Theorem uznn0sub 9762

Description: The nonnegative difference of integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 4-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uznn0sub	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )

Proof of Theorem uznn0sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9736	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2		znn0sub 9520	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( N - M ) e. NN0 ) )
3	2	biimp3a 1379	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N - M ) e. NN0 )
4	1, 3	sylbi 121	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   <_ cle 8190   - cmin 8325   NN0cn0 9377   ZZcz 9454   ZZ>=cuz 9730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731

This theorem is referenced by:  fznn0sub  10261  elfzmlbm  10335  frecfzen2  10657  fzfig  10660  leexp2a  10822  hashfz  11051  ccatrn  11152  cvgratnnlemnexp  12043  cvgratnnlemmn  12044  dvdsexp  12380  prmm2nn0  12663  hashdvds  12751  prmdiv  12765  prmdiveq  12766  pcaddlem  12870  gsumfzconst  13886  lgsquadlem1  15764