Theorem structvtxval 15834

Description: The set of vertices of an extensible structure with a base set and another slot. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structvtxvallem.s	⊢ 𝑆 ∈ ℕ
structvtxvallem.b	⊢ (Base‘ndx) < 𝑆
structvtxvallem.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}

Assertion

Ref	Expression
structvtxval	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Proof of Theorem structvtxval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structvtxvallem.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
2		structvtxvallem.b	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) < 𝑆
3		structvtxvallem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	2strstrndx 13146	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩)
5	3, 2, 1	struct2slots2dom 15833	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 2o ≼ dom 𝐺)
6		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝑉 ∈ 𝑋)
7		basendxnn 13083	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
8		opexg 4313	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V)
9	7, 6, 8	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V)
10		prid1g 3770	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩})
11	9, 10	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩})
12	11, 1	eleqtrrdi 2323	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺)
13	4, 5, 6, 12	basvtxval2dom 15829	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  {cpr 3667  ⟨cop 3669   class class class wbr 4082  ‘cfv 5317   < clt 8177  ℕcn 9106  ndxcnx 13024  Basecbs 13027  Vtxcvtx 15807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-1o 6560  df-2o 6561  df-en 6886  df-dom 6887  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-struct 13029  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-vtx 15809

This theorem is referenced by:  struct2grvtx  15840