Theorem subgsubcl 13606

Description: A subgroup is closed under group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgsubcl.p	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
subgsubcl	|- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .- Y ) e. S )

Proof of Theorem subgsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	subgss 13595	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
3	2	3ad2ant1 1021	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> S C_ ( Base ` G ) )
4		simp2 1001	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> X e. S )
5	3, 4	sseldd 3198	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> X e. ( Base ` G ) )
6		simp3 1002	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> Y e. S )
7	3, 6	sseldd 3198	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> Y e. ( Base ` G ) )
8		eqid 2206	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
9		eqid 2206	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
10		subgsubcl.p	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
11	1, 8, 9, 10	grpsubval 13463	. . 3 |- ( ( X e. ( Base ` G ) /\ Y e. ( Base ` G ) ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
12	5, 7, 11	syl2anc 411	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
13	9	subginvcl 13604	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ Y e. S ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. S )
14	13	3adant2 1019	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. S )
15	8	subgcl 13605	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. S ) -> ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. S )
16	14, 15	syld3an3 1295	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. S )
17	12, 16	eqeltrd 2283	1 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .- Y ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   C_ wss 3170   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   Basecbs 12917   +g cplusg 12994   invgcminusg 13418   -gcsg 13419  SubGrpcsubg 13588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-ltxr 8142  df-inn 9067  df-2 9125  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-sets 12924  df-iress 12925  df-plusg 13007  df-0g 13175  df-mgm 13273  df-sgrp 13319  df-mnd 13334  df-grp 13420  df-minusg 13421  df-sbg 13422  df-subg 13591

This theorem is referenced by:  issubg4m  13614  ssnmz  13632  lidlsubcl  14334  2idlcpblrng  14370