Theorem subrgnzr 14523

Description: A subring of a nonzero ring is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgnzr.1	|- S = ( R ↾s A )

Assertion

Ref	Expression
subrgnzr	|- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> S e. NzRing )

Proof of Theorem subrgnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgnzr.1	. . . 4 |- S = ( R ↾s A )
2	1	subrgring 14505	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> S e. Ring )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> S e. Ring )
4		eqid 2238	. . . . 5 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
5		eqid 2238	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6	4, 5	nzrnz 14462	. . . 4 |- ( R e. NzRing -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
8	1, 4	subrg1 14512	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
10	1, 5	subrg0 14509	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` S ) )
11	10	adantl 277	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` S ) )
12	7, 9, 11	3netr3d 2452	. 2 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> ( 1r ` S ) =/= ( 0g ` S ) )
13		eqid 2238	. . 3 |- ( 1r ` S ) = ( 1r ` S )
14		eqid 2238	. . 3 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
15	13, 14	isnzr 14461	. 2 |- ( S e. NzRing <-> ( S e. Ring /\ ( 1r ` S ) =/= ( 0g ` S ) ) )
16	3, 12, 15	sylanbrc 421	1 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> S e. NzRing )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   ↾_s cress 13331   0gc0g 13587   1rcur 14237   Ringcrg 14274  NzRingcnzr 14459  SubRingcsubrg 14498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-iress 13338  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-subg 13950  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-ring 14276  df-nzr 14460  df-subrg 14500

This theorem is referenced by: (None)