Theorem ushgredgedg 16450

Description: In a simple hypergraph there is a 1-1 onto mapping between the indexed edges containing a fixed vertex and the set of edges containing this vertex. (Contributed by AV, 11-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ushgredgedg.e	|- E = (Edg ` G )
ushgredgedg.i	|- I = (iEdg ` G )
ushgredgedg.v	|- V = (Vtx ` G )
ushgredgedg.a	|- A = { i e. dom I | N e. ( I ` i ) }
ushgredgedg.b	|- B = { e e. E | N e. e }
ushgredgedg.f	|- F = ( x e. A |-> ( I ` x ) )

Assertion

Ref	Expression
ushgredgedg	|- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> F : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   B, e   e, E, i   e, G, i, x   e, I, i, x   e, N, i, x   e, V, i, x

Allowed substitution hints:   A( x, e, i)   B( x, i)   E( x)   F( x, e, i)

Proof of Theorem ushgredgedg

Dummy variables f j p w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
2		ushgredgedg.i	. . . . 5 |- I = (iEdg ` G )
3	1, 2	ushgrfm 16298	. . . 4 |- ( G e. USHGraph -> I : dom I -1-1-> { p e. ~P (Vtx ` G ) | E. w w e. p } )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> I : dom I -1-1-> { p e. ~P (Vtx ` G ) | E. w w e. p } )
5		ssrab2 3333	. . 3 |- { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } C_ dom I
6		f1ores 5652	. . 3 |- ( ( I : dom I -1-1-> { p e. ~P (Vtx ` G ) | E. w w e. p } /\ { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } C_ dom I ) -> ( I |` { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) : { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } -1-1-onto-> ( I " { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) )
7	4, 5, 6	sylancl 417	. 2 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( I |` { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) : { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } -1-1-onto-> ( I " { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) )
8		ushgredgedg.f	. . . . 5 |- F = ( x e. A |-> ( I ` x ) )
9		ushgredgedg.a	. . . . . . 7 |- A = { i e. dom I | N e. ( I ` i ) }
10	9	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> A = { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } )
11		eqidd 2239	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) /\ x e. A ) -> ( I ` x ) = ( I ` x ) )
12	10, 11	mpteq12dva 4210	. . . . 5 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( x e. A |-> ( I ` x ) ) = ( x e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } |-> ( I ` x ) ) )
13	8, 12	eqtrid 2283	. . . 4 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> F = ( x e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } |-> ( I ` x ) ) )
14		f1f 5596	. . . . . . . 8 |- ( I : dom I -1-1-> { p e. ~P (Vtx ` G ) | E. w w e. p } -> I : dom I --> { p e. ~P (Vtx ` G ) | E. w w e. p } )
15	3, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( G e. USHGraph -> I : dom I --> { p e. ~P (Vtx ` G ) | E. w w e. p } )
16	5	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( G e. USHGraph -> { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } C_ dom I )
17	15, 16	feqresmpt 5754	. . . . . 6 |- ( G e. USHGraph -> ( I |` { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) = ( x e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } |-> ( I ` x ) ) )
18	17	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( I |` { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) = ( x e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } |-> ( I ` x ) ) )
19	18	eqcomd 2244	. . . 4 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( x e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } |-> ( I ` x ) ) = ( I |` { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) )
20	13, 19	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> F = ( I |` { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) )
21		ushgruhgr 16304	. . . . . . . . 9 |- ( G e. USHGraph -> G e. UHGraph )
22		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
23	22	uhgrfun 16301	. . . . . . . . 9 |- ( G e. UHGraph -> Fun (iEdg ` G ) )
24	21, 23	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( G e. USHGraph -> Fun (iEdg ` G ) )
25	2	funeqi 5396	. . . . . . . 8 |- ( Fun I <-> Fun (iEdg ` G ) )
26	24, 25	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( G e. USHGraph -> Fun I )
27	26	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> Fun I )
28		dfimafn 5748	. . . . . 6 |- ( ( Fun I /\ { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } C_ dom I ) -> ( I " { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) = { e | E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = e } )
29	27, 5, 28	sylancl 417	. . . . 5 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( I " { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) = { e | E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = e } )
30		fveq2 5693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( I ` i ) = ( I ` j ) )
31	30	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> ( N e. ( I ` i ) <-> N e. ( I ` j ) ) )
32	31	elrab 2982	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } <-> ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) )
33		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) -> j e. dom I )
34		fvelrn 5833	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun I /\ j e. dom I ) -> ( I ` j ) e. ran I )
35	2	eqcomi 2242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (iEdg ` G ) = I
