Theorem subrgnzr 14320

Description: A subring of a nonzero ring is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgnzr.1	|- S = ( R ↾s A )

Assertion

Ref	Expression
subrgnzr	|- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> S e. NzRing )

Proof of Theorem subrgnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgnzr.1	. . . 4 |- S = ( R ↾s A )
2	1	subrgring 14302	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> S e. Ring )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> S e. Ring )
4		eqid 2231	. . . . 5 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
5		eqid 2231	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6	4, 5	nzrnz 14260	. . . 4 |- ( R e. NzRing -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
8	1, 4	subrg1 14309	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
10	1, 5	subrg0 14306	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` S ) )
11	10	adantl 277	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` S ) )
12	7, 9, 11	3netr3d 2435	. 2 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> ( 1r ` S ) =/= ( 0g ` S ) )
13		eqid 2231	. . 3 |- ( 1r ` S ) = ( 1r ` S )
14		eqid 2231	. . 3 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
15	13, 14	isnzr 14259	. 2 |- ( S e. NzRing <-> ( S e. Ring /\ ( 1r ` S ) =/= ( 0g ` S ) ) )
16	3, 12, 15	sylanbrc 417	1 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> S e. NzRing )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ↾_s cress 13146   0gc0g 13402   1rcur 14036   Ringcrg 14073  NzRingcnzr 14257  SubRingcsubrg 14295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-iress 13153  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-subg 13820  df-mgp 13998  df-ur 14037  df-ring 14075  df-nzr 14258  df-subrg 14297

This theorem is referenced by: (None)