Theorem fin0 6994

Description: A nonempty finite set has at least one element. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fin0	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem fin0

Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6862	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3		simplrr 536	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 ≈ 𝑛)
4		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝑛 = ∅)
5	3, 4	breqtrd 4074	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 ≈ ∅)
6		en0 6897	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
7	5, 6	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 = ∅)
8		nner 2381	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≠ ∅)
9	7, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → ¬ 𝐴 ≠ ∅)
10		n0r 3476	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
11	10	necon2bi 2432	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
12	7, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
13	9, 12	2falsed 704	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
14		simplrr 536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝐴 ≈ 𝑛)
15	14	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → 𝐴 ≈ 𝑛)
16	15	ensymd 6885	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → 𝑛 ≈ 𝐴)
17		bren 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴)
18	16, 17	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → ∃𝑓 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴)
19		f1of 5531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:𝑛⟶𝐴)
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → 𝑓:𝑛⟶𝐴)
21		sucidg 4468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ suc 𝑚)
22	21	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → 𝑚 ∈ suc 𝑚)
23		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → 𝑛 = suc 𝑚)
24	22, 23	eleqtrrd 2286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → 𝑚 ∈ 𝑛)
25	20, 24	ffvelcdmd 5726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴)
26		elex2 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
28	27, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
29	28, 27	2thd 175	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
30	18, 29	exlimddv 1923	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
31	30	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 = suc 𝑚 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)))
32	31	rexlimdva 2624	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)))
33	32	imp 124	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
34		nn0suc 4657	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑛 = ∅ ∨ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
35	34	ad2antrl 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝑛 = ∅ ∨ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
36	13, 33, 35	mpjaodan 800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
37	2, 36	rexlimddv 2629	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  ∃wrex 2486  ∅c0 3462   class class class wbr 4048  suc csuc 4417  ωcom 4643  ⟶wf 5273  –1-1-onto→wf1o 5276  ‘cfv 5277   ≈ cen 6835  Fincfn 6837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-iinf 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-id 4345  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-er 6630  df-en 6838  df-fin 6840

This theorem is referenced by:  findcard2  6998  findcard2s  6999  diffisn  7002  fimax2gtri  7010  elfi2  7086  elfir  7087  fiuni  7092  fifo  7094  4sqlem12  12775