Theorem usgruspgr 16407

Description: A simple graph is a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 15-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgruspgr	|- ( G e. USGraph -> G e. USPGraph )

Proof of Theorem usgruspgr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
2		eqid 2238	. . . . 5 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
3	1, 2	isusgren 16382	. . . 4 |- ( G e. USGraph -> ( G e. USGraph <-> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | x ~~ 2o } ) )
4		olc 723	. . . . . . 7 |- ( x ~~ 2o -> ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) )
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. ~P (Vtx ` G ) -> ( x ~~ 2o -> ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) ) )
6	5	ss2rabi 3330	. . . . 5 |- { x e. ~P (Vtx ` G ) | x ~~ 2o } C_ { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) }
7		f1ss 5602	. . . . 5 |- ( ( (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | x ~~ 2o } /\ { x e. ~P (Vtx ` G ) | x ~~ 2o } C_ { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) -> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
8	6, 7	mpan2 429	. . . 4 |- ( (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | x ~~ 2o } -> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
9	3, 8	biimtrdi 163	. . 3 |- ( G e. USGraph -> ( G e. USGraph -> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
10	1, 2	isuspgren 16381	. . 3 |- ( G e. USGraph -> ( G e. USPGraph <-> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
11	9, 10	sylibrd 169	. 2 |- ( G e. USGraph -> ( G e. USGraph -> G e. USPGraph ) )
12	11	pm2.43i 49	1 |- ( G e. USGraph -> G e. USPGraph )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 720   e. wcel 2209   {crab 2532   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   class class class wbr 4128   dom cdm 4772   -1-1->wf1 5372   ` cfv 5375   1oc1o 6674   2oc2o 6675   ~~ cen 7014  Vtxcvtx 16236  iEdgciedg 16237  USPGraphcuspgr 16377  USGraphcusgr 16378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-sub 8493  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-dec 9761  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-edgf 16229  df-vtx 16238  df-iedg 16239  df-uspgren 16379  df-usgren 16380

This theorem is referenced by:  usgrumgruspgr  16409  usgruspgrben  16410  usgrupgr  16412  usgrislfuspgrdom  16414  usgredg2vtxeu  16443  usgredgedg  16451  usgredgdomord  16454  vtxdusgrfvedgfi  16526