Theorem xltneg 9722

Description: Extended real version of ltneg 8320. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xltneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))

Proof of Theorem xltneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xltnegi 9721	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)
2	1	3expia 1187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
3		xnegcl 9718	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
4		xnegcl 9718	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
5		xltnegi 9721	. . . . 5 ⊢ ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴) → -𝑒-𝑒𝐴 < -𝑒-𝑒𝐵)
6	5	3expia 1187	. . . 4 ⊢ ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 → -𝑒-𝑒𝐴 < -𝑒-𝑒𝐵))
7	3, 4, 6	syl2anr 288	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 → -𝑒-𝑒𝐴 < -𝑒-𝑒𝐵))
8		xnegneg 9719	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
9		xnegneg 9719	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
10	8, 9	breqan12d 3981	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒-𝑒𝐴 < -𝑒-𝑒𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐵))
11	7, 10	sylibd 148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
12	2, 11	impbid 128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  ℝ^*cxr 7894   < clt 7895  -_𝑒cxne 9658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-cnre 7826  ax-pre-ltadd 7831

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-sub 8031  df-neg 8032  df-xneg 9661

This theorem is referenced by:  xleneg  9723  xlt0neg1  9724  xlt0neg2  9725  xrnegiso  11141  xrminmax  11144  xrltmininf  11149  xrminltinf  11151