Theorem ssfzo12bi 10211

Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssfzo12bi	|- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )

Proof of Theorem ssfzo12bi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 980	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) <-> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ K < L ) )
2	1	biimpri 133	. . . 4 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) )
3	2	3adant2 1016	. . 3 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) )
4		ssfzo12 10210	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
6		elfzo2 10136	. . . . . 6 |- ( x e. ( K..^ L ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ L e. ZZ /\ x < L ) )
7		eluz2 9523	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ x e. ZZ /\ K <_ x ) )
8		simprrl 539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> M e. ZZ )
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ x ) ) -> M e. ZZ )
10		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ x ) ) -> x e. ZZ )
11		zre 9246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
13	12	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M e. RR )
14	13	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> M e. RR )
15		zre 9246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> K e. RR )
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> K e. RR )
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> K e. RR )
19		zre 9246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> x e. RR )
21		letr 8030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ x ) -> M <_ x ) )
22	14, 18, 20, 21	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ x ) -> M <_ x ) )
23	22	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ x ) ) -> M <_ x )
24	9, 10, 23	3jca 1177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ x ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) )
25	24	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
26	25	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. ZZ -> ( ( M <_ K /\ K <_ x ) -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
27	26	expdimp 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( K <_ x -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
28	27	impancom 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M <_ K -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
29	28	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M <_ K -> ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
30	29	3adant3 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( M <_ K -> ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
31	30	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M <_ K -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M <_ K /\ L <_ N ) -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
33	32	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) )
34	33	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) )
35	34	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) )
36	35	imp 124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) /\ ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) )
37		eluz2 9523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) )
38	36, 37	sylibr 134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) /\ ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
39		simpl2r 1051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> N e. ZZ )
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) /\ ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) -> N e. ZZ )
41	19	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. RR )
42		zre 9246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
43	42	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ x e. ZZ ) -> L e. RR )
44		zre 9246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. RR )
47	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ x e. ZZ ) -> N e. RR )
48		ltletr 8037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. RR /\ L e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( x < L /\ L <_ N ) -> x < N ) )
49	41, 43, 47, 48	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( x < L /\ L <_ N ) -> x < N ) )
50	49	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( x e. ZZ -> ( ( x < L /\ L <_ N ) -> x < N ) ) )
51	50	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( x < L /\ L <_ N ) -> ( x e. ZZ -> x < N ) ) )
52	51	3adant3 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( x < L /\ L <_ N ) -> ( x e. ZZ -> x < N ) ) )
53	52	expcomd 1441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( L <_ N -> ( x < L -> ( x e. ZZ -> x < N ) ) ) )
54	53	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( M <_ K /\ L <_ N ) -> ( x < L -> ( x e. ZZ -> x < N ) ) ) )
55	54	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( x < L -> ( x e. ZZ -> x < N ) ) )
56	55	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ZZ -> ( x < L -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x < N ) ) )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( x < L -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x < N ) ) )
58	57	imp 124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x < N ) )
59	58	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) /\ ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) -> x < N )
60		elfzo2 10136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( M..^ N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ x < N ) )
61	38, 40, 59, 60	syl3anbrc 1181	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) /\ ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) -> x e. ( M..^ N ) )
62	61	exp31 364	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( x < L -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) ) )
63	62	3adant1 1015	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ZZ /\ x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( x < L -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) ) )
64	7, 63	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` K ) -> ( x < L -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) ) )
65	64	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ x < L ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) )
66	65	3adant2 1016	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ L e. ZZ /\ x < L ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) )
67	6, 66	sylbi 121	. . . . 5 |- ( x e. ( K..^ L ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) )
68	67	com12 30	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( x e. ( K..^ L ) -> x e. ( M..^ N ) ) )
69	68	ssrdv 3161	. . 3 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) )
70	69	ex 115	. 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( M <_ K /\ L <_ N ) -> ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) ) )
71	5, 70	impbid 129	1 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   e. wcel 2148   C_ wss 3129   class class class wbr 4000   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   RRcr 7801   < clt 7982   <_ cle 7983   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517  ..^cfzo 10128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996  df-fzo 10129

This theorem is referenced by: (None)