Theorem usgrnloopv 16079

Description: In a simple graph, there is no loop, i.e. no edge connecting a vertex with itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.) (Revised by AV, 17-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 11-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrnloopv.e	|- E = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
usgrnloopv	|- ( ( G e. USGraph /\ M e. W ) -> ( ( E ` X ) = { M , N } -> M =/= N ) )

Proof of Theorem usgrnloopv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrumgr 16062	. 2 |- ( G e. USGraph -> G e. UMGraph )
2		usgrnloopv.e	. . 3 |- E = (iEdg ` G )
3	2	umgrnloopv 15992	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ M e. W ) -> ( ( E ` X ) = { M , N } -> M =/= N ) )
4	1, 3	sylan 283	1 |- ( ( G e. USGraph /\ M e. W ) -> ( ( E ` X ) = { M , N } -> M =/= N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   {cpr 3670   ` cfv 5326  iEdgciedg 15891  UMGraphcumgr 15970  USGraphcusgr 16032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-1o 6585  df-2o 6586  df-er 6705  df-en 6913  df-sub 8355  df-inn 9147  df-2 9205  df-3 9206  df-4 9207  df-5 9208  df-6 9209  df-7 9210  df-8 9211  df-9 9212  df-n0 9406  df-dec 9615  df-ndx 13106  df-slot 13107  df-base 13109  df-edgf 15883  df-vtx 15892  df-iedg 15893  df-uhgrm 15947  df-upgren 15971  df-umgren 15972  df-usgren 16034

This theorem is referenced by: (None)