Theorem fihasheq0 10051

Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.) (Intuitionized by Jim Kingdon, 23-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihasheq0	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem fihasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fin 6533	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		hashen 10041	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
3	1, 2	mpan2 416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
4		fz10 9369	. . . . 5 ⊢ (1...0) = ∅
5	4	fveq2i 5259	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...0)) = (♯‘∅)
6		0nn0 8598	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		hashfz1 10040	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...0)) = 0)
8	6, 7	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...0)) = 0
9	5, 8	eqtr3i 2107	. . 3 ⊢ (♯‘∅) = 0
10	9	eqeq2i 2095	. 2 ⊢ ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝐴) = 0)
11		en0 6445	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
12	3, 10, 11	3bitr3g 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   = wceq 1287   ∈ wcel 1436  ∅c0 3272   class class class wbr 3814  ‘cfv 4972  (class class class)co 5594   ≈ cen 6388  Fincfn 6390  0cc0 7271  1c1 7272  ℕ₀cn0 8583  ...cfz 9333  ♯chash 10032

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-addass 7368  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-recs 6005  df-frec 6091  df-1o 6116  df-er 6225  df-en 6391  df-dom 6392  df-fin 6393  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-inn 8335  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-fz 9334  df-ihash 10033

This theorem is referenced by:  fihashneq0  10052  hashnncl  10053  hash0  10054  fz1f1o  10586