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Theorem xpfi 6590
Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. Lemma 8.1.16 of [AczelRathjen], p. 74. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpfi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem xpfi
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 4425 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝑥 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
21eleq1d 2153 . . . 4 (𝑥 = ∅ → ((𝑥 × 𝐵) ∈ Fin ↔ (∅ × 𝐵) ∈ Fin))
32imbi2d 228 . . 3 (𝑥 = ∅ → ((𝐵 ∈ Fin → (𝑥 × 𝐵) ∈ Fin) ↔ (𝐵 ∈ Fin → (∅ × 𝐵) ∈ Fin)))
4 xpeq1 4425 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∖ {𝑧}) → (𝑥 × 𝐵) = ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵))
54eleq1d 2153 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∖ {𝑧}) → ((𝑥 × 𝐵) ∈ Fin ↔ ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin))
65imbi2d 228 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∖ {𝑧}) → ((𝐵 ∈ Fin → (𝑥 × 𝐵) ∈ Fin) ↔ (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin)))
7 xpeq1 4425 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 × 𝐵) = (𝑦 × 𝐵))
87eleq1d 2153 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 × 𝐵) ∈ Fin ↔ (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin))
98imbi2d 228 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 ∈ Fin → (𝑥 × 𝐵) ∈ Fin) ↔ (𝐵 ∈ Fin → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin)))
10 xpeq1 4425 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵))
1110eleq1d 2153 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 × 𝐵) ∈ Fin ↔ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin))
1211imbi2d 228 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ Fin → (𝑥 × 𝐵) ∈ Fin) ↔ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)))
13 0xp 4486 . . . . 5 (∅ × 𝐵) = ∅
14 0fin 6552 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
1513, 14eqeltri 2157 . . . 4 (∅ × 𝐵) ∈ Fin
1615a1i 9 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → (∅ × 𝐵) ∈ Fin)
17 xpeq1 4425 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → (𝑦 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
1817, 15syl6eqel 2175 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin)
1918a1i13 24 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑦 = ∅ → (∀𝑧𝑦 (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin) → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin)))
20 sneq 3442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑤 → {𝑧} = {𝑤})
2120difeq2d 3107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑤 → (𝑦 ∖ {𝑧}) = (𝑦 ∖ {𝑤}))
2221xpeq1d 4434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) = ((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵))
2322eleq1d 2153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑤 → (((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin ↔ ((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin))
2423imbi2d 228 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin) ↔ (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin)))
2524rspcv 2711 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝑦 → (∀𝑧𝑦 (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin) → (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin)))
2625adantl 271 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑦) → (∀𝑧𝑦 (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin) → (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin)))
27 pm2.27 39 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → ((𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin) → ((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin))
2827ad2antlr 473 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑦) → ((𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin) → ((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin))
29 vex 2618 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑤 ∈ V
3029snex 3994 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑤} ∈ V
31 xpexg 4520 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑤} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ({𝑤} × 𝐵) ∈ V)
3230, 31mpan 415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ Fin → ({𝑤} × 𝐵) ∈ V)
33 id 19 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)
34 2ndconst 5944 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ V → (2nd ↾ ({𝑤} × 𝐵)):({𝑤} × 𝐵)–1-1-onto𝐵)
3529, 34mp1i 10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ Fin → (2nd ↾ ({𝑤} × 𝐵)):({𝑤} × 𝐵)–1-1-onto𝐵)
36 f1oen2g 6424 . . . . . . . . . . . . 13 ((({𝑤} × 𝐵) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (2nd ↾ ({𝑤} × 𝐵)):({𝑤} × 𝐵)–1-1-onto𝐵) → ({𝑤} × 𝐵) ≈ 𝐵)
