Theorem ssfzo12bi 10469

Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssfzo12bi	|- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )

Proof of Theorem ssfzo12bi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1006	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) <-> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ K < L ) )
2	1	biimpri 133	. . . 4 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) )
3	2	3adant2 1042	. . 3 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) )
4		ssfzo12 10468	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
6		elfzo2 10384	. . . . . 6 |- ( x e. ( K..^ L ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ L e. ZZ /\ x < L ) )
7		eluz2 9760	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ x e. ZZ /\ K <_ x ) )
8		simprrl 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> M e. ZZ )
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ x ) ) -> M e. ZZ )
10		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ x ) ) -> x e. ZZ )
11		zre 9482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
13	12	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M e. RR )
14	13	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> M e. RR )
15		zre 9482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> K e. RR )
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> K e. RR )
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> K e. RR )
19		zre 9482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> x e. RR )
21		letr 8261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ x ) -> M <_ x ) )
22	14, 18, 20, 21	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ x ) -> M <_ x ) )
23	22	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ x ) ) -> M <_ x )
24	9, 10, 23	3jca 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ x ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) )
25	24	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
26	25	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. ZZ -> ( ( M <_ K /\ K <_ x ) -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
27	26	expdimp 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( K <_ x -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
28	27	impancom 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M <_ K -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
29	28	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M <_ K -> ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
30	29	3adant3 1043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( M <_ K -> ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
31	30	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M <_ K -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M <_ K /\ L <_ N ) -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
33	32	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) )
34	33	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) )
35	34	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) )
36	35	imp 124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) /\ ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) )
37		eluz2 9760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) )
38	36, 37	sylibr 134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) /\ ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
39		simpl2r 1077	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> N e. ZZ )
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) /\ ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) -> N e. ZZ )
41	19	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. RR )
42		zre 9482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
43	42	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ x e. ZZ ) -> L e. RR )
44		zre 9482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. RR )
47	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ x e. ZZ ) -> N e. RR )
48		ltletr 8268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. RR /\ L e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( x < L /\ L <_ N ) -> x < N ) )
49	41, 43, 47, 48	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( x < L /\ L <_ N ) -> x < N ) )
50	49	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( x e. ZZ -> ( ( x < L /\ L <_ N ) -> x < N ) ) )
51	50	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( x < L /\ L <_ N ) -> ( x e. ZZ -> x < N ) ) )
52	51	3adant3 1043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( x < L /\ L <_ N ) -> ( x e. ZZ -> x < N ) ) )
53	52	expcomd 1486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( L <_ N -> ( x < L -> ( x e. ZZ -> x < N ) ) ) )
54	53	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( M <_ K /\ L <_ N ) -> ( x < L -> ( x e. ZZ -> x < N ) ) ) )
55	54	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( x < L -> ( x e. ZZ -> x < N ) ) )
56	55	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ZZ -> ( x < L -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x < N ) ) )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( x < L -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x < N ) ) )
58	57	imp 124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x < N ) )
59	58	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) /\ ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) -> x < N )
60		elfzo2 10384	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( M..^ N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ x < N ) )
61	38, 40, 59, 60	syl3anbrc 1207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) /\ ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) -> x e. ( M..^ N ) )
62	61	exp31 364	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( x < L -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) ) )
63	62	3adant1 1041	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ZZ /\ x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( x < L -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) ) )
64	7, 63	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` K ) -> ( x < L -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) ) )
65	64	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ x < L ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) )
66	65	3adant2 1042	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ L e. ZZ /\ x < L ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) )
67	6, 66	sylbi 121	. . . . 5 |- ( x e. ( K..^ L ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) )
68	67	com12 30	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( x e. ( K..^ L ) -> x e. ( M..^ N ) ) )
69	68	ssrdv 3233	. . 3 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) )
70	69	ex 115	. 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( M <_ K /\ L <_ N ) -> ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) ) )
71	5, 70	impbid 129	1 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   RRcr 8030   < clt 8213   <_ cle 8214   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754  ..^cfzo 10376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377

This theorem is referenced by:  fzowrddc  11227  swrdnd  11239