ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ubmelfzo GIF version

Theorem ubmelfzo 9870
Description: If an integer in a 1 based finite set of sequential integers is subtracted from the upper bound of this finite set of sequential integers, the result is contained in a half-open range of nonnegative integers with the same upper bound. (Contributed by AV, 18-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ubmelfzo (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem ubmelfzo
StepHypRef Expression
1 simp3 966 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
2 nnnn0 8888 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3 nnnn0 8888 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
42, 3anim12i 334 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
543adant3 984 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
6 nn0sub 9024 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ0))
75, 6syl 14 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ0))
81, 7mpbid 146 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
9 simp2 965 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
10 nngt0 8655 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
11103ad2ant1 985 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → 0 < 𝐾)
12 nnre 8637 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
13 nnre 8637 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1412, 13anim12i 334 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
15143adant3 984 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
16 ltsubpos 8135 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝑁𝐾) < 𝑁))
1715, 16syl 14 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → (0 < 𝐾 ↔ (𝑁𝐾) < 𝑁))
1811, 17mpbid 146 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → (𝑁𝐾) < 𝑁)
198, 9, 183jca 1144 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁) → ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝐾) < 𝑁))
20 elfz1b 9763 . 2 (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁))
21 elfzo0 9852 . 2 ((𝑁𝐾) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝐾) < 𝑁))
2219, 20, 213imtr4i 200 1 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ (0..^𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 945  wcel 1463   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728  cr 7546  0cc0 7547  1c1 7548   < clt 7724  cle 7725  cmin 7856  cn 8630  0cn0 8881  ...cfz 9683  ..^cfzo 9812
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-fz 9684  df-fzo 9813
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator