Theorem subrgring 14455

Description: A subring is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgring.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrgring	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)

Proof of Theorem subrgring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgring.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	2, 3	issubrg 14452	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
5	4	simplbi 274	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring))
6	5	simprd 114	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
7	1, 6	eqeltrid 2321	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3214  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13296   ↾_s cress 13297  1_rcur 14187  Ringcrg 14224  SubRingcsubrg 14448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9255  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-subrg 14450

This theorem is referenced by:  subrgcrng  14456  subrgsubg  14458  subrg1  14462  subrgmcl  14464  subrgsubm  14465  subrgdvds  14466  subrguss  14467  subrginv  14468  subrgdv  14469  subrgunit  14470  subrgugrp  14471  subrgnzr  14473  subsubrg  14476  resrhm  14479  resrhm2b  14480  sralmod  14710