Theorem subgsubcl 13891

Description: A subgroup is closed under group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgsubcl.p	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subgsubcl	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subgsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 13880	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3	2	3ad2ant1 1045	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
4		simp2 1025	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sseldd 3238	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
6		simp3 1026	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ 𝑆)
7	3, 6	sseldd 3238	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
8		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
10		subgsubcl.p	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
11	1, 8, 9, 10	grpsubval 13748	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
12	5, 7, 11	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
13	9	subginvcl 13889	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑆)
14	13	3adant2 1043	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑆)
15	8	subgcl 13890	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑆) → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝑆)
16	14, 15	syld3an3 1319	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝑆)
17	12, 16	eqeltrd 2309	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ⊆ wss 3210  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Basecbs 13201  +_gcplusg 13279  inv_gcminusg 13703  -_gcsg 13704  SubGrpcsubg 13873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-ltxr 8309  df-inn 9234  df-2 9292  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-sets 13208  df-iress 13209  df-plusg 13292  df-0g 13460  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-grp 13705  df-minusg 13706  df-sbg 13707  df-subg 13876

This theorem is referenced by:  issubg4m  13899  ssnmz  13917  lidlsubcl  14622  2idlcpblrng  14658