Theorem fzfig 10691

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzfig	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz 9768	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
2		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
3	2	frechashgf1o 10689	. . . . . 6 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→ℕ0
4		peano2uz 9816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		uznn0sub 9787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
7		f1ocnvdm 5921	. . . . . 6 ⊢ ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
8	3, 6, 7	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
9		nnfi 7058	. . . . 5 ⊢ ((◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω → (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
10	8, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
11	2	frecfzen2 10688	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
12		enfii 7060	. . . 4 ⊢ (((◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
13	10, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
14	1, 13	biimtrrdi 164	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin))
15		zltnle 9524	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
16	15	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
17		fzn 10276	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
18	16, 17	bitr3d 190	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
19		0fi 7072	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
20		eleq1 2294	. . . 4 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
21	19, 20	mpbiri 168	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
22	18, 21	biimtrdi 163	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin))
23		zdcle 9555	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ≤ 𝑁)
24		df-dc 842	. . 3 ⊢ (DECID 𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
25	23, 24	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
26	14, 22, 25	mpjaod 725	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∅c0 3494   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150  ωcom 4688  ^◡ccnv 4724  –1-1-onto→wf1o 5325  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  freccfrec 6555   ≈ cen 6906  Fincfn 6908  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034   < clt 8213   ≤ cle 8214   − cmin 8349  ℕ₀cn0 9401  ℤcz 9478  ℤ_≥cuz 9754  ...cfz 10242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243

This theorem is referenced by:  fzfigd  10692  fzofig  10693  isfinite4im  11053  phibnd  12788