Theorem xltneg 10061

Description: Extended real version of ltneg 8632. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xltneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))

Proof of Theorem xltneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xltnegi 10060	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)
2	1	3expia 1229	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
3		xnegcl 10057	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
4		xnegcl 10057	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
5		xltnegi 10060	. . . . 5 ⊢ ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴) → -𝑒-𝑒𝐴 < -𝑒-𝑒𝐵)
6	5	3expia 1229	. . . 4 ⊢ ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 → -𝑒-𝑒𝐴 < -𝑒-𝑒𝐵))
7	3, 4, 6	syl2anr 290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 → -𝑒-𝑒𝐴 < -𝑒-𝑒𝐵))
8		xnegneg 10058	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
9		xnegneg 10058	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
10	8, 9	breqan12d 4102	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒-𝑒𝐴 < -𝑒-𝑒𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐵))
11	7, 10	sylibd 149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
12	2, 11	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ℝ^*cxr 8203   < clt 8204  -_𝑒cxne 9994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-sub 8342  df-neg 8343  df-xneg 9997

This theorem is referenced by:  xleneg  10062  xlt0neg1  10063  xlt0neg2  10064  xrnegiso  11813  xrminmax  11816  xrltmininf  11821  xrminltinf  11823