Theorem subgsubcl 12976

Description: A subgroup is closed under group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgsubcl.p	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
subgsubcl	|- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .- Y ) e. S )

Proof of Theorem subgsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	subgss 12965	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
3	2	3ad2ant1 1018	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> S C_ ( Base ` G ) )
4		simp2 998	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> X e. S )
5	3, 4	sseldd 3156	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> X e. ( Base ` G ) )
6		simp3 999	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> Y e. S )
7	3, 6	sseldd 3156	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> Y e. ( Base ` G ) )
8		eqid 2177	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
9		eqid 2177	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
10		subgsubcl.p	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
11	1, 8, 9, 10	grpsubval 12851	. . 3 |- ( ( X e. ( Base ` G ) /\ Y e. ( Base ` G ) ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
12	5, 7, 11	syl2anc 411	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
13	9	subginvcl 12974	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ Y e. S ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. S )
14	13	3adant2 1016	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. S )
15	8	subgcl 12975	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. S ) -> ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. S )
16	14, 15	syld3an3 1283	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. S )
17	12, 16	eqeltrd 2254	1 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .- Y ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   C_ wss 3129   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   Basecbs 12454   +g cplusg 12528   invgcminusg 12810   -gcsg 12811  SubGrpcsubg 12958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-minusg 12813  df-sbg 12814  df-subg 12961

This theorem is referenced by:  issubg4m  12984  ssnmz  13002