Theorem fzfig 10522

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzfig	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem fzfig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz 9614	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
2		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
3	2	frechashgf1o 10520	. . . . . 6 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→ℕ0
4		peano2uz 9657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		uznn0sub 9633	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
7		f1ocnvdm 5828	. . . . . 6 ⊢ ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
8	3, 6, 7	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
9		nnfi 6933	. . . . 5 ⊢ ((◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω → (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
10	8, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
11	2	frecfzen2 10519	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
12		enfii 6935	. . . 4 ⊢ (((◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ (