Theorem ubmelfzo 10545

Description: If an integer in a 1 based finite set of sequential integers is subtracted from the upper bound of this finite set of sequential integers, the result is contained in a half-open range of nonnegative integers with the same upper bound. (Contributed by AV, 18-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ubmelfzo	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem ubmelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1026	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
2		nnnn0 9503	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		nnnn0 9503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	anim12i 338	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
5	4	3adant3 1044	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
6		nn0sub 9644	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0))
8	1, 7	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
9		simp2 1025	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
10		nngt0 9262	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
11	10	3ad2ant1 1045	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 0 < 𝐾)
12		nnre 9244	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
13		nnre 9244	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
14	12, 13	anim12i 338	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
15	14	3adant3 1044	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
16		ltsubpos 8728	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝑁 − 𝐾) < 𝑁))
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (0 < 𝐾 ↔ (𝑁 − 𝐾) < 𝑁))
18	11, 17	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐾) < 𝑁)
19	8, 9, 18	3jca 1204	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 𝐾) < 𝑁))
20		elfz1b 10424	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
21		elfzo0 10520	. 2 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 𝐾) < 𝑁))
22	19, 20, 21	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (0..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050  ℝcr 8126  0cc0 8127  1c1 8128   < clt 8308   ≤ cle 8309   − cmin 8444  ℕcn 9237  ℕ₀cn0 9496  ...cfz 10342  ..^cfzo 10476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477

This theorem is referenced by: (None)