ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fihasheq0 GIF version

Theorem fihasheq0 10792
Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.) (Intuitionized by Jim Kingdon, 23-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
fihasheq0 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem fihasheq0
StepHypRef Expression
1 0fin 6902 . . 3 ∅ ∈ Fin
2 hashen 10783 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
31, 2mpan2 425 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
4 fz10 10065 . . . . 5 (1...0) = ∅
54fveq2i 5533 . . . 4 (♯‘(1...0)) = (♯‘∅)
6 0nn0 9210 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
7 hashfz1 10782 . . . . 5 (0 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...0)) = 0)
86, 7ax-mp 5 . . . 4 (♯‘(1...0)) = 0
95, 8eqtr3i 2212 . . 3 (♯‘∅) = 0
109eqeq2i 2200 . 2 ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝐴) = 0)
11 en0 6813 . 2 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
123, 10, 113bitr3g 222 1 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160  c0 3437   class class class wbr 4018  cfv 5231  (class class class)co 5891  cen 6756  Fincfn 6758  0cc0 7830  1c1 7831  0cn0 9195  ...cfz 10027  chash 10774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-recs 6324  df-frec 6410  df-1o 6435  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-inn 8939  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-fz 10028  df-ihash 10775
This theorem is referenced by:  fihashneq0  10793  hashnncl  10794  hash0  10795  fihashelne0d  10796  fz1f1o  11402
  Copyright terms: Public domain W3C validator