36	35	rneqi 5008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ran (iEdg ` G ) = ran I
37	36	eleq2i 2305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I ` j ) e. ran (iEdg ` G ) <-> ( I ` j ) e. ran I )
38	34, 37	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun I /\ j e. dom I ) -> ( I ` j ) e. ran (iEdg ` G ) )
39	27, 33, 38	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) /\ ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) ) -> ( I ` j ) e. ran (iEdg ` G ) )
40	39	3adant3 1048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) /\ ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) /\ ( I ` j ) = f ) -> ( I ` j ) e. ran (iEdg ` G ) )
41		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( I ` j ) -> ( f e. ran (iEdg ` G ) <-> ( I ` j ) e. ran (iEdg ` G ) ) )
42	41	eqcoms 2241	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I ` j ) = f -> ( f e. ran (iEdg ` G ) <-> ( I ` j ) e. ran (iEdg ` G ) ) )
43	42	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) /\ ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) /\ ( I ` j ) = f ) -> ( f e. ran (iEdg ` G ) <-> ( I ` j ) e. ran (iEdg ` G ) ) )
44	40, 43	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) /\ ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) /\ ( I ` j ) = f ) -> f e. ran (iEdg ` G ) )
45		ushgredgedg.e	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- E = (Edg ` G )
46		edgvalg 16283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G e. USHGraph -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )
47	45, 46	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. USHGraph -> E = ran (iEdg ` G ) )
48	47	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G e. USHGraph -> ( f e. E <-> f e. ran (iEdg ` G ) ) )
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( f e. E <-> f e. ran (iEdg ` G ) ) )
50	49	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) /\ ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) /\ ( I ` j ) = f ) -> ( f e. E <-> f e. ran (iEdg ` G ) ) )
51	44, 50	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) /\ ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) /\ ( I ` j ) = f ) -> f e. E )
52		eleq2 2302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I ` j ) = f -> ( N e. ( I ` j ) <-> N e. f ) )
53	52	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( I ` j ) -> ( ( I ` j ) = f -> N e. f ) )
54	53	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) -> ( ( I ` j ) = f -> N e. f ) )
55	54	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) -> ( ( I ` j ) = f -> N e. f ) ) )
56	55	3imp 1224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) /\ ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) /\ ( I ` j ) = f ) -> N e. f )
57	51, 56	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) /\ ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) /\ ( I ` j ) = f ) -> ( f e. E /\ N e. f ) )
58	57	3exp 1233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) -> ( ( I ` j ) = f -> ( f e. E /\ N e. f ) ) ) )
59	32, 58	biimtrid 152	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } -> ( ( I ` j ) = f -> ( f e. E /\ N e. f ) ) ) )
60	59	rexlimdv 2667	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = f -> ( f e. E /\ N e. f ) ) )
61	24	funfnd 5406	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. USHGraph -> (iEdg ` G ) Fn dom (iEdg ` G ) )
62		fvelrnb 5747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (iEdg ` G ) Fn dom (iEdg ` G ) -> ( f e. ran (iEdg ` G ) <-> E. j e. dom (iEdg ` G ) ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) )
63	61, 62	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. USHGraph -> ( f e. ran (iEdg ` G ) <-> E. j e. dom (iEdg ` G ) ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) )
64	35	dmeqi 4980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- dom (iEdg ` G ) = dom I
65	64	eleq2i 2305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j e. dom (iEdg ` G ) <-> j e. dom I )
66	65	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. dom (iEdg ` G ) -> j e. dom I )
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. dom (iEdg ` G ) /\ ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) -> j e. dom I )
68	67	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. f ) /\ ( j e. dom (iEdg ` G ) /\ ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) ) -> j e. dom I )
69	35	fveq1i 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( (iEdg ` G ) ` j ) = ( I ` j )
70	69	eqeq2i 2249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f = ( (iEdg ` G ) ` j ) <-> f = ( I ` j ) )
71	70	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( f = ( (iEdg ` G ) ` j ) -> f = ( I ` j ) )
72	71	eqcoms 2241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( (iEdg ` G ) ` j ) = f -> f = ( I ` j ) )
73	72	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( (iEdg ` G ) ` j ) = f -> ( N e. f <-> N e. ( I ` j ) ) )
74	73	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( N e. f -> ( ( (iEdg ` G ) ` j ) = f -> N e. ( I ` j ) ) )
75	74	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. f ) -> ( ( (iEdg ` G ) ` j ) = f -> N e. ( I ` j ) ) )
76	75	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. f ) -> ( ( j e. dom (iEdg ` G ) /\ ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) -> N e. ( I ` j ) ) )
