Theorem uznn0sub 9722

Description: The nonnegative difference of integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 4-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uznn0sub	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )

Proof of Theorem uznn0sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9696	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2		znn0sub 9480	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( N - M ) e. NN0 ) )
3	2	biimp3a 1360	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N - M ) e. NN0 )
4	1, 3	sylbi 121	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 983   e. wcel 2180   class class class wbr 4062   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   <_ cle 8150   - cmin 8285   NN0cn0 9337   ZZcz 9414   ZZ>=cuz 9690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691

This theorem is referenced by:  fznn0sub  10221  elfzmlbm  10295  frecfzen2  10616  fzfig  10619  leexp2a  10781  hashfz  11010  ccatrn  11110  cvgratnnlemnexp  12001  cvgratnnlemmn  12002  dvdsexp  12338  prmm2nn0  12621  hashdvds  12709  prmdiv  12723  prmdiveq  12724  pcaddlem  12828  gsumfzconst  13844  lgsquadlem1  15721