Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzin2 GIF version

Theorem uzin2 10483
 Description: The upper integers are closed under intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzin2 ((𝐴 ∈ ran ℤ𝐵 ∈ ran ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ran ℤ)

Proof of Theorem uzin2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzf 9085 . . . 4 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2 ffn 5176 . . . 4 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ Fn ℤ)
31, 2ax-mp 7 . . 3 Fn ℤ
4 fvelrnb 5367 . . 3 (ℤ Fn ℤ → (𝐴 ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ𝑥) = 𝐴))
53, 4ax-mp 7 . 2 (𝐴 ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ𝑥) = 𝐴)
6 fvelrnb 5367 . . 3 (ℤ Fn ℤ → (𝐵 ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ𝑦) = 𝐵))
73, 6ax-mp 7 . 2 (𝐵 ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ𝑦) = 𝐵)
8 ineq1 3197 . . 3 ((ℤ𝑥) = 𝐴 → ((ℤ𝑥) ∩ (ℤ𝑦)) = (𝐴 ∩ (ℤ𝑦)))
98eleq1d 2157 . 2 ((ℤ𝑥) = 𝐴 → (((ℤ𝑥) ∩ (ℤ𝑦)) ∈ ran ℤ ↔ (𝐴 ∩ (ℤ𝑦)) ∈ ran ℤ))
10 ineq2 3198 . . 3 ((ℤ𝑦) = 𝐵 → (𝐴 ∩ (ℤ𝑦)) = (𝐴𝐵))
1110eleq1d 2157 . 2 ((ℤ𝑦) = 𝐵 → ((𝐴 ∩ (ℤ𝑦)) ∈ ran ℤ ↔ (𝐴𝐵) ∈ ran ℤ))
12 uzin 9114 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((ℤ𝑥) ∩ (ℤ𝑦)) = (ℤ‘if(𝑥𝑦, 𝑦, 𝑥)))
13 simpr 109 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
14 simpl 108 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
15 zdcle 8886 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → DECID 𝑥𝑦)
1613, 14, 15ifcldcd 3432 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → if(𝑥𝑦, 𝑦, 𝑥) ∈ ℤ)
17 fnfvelrn 5447 . . . 4 ((ℤ Fn ℤ ∧ if(𝑥𝑦, 𝑦, 𝑥) ∈ ℤ) → (ℤ‘if(𝑥𝑦, 𝑦, 𝑥)) ∈ ran ℤ)
183, 16, 17sylancr 406 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (ℤ‘if(𝑥𝑦, 𝑦, 𝑥)) ∈ ran ℤ)
1912, 18eqeltrd 2165 . 2 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((ℤ𝑥) ∩ (ℤ𝑦)) ∈ ran ℤ)
205, 7, 9, 11, 192gencl 2655 1 ((𝐴 ∈ ran ℤ𝐵 ∈ ran ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ran ℤ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ∃wrex 2361   ∩ cin 3001  ifcif 3399  𝒫 cpw 3435   class class class wbr 3853  ran crn 4455   Fn wfn 5025  ⟶wf 5026  ‘cfv 5030   ≤ cle 7586  ℤcz 8813  ℤ≥cuz 9082 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-addass 7510  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083 This theorem is referenced by:  rexanuz  10484
 Copyright terms: Public domain W3C validator