968ssrdv 3173 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  /\  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) )  -> 
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
) )
7069ex 115 . 2  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( M  <_  K  /\  L  <_  N )  ->  ( K..^ L
)  C_  ( M..^ N ) ) )
715, 70impbid 129 1  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  <  L )  ->  (
( K..^ L ) 
C_  ( M..^ N
)  <->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 979    e. wcel 2158    C_ wss 3141   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   RRcr 7823    < clt 8005    <_ cle 8006   ZZcz 9266   ZZ>=cuz 9541  ..^cfzo 10155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022  df-fzo 10156
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