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Theorem fin0 6875
Description: A nonempty finite set has at least one element. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
fin0 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem fin0
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6751 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 120 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
3 simplrr 536 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴𝑛)
4 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝑛 = ∅)
53, 4breqtrd 4024 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 ≈ ∅)
6 en0 6785 . . . . . 6 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
75, 6sylib 122 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 = ∅)
8 nner 2349 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≠ ∅)
97, 8syl 14 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → ¬ 𝐴 ≠ ∅)
10 n0r 3434 . . . . . 6 (∃𝑥 𝑥𝐴𝐴 ≠ ∅)
1110necon2bi 2400 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴)
127, 11syl 14 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴)
139, 122falsed 702 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴))
14 simplrr 536 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝐴𝑛)
1514adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → 𝐴𝑛)
1615ensymd 6773 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → 𝑛𝐴)
17 bren 6737 . . . . . . . 8 (𝑛𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑛1-1-onto𝐴)
1816, 17sylib 122 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → ∃𝑓 𝑓:𝑛1-1-onto𝐴)
19 f1of 5453 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝑛1-1-onto𝐴𝑓:𝑛𝐴)
2019adantl 277 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛1-1-onto𝐴) → 𝑓:𝑛𝐴)
21 sucidg 4410 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ suc 𝑚)
2221ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛1-1-onto𝐴) → 𝑚 ∈ suc 𝑚)
23 simplr 528 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛1-1-onto𝐴) → 𝑛 = suc 𝑚)
2422, 23eleqtrrd 2255 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛1-1-onto𝐴) → 𝑚𝑛)
2520, 24ffvelrnd 5644 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛1-1-onto𝐴) → (𝑓𝑚) ∈ 𝐴)
26 elex2 2751 . . . . . . . . . 10 ((𝑓𝑚) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
2725, 26syl 14 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛1-1-onto𝐴) → ∃𝑥 𝑥𝐴)
2827, 10syl 14 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛1-1-onto𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
2928, 272thd 175 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑓:𝑛1-1-onto𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴))
3018, 29exlimddv 1896 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴))
3130ex 115 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 = suc 𝑚 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)))
3231rexlimdva 2592 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)))
3332imp 124 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴))
34 nn0suc 4597 . . . 4 (𝑛 ∈ ω → (𝑛 = ∅ ∨ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
3534ad2antrl 490 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝑛 = ∅ ∨ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
3613, 33, 35mpjaodan 798 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴))
372, 36rexlimddv 2597 1 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wex 1490  wcel 2146  wne 2345  wrex 2454  c0 3420   class class class wbr 3998  suc csuc 4359  ωcom 4583  wf 5204  1-1-ontowf1o 5207  cfv 5208  cen 6728  Fincfn 6730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-iinf 4581
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-er 6525  df-en 6731  df-fin 6733
This theorem is referenced by:  findcard2  6879  findcard2s  6880  diffisn  6883  fimax2gtri  6891  elfi2  6961  elfir  6962  fiuni  6967  fifo  6969
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