Theorem fisbth 7041

Description: Schroeder-Bernstein Theorem for finite sets. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fisbth	⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem fisbth

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6910	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	ad2antrr 488	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		isfi 6910	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
5	4	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
6	5	ad3antlr 493	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
7		simplrr 536	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
8	7	ensymd 6933	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 ≈ 𝐴)
9		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ≼ 𝐵)
10	9	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐴 ≼ 𝐵)
11		endomtr 6940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝑛 ≼ 𝐵)
12	8, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 ≼ 𝐵)
13		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐵 ≈ 𝑚)
14		domentr 6941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝑚) → 𝑛 ≼ 𝑚)
15	12, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 ≼ 𝑚)
16		simplrl 535	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
17		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
18		nndomo 7021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 ≼ 𝑚 ↔ 𝑛 ⊆ 𝑚))
19	16, 17, 18	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑛 ≼ 𝑚 ↔ 𝑛 ⊆ 𝑚))
20	15, 19	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 ⊆ 𝑚)
21	13	ensymd 6933	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑚 ≈ 𝐵)
22		simprr 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → 𝐵 ≼ 𝐴)
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐵 ≼ 𝐴)
24		endomtr 6940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝑚 ≼ 𝐴)
25	21, 23, 24	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑚 ≼ 𝐴)
26		domentr 6941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝑛) → 𝑚 ≼ 𝑛)
27	25, 7, 26	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑚 ≼ 𝑛)
28		nndomo 7021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑚 ≼ 𝑛 ↔ 𝑚 ⊆ 𝑛))
29	17, 16, 28	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑚 ≼ 𝑛 ↔ 𝑚 ⊆ 𝑛))
30	27, 29	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑚 ⊆ 𝑛)
31	20, 30	eqssd 3241	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 = 𝑚)
32	7, 31	breqtrd 4108	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐴 ≈ 𝑚)
33		entr 6934	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑚 ∧ 𝑚 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
34	32, 21, 33	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐴 ≈ 𝐵)
35	6, 34	rexlimddv 2653	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≈ 𝐵)
36	3, 35	rexlimddv 2653	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4082  ωcom 4681   ≈ cen 6883   ≼ cdom 6884  Fincfn 6885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888

This theorem is referenced by: (None)