Theorem 0fin 6731

Description: The empty set is finite. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
0fin	⊢ ∅ ∈ Fin

Proof of Theorem 0fin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 4468	. 2 ⊢ ∅ ∈ ω
2		nnfi 6719	. 2 ⊢ (∅ ∈ ω → ∅ ∈ Fin)
3	1, 2	ax-mp 7	1 ⊢ ∅ ∈ Fin

Syntax hints:   ∈ wcel 1463  ∅c0 3329  ωcom 4464  Fincfn 6588

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-en 6589  df-fin 6591

This theorem is referenced by:  xpfi  6771  ssfirab  6774  fnfi  6777  iunfidisj  6786  fidcenumlemr  6795  fzfig  10096  fihasheq0  10433  hash0  10436