Theorem subrgnzr 13946

Description: A subring of a nonzero ring is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgnzr.1	|- S = ( R ↾s A )

Assertion

Ref	Expression
subrgnzr	|- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> S e. NzRing )

Proof of Theorem subrgnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgnzr.1	. . . 4 |- S = ( R ↾s A )
2	1	subrgring 13928	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> S e. Ring )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> S e. Ring )
4		eqid 2204	. . . . 5 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
5		eqid 2204	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6	4, 5	nzrnz 13886	. . . 4 |- ( R e. NzRing -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
8	1, 4	subrg1 13935	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
10	1, 5	subrg0 13932	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` S ) )
11	10	adantl 277	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` S ) )
12	7, 9, 11	3netr3d 2407	. 2 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> ( 1r ` S ) =/= ( 0g ` S ) )
13		eqid 2204	. . 3 |- ( 1r ` S ) = ( 1r ` S )
14		eqid 2204	. . 3 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
15	13, 14	isnzr 13885	. 2 |- ( S e. NzRing <-> ( S e. Ring /\ ( 1r ` S ) =/= ( 0g ` S ) ) )
16	3, 12, 15	sylanbrc 417	1 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> S e. NzRing )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   =/= wne 2375   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   ↾_s cress 12775   0gc0g 13030   1rcur 13663   Ringcrg 13700  NzRingcnzr 13883  SubRingcsubrg 13921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-sets 12781  df-iress 12782  df-plusg 12864  df-mulr 12865  df-0g 13032  df-mgm 13130  df-sgrp 13176  df-mnd 13191  df-grp 13277  df-subg 13448  df-mgp 13625  df-ur 13664  df-ring 13702  df-nzr 13884  df-subrg 13923

This theorem is referenced by: (None)