Theorem fin0 6941

Description: A nonempty finite set has at least one element. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fin0	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem fin0

Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6815	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3		simplrr 536	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 ≈ 𝑛)
4		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝑛 = ∅)
5	3, 4	breqtrd 4055	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 ≈ ∅)
6		en0 6849	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
7	5, 6	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 = ∅)
8		nner 2368	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≠ ∅)
9	7, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → ¬ 𝐴 ≠ ∅)
10		n0r 3460	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
11	10	necon2bi 2419	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
12	7, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
13	9, 12	2falsed 703	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
14		simplrr 536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝐴 ≈ 𝑛)
15	14	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → 𝐴 ≈ 𝑛)
16	15	ensymd 6837	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → 𝑛 ≈ 𝐴)
17		bren 6801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴)
18	16, 17	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → ∃𝑓 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴)
19		f1of 5500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:𝑛⟶𝐴)
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → 𝑓:𝑛⟶𝐴)
21		sucidg 4447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ suc 𝑚)
22	21	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → 𝑚 ∈ suc 𝑚)
23		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → 𝑛 = suc 𝑚)
24	22, 23	eleqtrrd 2273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → 𝑚 ∈ 𝑛)
25	20, 24	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴)
26		elex2 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
28	27, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
29	28, 27	2thd 175	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
30	18, 29	exlimddv 1910	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
31	30	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 = suc 𝑚 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)))
32	31	rexlimdva 2611	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)))
33	32	imp 124	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
34		nn0suc 4636	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑛 = ∅ ∨ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
35	34	ad2antrl 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝑛 = ∅ ∨ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
36	13, 33, 35	mpjaodan 799	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
37	2, 36	rexlimddv 2616	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∃wrex 2473  ∅c0 3446   class class class wbr 4029  suc csuc 4396  ωcom 4622  ⟶wf 5250  –1-1-onto→wf1o 5253  ‘cfv 5254   ≈ cen 6792  Fincfn 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797

This theorem is referenced by:  findcard2  6945  findcard2s  6946  diffisn  6949  fimax2gtri  6957  elfi2  7031  elfir  7032  fiuni  7037  fifo  7039  4sqlem12  12540