Theorem znn0sub 8971

Description: The nonnegative difference of integers is a nonnegative integer. (Generalization of nn0sub 8972.) (Contributed by NM, 14-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
znn0sub	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem znn0sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 8910	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		zre 8910	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3		subge0 8104	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 285	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑁 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
5		zsubcl 8947	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
6	5	biantrurd 301	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑁 − 𝑀) ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝑀))))
7	4, 6	bitr3d 189	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝑀))))
8	7	ancoms 266	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝑀))))
9		elnn0z 8919	. 2 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
10	8, 9	syl6bbr 197	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1448   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706  ℝcr 7499  0cc0 7500   ≤ cle 7673   − cmin 7804  ℕ₀cn0 8829  ℤcz 8906

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907

This theorem is referenced by:  nn0sub  8972  peano5uzti  9011  uznn0sub  9207  elfzmlbp  9750  cvgratnnlemrate  11138