Theorem zob 12038

Description: Alternate characterizations of an odd number. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zob	|- ( N e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Proof of Theorem zob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9361	. . 3 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ )
2		peano2z 9359	. . . 4 |- ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) e. ZZ )
3		peano2z 9359	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
4	3	zcnd 9446	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. CC )
5	4	halfcld 9233	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. CC )
6		npcan1 8402	. . . . . . 7 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. CC -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) )
8	7	eqcomd 2202	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) )
9	8	eleq1d 2265	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) + 1 ) e. ZZ ) )
10	2, 9	imbitrrid 156	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
11	1, 10	impbid2 143	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ ) )
12		zcn 9328	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
13		xp1d2m1eqxm1d2 9241	. . . 4 |- ( N e. CC -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
14	12, 13	syl 14	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
15	14	eleq1d 2265	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
16	11, 15	bitrd 188	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167  (class class class)co 5922   CCcc 7875   1c1 7878   + caddc 7880   - cmin 8195   / cdiv 8696   2c2 9038   ZZcz 9323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994  ax-pre-mulext 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-reap 8599  df-ap 8606  df-div 8697  df-inn 8988  df-2 9046  df-n0 9247  df-z 9324

This theorem is referenced by:  oddm1d2  12039