Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrnegiso Unicode version

Theorem xrnegiso 11152
 Description: Negation is an order anti-isomorphism of the extended reals, which is its own inverse. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
xrnegiso.1
Assertion
Ref Expression
xrnegiso

Proof of Theorem xrnegiso
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrnegiso.1 . . . . . 6
2 simpr 109 . . . . . . 7
32xnegcld 9752 . . . . . 6
4 simpr 109 . . . . . . 7
54xnegcld 9752 . . . . . 6
6 xnegneg 9730 . . . . . . . . . . 11
76eqeq2d 2169 . . . . . . . . . 10
87adantr 274 . . . . . . . . 9
9 eqcom 2159 . . . . . . . . 9
108, 9bitrdi 195 . . . . . . . 8
11 simpr 109 . . . . . . . . 9
12 xnegcl 9729 . . . . . . . . . 10
1312adantr 274 . . . . . . . . 9
14 xneg11 9731 . . . . . . . . 9
1511, 13, 14syl2anc 409 . . . . . . . 8
1610, 15bitr3d 189 . . . . . . 7
1716adantl 275 . . . . . 6
181, 3, 5, 17f1ocnv2d 6021 . . . . 5
1918mptru 1344 . . . 4
2019simpli 110 . . 3
21 simpl 108 . . . . . . 7
2221xnegcld 9752 . . . . . 6
23 simpr 109 . . . . . . 7
2423xnegcld 9752 . . . . . 6
25 brcnvg 4766 . . . . . 6
2622, 24, 25syl2anc 409 . . . . 5
27 xnegeq 9724 . . . . . . 7
281, 27, 21, 22fvmptd3 5560 . . . . . 6
29 xnegeq 9724 . . . . . . 7
301, 29, 23, 24fvmptd3 5560 . . . . . 6
3128, 30breq12d 3978 . . . . 5
32 xltneg 9733 . . . . 5
3326, 31, 323bitr4rd 220 . . . 4
3433rgen2a 2511 . . 3
35 df-isom 5178 . . 3
3620, 34, 35mpbir2an 927 . 2
37 xnegeq 9724 . . . 4
3837cbvmptv 4060 . . 3
3919simpri 112 . . 3
4038, 39, 13eqtr4i 2188 . 2
4136, 40pm3.2i 270 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 103   wb 104   wceq 1335   wtru 1336   wcel 2128  wral 2435   class class class wbr 3965   cmpt 4025  ccnv 4584  wf1o 5168  cfv 5169   wiso 5170  cxr 7905   clt 7906   cxne 9669 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-addass 7828  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837  ax-pre-ltadd 7842 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-sub 8042  df-neg 8043  df-xneg 9672 This theorem is referenced by:  infxrnegsupex  11153
 Copyright terms: Public domain W3C validator