77	76	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. f ) /\ ( j e. dom (iEdg ` G ) /\ ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) ) -> N e. ( I ` j ) )
78	68, 77	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. f ) /\ ( j e. dom (iEdg ` G ) /\ ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) ) -> ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) )
79	78, 32	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. f ) /\ ( j e. dom (iEdg ` G ) /\ ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) ) -> j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } )
80	69	eqeq1i 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( (iEdg ` G ) ` j ) = f <-> ( I ` j ) = f )
81	80	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( (iEdg ` G ) ` j ) = f -> ( I ` j ) = f )
82	81	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( j e. dom (iEdg ` G ) /\ ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) -> ( I ` j ) = f )
83	82	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. f ) /\ ( j e. dom (iEdg ` G ) /\ ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) ) -> ( I ` j ) = f )
84	79, 83	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. f ) /\ ( j e. dom (iEdg ` G ) /\ ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) ) -> ( j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } /\ ( I ` j ) = f ) )
85	84	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. f ) -> ( ( j e. dom (iEdg ` G ) /\ ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) -> ( j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } /\ ( I ` j ) = f ) ) )
86	85	reximdv2 2649	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. f ) -> ( E. j e. dom (iEdg ` G ) ( (iEdg ` G ) ` j ) = f -> E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = f ) )
87	86	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. USHGraph -> ( N e. f -> ( E. j e. dom (iEdg ` G ) ( (iEdg ` G ) ` j ) = f -> E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = f ) ) )
88	87	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. USHGraph -> ( E. j e. dom (iEdg ` G ) ( (iEdg ` G ) ` j ) = f -> ( N e. f -> E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = f ) ) )
89	63, 88	sylbid 150	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. USHGraph -> ( f e. ran (iEdg ` G ) -> ( N e. f -> E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = f ) ) )
90	48, 89	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. USHGraph -> ( f e. E -> ( N e. f -> E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = f ) ) )
91	90	impd 254	. . . . . . . . 9 |- ( G e. USHGraph -> ( ( f e. E /\ N e. f ) -> E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = f ) )
92	91	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( ( f e. E /\ N e. f ) -> E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = f ) )
93	60, 92	impbid 129	. . . . . . 7 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = f <-> ( f e. E /\ N e. f ) ) )
94		vex 2824	. . . . . . . 8 |- f e. _V
95		eqeq2 2248	. . . . . . . . 9 |- ( e = f -> ( ( I ` j ) = e <-> ( I ` j ) = f ) )
96	95	rexbidv 2551	. . . . . . . 8 |- ( e = f -> ( E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = e <-> E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = f ) )
97	94, 96	elab 2970	. . . . . . 7 |- ( f e. { e | E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = e } <-> E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = f )
98		eleq2 2302	. . . . . . . 8 |- ( e = f -> ( N e. e <-> N e. f ) )
99		ushgredgedg.b	. . . . . . . 8 |- B = { e e. E | N e. e }
100	98, 99	elrab2 2985	. . . . . . 7 |- ( f e. B <-> ( f e. E /\ N e. f ) )
101	93, 97, 100	3bitr4g 223	. . . . . 6 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( f e. { e | E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = e } <-> f e. B ) )
102	101	eqrdv 2236	. . . . 5 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> { e | E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = e } = B )
103	29, 102	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( I " { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) = B )
104	103	eqcomd 2244	. . 3 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> B = ( I " { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) )
105	20, 10, 104	f1oeq123d 5631	. 2 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( F : A -1-1-onto-> B <-> ( I |` { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) : { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } -1-1-onto-> ( I " { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) ) )
106	7, 105	mpbird 167	1 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> F : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   E.wrex 2529   {crab 2532   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   |-> cmpt 4190   dom cdm 4772   ran crn 4773   |` cres 4774   "cima 4775   Fun wfun 5369   Fn wfn 5370   -->wf 5371   -1-1->wf1 5372   -1-1-onto->wf1o 5374   ` cfv 5375  Vtxcvtx 16236  iEdgciedg 16237  Edgcedg 16281  UHGraphcuhgr 16291  USHGraphcushgr 16292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-sub 8493  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-dec 9761  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-edgf 16229  df-vtx 16238  df-iedg 16239  df-edg 16282  df-uhgrm 16293  df-ushgrm 16294

This theorem is referenced by:  usgredgedg  16451  vtxduspgrfvedgfilem  16524