Theorem subrgnzr 14200

Description: A subring of a nonzero ring is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgnzr.1	|- S = ( R ↾s A )

Assertion

Ref	Expression
subrgnzr	|- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> S e. NzRing )

Proof of Theorem subrgnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgnzr.1	. . . 4 |- S = ( R ↾s A )
2	1	subrgring 14182	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> S e. Ring )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> S e. Ring )
4		eqid 2229	. . . . 5 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
5		eqid 2229	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6	4, 5	nzrnz 14140	. . . 4 |- ( R e. NzRing -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
8	1, 4	subrg1 14189	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
10	1, 5	subrg0 14186	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` S ) )
11	10	adantl 277	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` S ) )
12	7, 9, 11	3netr3d 2432	. 2 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> ( 1r ` S ) =/= ( 0g ` S ) )
13		eqid 2229	. . 3 |- ( 1r ` S ) = ( 1r ` S )
14		eqid 2229	. . 3 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
15	13, 14	isnzr 14139	. 2 |- ( S e. NzRing <-> ( S e. Ring /\ ( 1r ` S ) =/= ( 0g ` S ) ) )
16	3, 12, 15	sylanbrc 417	1 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> S e. NzRing )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   ↾_s cress 13028   0gc0g 13284   1rcur 13917   Ringcrg 13954  NzRingcnzr 14137  SubRingcsubrg 14175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-iress 13035  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-subg 13702  df-mgp 13879  df-ur 13918  df-ring 13956  df-nzr 14138  df-subrg 14177

This theorem is referenced by: (None)