Theorem structvtxval 16034

Description: The set of vertices of an extensible structure with a base set and another slot. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structvtxvallem.s	⊢ 𝑆 ∈ ℕ
structvtxvallem.b	⊢ (Base‘ndx) < 𝑆
structvtxvallem.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}

Assertion

Ref	Expression
structvtxval	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Proof of Theorem structvtxval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structvtxvallem.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
2		structvtxvallem.b	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) < 𝑆
3		structvtxvallem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	2strstrndx 13331	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩)
5	3, 2, 1	struct2slots2dom 16033	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 2o ≼ dom 𝐺)
6		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝑉 ∈ 𝑋)
7		basendxnn 13268	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
8		opexg 4344	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V)
9	7, 6, 8	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V)
10		prid1g 3795	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩})
11	9, 10	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩})
12	11, 1	eleqtrrdi 2326	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺)
13	4, 5, 6, 12	basvtxval2dom 16029	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813  {cpr 3690  ⟨cop 3692   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352   < clt 8308  ℕcn 9237  ndxcnx 13209  Basecbs 13212  Vtxcvtx 16007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-1o 6647  df-2o 6648  df-en 6976  df-dom 6977  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-struct 13214  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-vtx 16009

This theorem is referenced by:  struct2grvtx  16040