Theorem fzfig 9726

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzfig	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz 8927	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
2		eqid 2083	. . . . . . 7 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
3	2	frechashgf1o 9724	. . . . . 6 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→ℕ0
4		peano2uz 8966	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		uznn0sub 8945	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
7		f1ocnvdm 5500	. . . . . 6 ⊢ ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
8	3, 6, 7	sylancr 405	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
9		nnfi 6518	. . . . 5 ⊢ ((◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω → (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
10	8, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
11	2	frecfzen2 9723	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
12		enfii 6520	. . . 4 ⊢ (((◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
13	10, 11, 12	syl2anc 403	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
14	1, 13	syl6bir 162	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin))
15		zltnle 8692	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
16	15	ancoms 264	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
17		fzn 9351	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
18	16, 17	bitr3d 188	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
19		0fin 6530	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
20		eleq1 2145	. . . 4 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
21	19, 20	mpbiri 166	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
22	18, 21	syl6bi 161	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin))
23		zdcle 8719	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ≤ 𝑁)
24		df-dc 777	. . 3 ⊢ (DECID 𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
25	23, 24	sylib 120	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
26	14, 22, 25	mpjaod 671	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 662  DECID wdc 776   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ∅c0 3269   class class class wbr 3811   ↦ cmpt 3865  ωcom 4368  ^◡ccnv 4400  –1-1-onto→wf1o 4968  ‘cfv 4969  (class class class)co 5591  freccfrec 6087   ≈ cen 6385  Fincfn 6387  0cc0 7253  1c1 7254   + caddc 7256   < clt 7425   ≤ cle 7426   − cmin 7556  ℕ₀cn0 8565  ℤcz 8646  ℤ_≥cuz 8914  ...cfz 9319

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-ilim 4160  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-frec 6088  df-1o 6113  df-er 6222  df-en 6388  df-fin 6390  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-fz 9320

This theorem is referenced by:  fzfigd  9727  fzofig  9728  isfinite4im  10036  phibnd  10973