Theorem zob 12555

Description: Alternate characterizations of an odd number. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zob	|- ( N e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Proof of Theorem zob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9601	. . 3 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ )
2		peano2z 9599	. . . 4 |- ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) e. ZZ )
3		peano2z 9599	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
4	3	zcnd 9687	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. CC )
5	4	halfcld 9471	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. CC )
6		npcan1 8639	. . . . . . 7 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. CC -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) )
8	7	eqcomd 2238	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) )
9	8	eleq1d 2301	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) e. ZZ ) )
10	2, 9	imbitrrid 156	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
11	1, 10	impbid2 143	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ ) )
12		zcn 9568	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
13		xp1d2m1eqxm1d2 9479	. . . 4 |- ( N e. CC -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
14	12, 13	syl 14	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
15	14	eleq1d 2301	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
16	11, 15	bitrd 188	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203  (class class class)co 6041   CCcc 8113   1c1 8116   + caddc 8118   - cmin 8432   / cdiv 8934   2c2 9276   ZZcz 9563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4221  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-1re 8209  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-mulrcl 8214  ax-addcom 8215  ax-mulcom 8216  ax-addass 8217  ax-mulass 8218  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-0lt1 8221  ax-1rid 8222  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-precex 8225  ax-cnre 8226  ax-pre-ltirr 8227  ax-pre-ltwlin 8228  ax-pre-lttrn 8229  ax-pre-apti 8230  ax-pre-ltadd 8231  ax-pre-mulgt0 8232  ax-pre-mulext 8233

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-br 4103  df-opab 4165  df-id 4405  df-po 4408  df-iso 4409  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-pnf 8298  df-mnf 8299  df-xr 8300  df-ltxr 8301  df-le 8302  df-sub 8434  df-neg 8435  df-reap 8837  df-ap 8844  df-div 8935  df-inn 9226  df-2 9284  df-n0 9485  df-z 9564

This theorem is referenced by:  oddm1d2  12556