ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzfig GIF version

Theorem fzfig 9986
Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzfig ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfig
StepHypRef Expression
1 eluz 9131 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
2 eqid 2095 . . . . . . 7 frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
32frechashgf1o 9984 . . . . . 6 frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→ℕ0
4 peano2uz 9170 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
5 uznn0sub 9149 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
64, 5syl 14 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
7 f1ocnvdm 5598 . . . . . 6 ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
83, 6, 7sylancr 406 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
9 nnfi 6668 . . . . 5 ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
108, 9syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
112frecfzen2 9983 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
12 enfii 6670 . . . 4 (((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
1310, 11, 12syl2anc 404 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
141, 13syl6bir 163 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin))
15 zltnle 8894 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀𝑁))
1615ancoms 265 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀𝑁))
17 fzn 9605 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
1816, 17bitr3d 189 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀𝑁 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
19 0fin 6680 . . . 4 ∅ ∈ Fin
20 eleq1 2157 . . . 4 ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
2119, 20mpbiri 167 . . 3 ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
2218, 21syl6bi 162 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀𝑁 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin))
23 zdcle 8921 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀𝑁)
24 df-dc 784 . . 3 (DECID 𝑀𝑁 ↔ (𝑀𝑁 ∨ ¬ 𝑀𝑁))
2523, 24sylib 121 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ∨ ¬ 𝑀𝑁))
2614, 22, 25mpjaod 676 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 667  DECID wdc 783   = wceq 1296  wcel 1445  c0 3302   class class class wbr 3867  cmpt 3921  ωcom 4433  ccnv 4466  1-1-ontowf1o 5048  cfv 5049  (class class class)co 5690  freccfrec 6193  cen 6535  Fincfn 6537  0cc0 7447  1c1 7448   + caddc 7450   < clt 7619  cle 7620  cmin 7750  0cn0 8771  cz 8848  cuz 9118  ...cfz 9573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-frec 6194  df-1o 6219  df-er 6332  df-en 6538  df-fin 6540  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574
This theorem is referenced by:  fzfigd  9987  fzofig  9988  isfinite4im  10332  phibnd  11636
  Copyright terms: Public domain W3C validator