Theorem subgsubcl 13325

Description: A subgroup is closed under group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgsubcl.p	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
subgsubcl	|- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .- Y ) e. S )

Proof of Theorem subgsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	subgss 13314	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
3	2	3ad2ant1 1020	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> S C_ ( Base ` G ) )
4		simp2 1000	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> X e. S )
5	3, 4	sseldd 3185	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> X e. ( Base ` G ) )
6		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> Y e. S )
7	3, 6	sseldd 3185	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> Y e. ( Base ` G ) )
8		eqid 2196	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
9		eqid 2196	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
10		subgsubcl.p	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
11	1, 8, 9, 10	grpsubval 13188	. . 3 |- ( ( X e. ( Base ` G ) /\ Y e. ( Base ` G ) ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
12	5, 7, 11	syl2anc 411	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
13	9	subginvcl 13323	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ Y e. S ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. S )
14	13	3adant2 1018	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. S )
15	8	subgcl 13324	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. S ) -> ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. S )
16	14, 15	syld3an3 1294	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. S )
17	12, 16	eqeltrd 2273	1 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .- Y ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   Basecbs 12688   +g cplusg 12765   invgcminusg 13143   -gcsg 13144  SubGrpcsubg 13307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-ltxr 8068  df-inn 8993  df-2 9051  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-sets 12695  df-iress 12696  df-plusg 12778  df-0g 12939  df-mgm 13009  df-sgrp 13055  df-mnd 13068  df-grp 13145  df-minusg 13146  df-sbg 13147  df-subg 13310

This theorem is referenced by:  issubg4m  13333  ssnmz  13351  lidlsubcl  14053  2idlcpblrng  14089