Theorem zob 11937

Description: Alternate characterizations of an odd number. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zob	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))

Proof of Theorem zob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9326	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
2		peano2z 9324	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) + 1) ∈ ℤ)
3		peano2z 9324	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4	3	zcnd 9411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5	4	halfcld 9198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℂ)
6		npcan1 8370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℂ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) + 1) = ((𝑁 + 1) / 2))
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) + 1) = ((𝑁 + 1) / 2))
8	7	eqcomd 2195	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) = ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) + 1))
9	8	eleq1d 2258	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) + 1) ∈ ℤ))
10	2, 9	imbitrrid 156	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
11	1, 10	impbid2 143	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ))
12		zcn 9293	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
13		xp1d2m1eqxm1d2 9206	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
14	12, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
15	14	eleq1d 2258	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
16	11, 15	bitrd 188	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  (class class class)co 5900  ℂcc 7844  1c1 7847   + caddc 7849   − cmin 8163   / cdiv 8664  2c2 9005  ℤcz 9288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665  df-inn 8955  df-2 9013  df-n0 9212  df-z 9289

This theorem is referenced by:  oddm1d2  11938