Theorem zob 11837

Description: Alternate characterizations of an odd number. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zob	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))

Proof of Theorem zob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9237	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
2		peano2z 9235	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) + 1) ∈ ℤ)
3		peano2z 9235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4	3	zcnd 9322	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5	4	halfcld 9109	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℂ)
6		npcan1 8284	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℂ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) + 1) = ((𝑁 + 1) / 2))
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) + 1) = ((𝑁 + 1) / 2))
8	7	eqcomd 2176	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) = ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) + 1))
9	8	eleq1d 2239	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) + 1) ∈ ℤ))
10	2, 9	syl5ibr 155	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
11	1, 10	impbid2 142	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ))
12		zcn 9204	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
13		xp1d2m1eqxm1d2 9117	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
14	12, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
15	14	eleq1d 2239	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
16	11, 15	bitrd 187	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5850  ℂcc 7759  1c1 7762   + caddc 7764   − cmin 8077   / cdiv 8576  2c2 8916  ℤcz 9199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-n0 9123  df-z 9200

This theorem is referenced by:  oddm1d2  11838