ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subgsubcl Unicode version

Theorem subgsubcl 12976
Description: A subgroup is closed under group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgsubcl.p  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
subgsubcl  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .-  Y )  e.  S )

Proof of Theorem subgsubcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21subgss 12965 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
323ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
4 simp2 998 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  X  e.  S )
53, 4sseldd 3156 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  X  e.  ( Base `  G
) )
6 simp3 999 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  Y  e.  S )
73, 6sseldd 3156 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  Y  e.  ( Base `  G
) )
8 eqid 2177 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
9 eqid 2177 . . . 4  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
10 subgsubcl.p . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
111, 8, 9, 10grpsubval 12851 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( Base `  G )  /\  Y  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  Y )
) )
125, 7, 11syl2anc 411 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  Y )
) )
139subginvcl 12974 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  Y  e.  S )  ->  (
( invg `  G ) `  Y
)  e.  S )
14133adant2 1016 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  (
( invg `  G ) `  Y
)  e.  S )
158subgcl 12975 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  (
( invg `  G ) `  Y
)  e.  S )  ->  ( X ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  Y
) )  e.  S
)
1614, 15syld3an3 1283 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 Y ) )  e.  S )
1712, 16eqeltrd 2254 1  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .-  Y )  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148    C_ wss 3129   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   Basecbs 12454   +g cplusg 12528   invgcminusg 12810   -gcsg 12811  SubGrpcsubg 12958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltadd 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-minusg 12813  df-sbg 12814  df-subg 12961
This theorem is referenced by:  issubg4m  12984  ssnmz  13002
  Copyright terms: Public domain W3C validator