3732, 33, 35, 36syl3anc 1172 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ Fin → ({𝑤} × 𝐵) ≈ 𝐵)
38 enfii 6542 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ({𝑤} × 𝐵) ≈ 𝐵) → ({𝑤} × 𝐵) ∈ Fin)
3937, 38mpdan 412 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Fin → ({𝑤} × 𝐵) ∈ Fin)
4039ad2antlr 473 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑦) → ({𝑤} × 𝐵) ∈ Fin)
41 incom 3181 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑤} ∩ (𝑦 ∖ {𝑤})) = ((𝑦 ∖ {𝑤}) ∩ {𝑤})
42 disjdif 3343 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑤} ∩ (𝑦 ∖ {𝑤})) = ∅
4341, 42eqtr3i 2107 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∖ {𝑤}) ∩ {𝑤}) = ∅
44 xpdisj1 4821 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∖ {𝑤}) ∩ {𝑤}) = ∅ → (((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∩ ({𝑤} × 𝐵)) = ∅)
4543, 44ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∩ ({𝑤} × 𝐵)) = ∅
46 unfidisj 6584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin ∧ ({𝑤} × 𝐵) ∈ Fin ∧ (((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∩ ({𝑤} × 𝐵)) = ∅) → (((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∪ ({𝑤} × 𝐵)) ∈ Fin)
4745, 46mp3an3 1260 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin ∧ ({𝑤} × 𝐵) ∈ Fin) → (((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∪ ({𝑤} × 𝐵)) ∈ Fin)
48 xpundir 4463 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) × 𝐵) = (((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∪ ({𝑤} × 𝐵))
49 fidifsnid 6539 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑤𝑦) → ((𝑦 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) = 𝑦)
5049adantlr 461 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑦) → ((𝑦 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) = 𝑦)
5150xpeq1d 4434 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑦) → (((𝑦 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) × 𝐵) = (𝑦 × 𝐵))
5248, 51syl5eqr 2131 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑦) → (((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∪ ({𝑤} × 𝐵)) = (𝑦 × 𝐵))
5352eleq1d 2153 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑦) → ((((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∪ ({𝑤} × 𝐵)) ∈ Fin ↔ (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin))
5447, 53syl5ib 152 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑦) → ((((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin ∧ ({𝑤} × 𝐵) ∈ Fin) → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin))
5540, 54mpan2d 419 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑦) → (((𝑦 ∖ {𝑤}) × 𝐵) ∈ Fin → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin))
5626, 28, 553syld 56 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑤𝑦) → (∀𝑧𝑦 (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin) → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin))
5756ex 113 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑤𝑦 → (∀𝑧𝑦 (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin) → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin)))
5857exlimdv 1744 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (∃𝑤 𝑤𝑦 → (∀𝑧𝑦 (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin) → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin)))
59 fin0or 6554 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Fin → (𝑦 = ∅ ∨ ∃𝑤 𝑤𝑦))
6059adantr 270 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑦 = ∅ ∨ ∃𝑤 𝑤𝑦))
6119, 58, 60mpjaod 671 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (∀𝑧𝑦 (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin) → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin))
6261ex 113 . . . 4 (𝑦 ∈ Fin → (𝐵 ∈ Fin → (∀𝑧𝑦 (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin) → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin)))
6362com23 77 . . 3 (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑧𝑦 (𝐵 ∈ Fin → ((𝑦 ∖ {𝑧}) × 𝐵) ∈ Fin) → (𝐵 ∈ Fin → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin)))
643, 6, 9, 12, 16, 63findcard 6556 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin))
6564imp 122 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wo 662   = wceq 1287  wex 1424  wcel 1436  wral 2355  Vcvv 2615  cdif 2985  cun 2986  cin 2987  c0 3275  {csn 3431   class class class wbr 3820   × cxp 4409  cres 4413  1-1-ontowf1o 4980  2nd c2nd 5867  cen 6407  Fincfn 6409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-iord 4167  df-on 4169  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-1o 6135  df-er 6244  df-en 6410  df-fin 6412
This theorem is referenced by:  3xpfi  6591  hashxp  10130  crth  11075  phimullem  11076
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