Theorem subrgnzr 14079

Description: A subring of a nonzero ring is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgnzr.1	|- S = ( R ↾s A )

Assertion

Ref	Expression
subrgnzr	|- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> S e. NzRing )

Proof of Theorem subrgnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgnzr.1	. . . 4 |- S = ( R ↾s A )
2	1	subrgring 14061	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> S e. Ring )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> S e. Ring )
4		eqid 2206	. . . . 5 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
5		eqid 2206	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6	4, 5	nzrnz 14019	. . . 4 |- ( R e. NzRing -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
8	1, 4	subrg1 14068	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` S ) )
10	1, 5	subrg0 14065	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` S ) )
11	10	adantl 277	. . 3 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` S ) )
12	7, 9, 11	3netr3d 2409	. 2 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> ( 1r ` S ) =/= ( 0g ` S ) )
13		eqid 2206	. . 3 |- ( 1r ` S ) = ( 1r ` S )
14		eqid 2206	. . 3 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
15	13, 14	isnzr 14018	. 2 |- ( S e. NzRing <-> ( S e. Ring /\ ( 1r ` S ) =/= ( 0g ` S ) ) )
16	3, 12, 15	sylanbrc 417	1 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. (SubRing ` R ) ) -> S e. NzRing )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   ↾_s cress 12908   0gc0g 13163   1rcur 13796   Ringcrg 13833  NzRingcnzr 14016  SubRingcsubrg 14054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-iress 12915  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-0g 13165  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-grp 13410  df-subg 13581  df-mgp 13758  df-ur 13797  df-ring 13835  df-nzr 14017  df-subrg 14056

This theorem is referenced by: (None)