Theorem usgruspgr 16165

Description: A simple graph is a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 15-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgruspgr	|- ( G e. USGraph -> G e. USPGraph )

Proof of Theorem usgruspgr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
2		eqid 2232	. . . . 5 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
3	1, 2	isusgren 16140	. . . 4 |- ( G e. USGraph -> ( G e. USGraph <-> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | x ~~ 2o } ) )
4		olc 719	. . . . . . 7 |- ( x ~~ 2o -> ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) )
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. ~P (Vtx ` G ) -> ( x ~~ 2o -> ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) ) )
6	5	ss2rabi 3319	. . . . 5 |- { x e. ~P (Vtx ` G ) | x ~~ 2o } C_ { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) }
7		f1ss 5578	. . . . 5 |- ( ( (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | x ~~ 2o } /\ { x e. ~P (Vtx ` G ) | x ~~ 2o } C_ { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) -> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
8	6, 7	mpan2 425	. . . 4 |- ( (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | x ~~ 2o } -> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
9	3, 8	biimtrdi 163	. . 3 |- ( G e. USGraph -> ( G e. USGraph -> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
10	1, 2	isuspgren 16139	. . 3 |- ( G e. USGraph -> ( G e. USPGraph <-> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
11	9, 10	sylibrd 169	. 2 |- ( G e. USGraph -> ( G e. USGraph -> G e. USPGraph ) )
12	11	pm2.43i 49	1 |- ( G e. USGraph -> G e. USPGraph )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 716   e. wcel 2203   {crab 2524   C_ wss 3210   ~Pcpw 3668   class class class wbr 4108   dom cdm 4748   -1-1->wf1 5348   ` cfv 5351   1oc1o 6639   2oc2o 6640   ~~ cen 6972  Vtxcvtx 15994  iEdgciedg 15995  USPGraphcuspgr 16135  USGraphcusgr 16136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-sub 8442  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-dec 9706  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-edgf 15987  df-vtx 15996  df-iedg 15997  df-uspgren 16137  df-usgren 16138

This theorem is referenced by:  usgrumgruspgr  16167  usgruspgrben  16168  usgrupgr  16170  usgrislfuspgrdom  16172  usgredg2vtxeu  16201  usgredgedg  16209  usgredgdomord  16212  vtxdusgrfvedgfi  16284