Theorem usgredgedg 16209

Description: In a simple graph there is a 1-1 onto mapping between the indexed edges containing a fixed vertex and the set of edges containing this vertex. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 11-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ushgredgedg.e	|- E = (Edg ` G )
ushgredgedg.i	|- I = (iEdg ` G )
ushgredgedg.v	|- V = (Vtx ` G )
ushgredgedg.a	|- A = { i e. dom I | N e. ( I ` i ) }
ushgredgedg.b	|- B = { e e. E | N e. e }
ushgredgedg.f	|- F = ( x e. A |-> ( I ` x ) )

Assertion

Ref	Expression
usgredgedg	|- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> F : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   B, e   e, E, i   e, G, i, x   e, I, i, x   e, N, i, x   e, V, i, x

Allowed substitution hints:   A( x, e, i)   B( x, i)   E( x)   F( x, e, i)

Proof of Theorem usgredgedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgruspgr 16165	. . 3 |- ( G e. USGraph -> G e. USPGraph )
2		uspgrushgr 16162	. . 3 |- ( G e. USPGraph -> G e. USHGraph )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( G e. USGraph -> G e. USHGraph )
4		ushgredgedg.e	. . 3 |- E = (Edg ` G )
5		ushgredgedg.i	. . 3 |- I = (iEdg ` G )
6		ushgredgedg.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
7		ushgredgedg.a	. . 3 |- A = { i e. dom I | N e. ( I ` i ) }
8		ushgredgedg.b	. . 3 |- B = { e e. E | N e. e }
9		ushgredgedg.f	. . 3 |- F = ( x e. A |-> ( I ` x ) )
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ushgredgedg 16208	. 2 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> F : A -1-1-onto-> B )
11	3, 10	sylan 283	1 |- ( ( G e. USGraph /\ N e. V ) -> F : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   {crab 2524   |-> cmpt 4170   dom cdm 4748   -1-1-onto->wf1o 5350   ` cfv 5351  Vtxcvtx 15994  iEdgciedg 15995  Edgcedg 16039  USHGraphcushgr 16050  USPGraphcuspgr 16135  USGraphcusgr 16136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-1o 6646  df-2o 6647  df-en 6975  df-sub 8442  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-dec 9706  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-edgf 15987  df-vtx 15996  df-iedg 15997  df-edg 16040  df-uhgrm 16051  df-ushgrm 16052  df-uspgren 16137  df-usgren 16138

This theorem is referenced by: (None)