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Theorem fisbth 6679
Description: Schroeder-Bernstein Theorem for finite sets. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
fisbth (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem fisbth
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6558 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 119 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
32ad2antrr 473 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
4 isfi 6558 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐵𝑚)
54biimpi 119 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵𝑚)
65ad3antlr 478 . . 3 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵𝑚)
7 simplrr 504 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝐴𝑛)
87ensymd 6580 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑛𝐴)
9 simprl 499 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → 𝐴𝐵)
109ad2antrr 473 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝐴𝐵)
11 endomtr 6587 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝐴𝐴𝐵) → 𝑛𝐵)
128, 10, 11syl2anc 404 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑛𝐵)
13 simprr 500 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝐵𝑚)
14 domentr 6588 . . . . . . . 8 ((𝑛𝐵𝐵𝑚) → 𝑛𝑚)
1512, 13, 14syl2anc 404 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑛𝑚)
16 simplrl 503 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
17 simprl 499 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
18 nndomo 6660 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛𝑚𝑛𝑚))
1916, 17, 18syl2anc 404 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → (𝑛𝑚𝑛𝑚))
2015, 19mpbid 146 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑛𝑚)
2113ensymd 6580 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑚𝐵)
22 simprr 500 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → 𝐵𝐴)
2322ad2antrr 473 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝐵𝐴)
24 endomtr 6587 . . . . . . . . 9 ((𝑚𝐵𝐵𝐴) → 𝑚𝐴)
2521, 23, 24syl2anc 404 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑚𝐴)
26 domentr 6588 . . . . . . . 8 ((𝑚𝐴𝐴𝑛) → 𝑚𝑛)
2725, 7, 26syl2anc 404 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑚𝑛)
28 nndomo 6660 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑚𝑛𝑚𝑛))
2917, 16, 28syl2anc 404 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → (𝑚𝑛𝑚𝑛))
3027, 29mpbid 146 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑚𝑛)
3120, 30eqssd 3056 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑛 = 𝑚)
327, 31breqtrd 3891 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝐴𝑚)
33 entr 6581 . . . 4 ((𝐴𝑚𝑚𝐵) → 𝐴𝐵)
3432, 21, 33syl2anc 404 . . 3 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝐴𝐵)
356, 34rexlimddv 2507 . 2 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝐴𝐵)
363, 35rexlimddv 2507 1 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1445  wrex 2371  wss 3013   class class class wbr 3867  ωcom 4433  cen 6535  cdom 6536  Fincfn 6537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-er 6332  df-en 6538  df-dom 6539  df-fin 6540
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