Theorem xltneg 9772

Description: Extended real version of ltneg 8360. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xltneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))

Proof of Theorem xltneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xltnegi 9771	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)
2	1	3expia 1195	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
3		xnegcl 9768	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
4		xnegcl 9768	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
5		xltnegi 9771	. . . . 5 ⊢ ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴) → -𝑒-𝑒𝐴 < -𝑒-𝑒𝐵)
6	5	3expia 1195	. . . 4 ⊢ ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 → -𝑒-𝑒𝐴 < -𝑒-𝑒𝐵))
7	3, 4, 6	syl2anr 288	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 → -𝑒-𝑒𝐴 < -𝑒-𝑒𝐵))
8		xnegneg 9769	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
9		xnegneg 9769	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
10	8, 9	breqan12d 3998	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒-𝑒𝐴 < -𝑒-𝑒𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐵))
11	7, 10	sylibd 148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
12	2, 11	impbid 128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ℝ^*cxr 7932   < clt 7933  -_𝑒cxne 9705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-sub 8071  df-neg 8072  df-xneg 9708

This theorem is referenced by:  xleneg  9773  xlt0neg1  9774  xlt0neg2  9775  xrnegiso  11203  xrminmax  11206  xrltmininf  11211  xrminltinf  11213