ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssnnct Unicode version

Theorem ssnnct 12391
Description: A decidable subset of  NN is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
ssnnct  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A
)  ->  E. f 
f : om -onto-> ( A 1o ) )
Distinct variable group:    A, f, x

Proof of Theorem ssnnct
StepHypRef Expression
1 eqid 2170 . 2  |- frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )
21ssnnctlemct 12390 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A
)  ->  E. f 
f : om -onto-> ( A 1o ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103  DECID wdc 829   E.wex 1485    e. wcel 2141   A.wral 2448    C_ wss 3121    |-> cmpt 4048   omcom 4572   -onto->wfo 5194  (class class class)co 5851  freccfrec 6367   1oc1o 6386   ⊔ cdju 7011   1c1 7764    + caddc 7766   NNcn 8867   ZZcz 9201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-addcom 7863  ax-addass 7865  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-ltadd 7879
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-1o 6393  df-er 6510  df-en 6716  df-dju 7012  df-inl 7021  df-inr 7022  df-case 7058  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-inn 8868  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477
This theorem is referenced by:  unbendc  12398
  Copyright terms: Public domain W3C validator