Theorem subgsubcl 13717

Description: A subgroup is closed under group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgsubcl.p	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
subgsubcl	|- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .- Y ) e. S )

Proof of Theorem subgsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	subgss 13706	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
3	2	3ad2ant1 1042	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> S C_ ( Base ` G ) )
4		simp2 1022	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> X e. S )
5	3, 4	sseldd 3225	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> X e. ( Base ` G ) )
6		simp3 1023	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> Y e. S )
7	3, 6	sseldd 3225	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> Y e. ( Base ` G ) )
8		eqid 2229	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
9		eqid 2229	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
10		subgsubcl.p	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
11	1, 8, 9, 10	grpsubval 13574	. . 3 |- ( ( X e. ( Base ` G ) /\ Y e. ( Base ` G ) ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
12	5, 7, 11	syl2anc 411	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
13	9	subginvcl 13715	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ Y e. S ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. S )
14	13	3adant2 1040	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. S )
15	8	subgcl 13716	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. S ) -> ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. S )
16	14, 15	syld3an3 1316	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. S )
17	12, 16	eqeltrd 2306	1 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .- Y ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Basecbs 13027   +g cplusg 13105   invgcminusg 13529   -gcsg 13530  SubGrpcsubg 13699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-iress 13035  df-plusg 13118  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532  df-sbg 13533  df-subg 13702

This theorem is referenced by:  issubg4m  13725  ssnmz  13743  lidlsubcl  14445  2idlcpblrng  14481