Theorem uznn0sub 9937

Description: The nonnegative difference of integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 4-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uznn0sub	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )

Proof of Theorem uznn0sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9910	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2		znn0sub 9693	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( N - M ) e. NN0 ) )
3	2	biimp3a 1386	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N - M ) e. NN0 )
4	1, 3	sylbi 121	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4128   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   <_ cle 8355   - cmin 8491   NN0cn0 9546   ZZcz 9627   ZZ>=cuz 9904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905

This theorem is referenced by:  fznn0sub  10446  elfzmlbm  10521  frecfzen2  10847  fzfig  10850  leexp2a  11012  hashfz  11245  ccatrn  11360  cvgratnnlemnexp  12274  cvgratnnlemmn  12275  dvdsexp  12611  prmm2nn0  12894  hashdvds  12982  prmdiv  12996  prmdiveq  12997  pcaddlem  13101  gzsumconst  14126  lgsquadlem1  16179  clwwlknonex2lem1  16661  clwwlknonex2lem2  16662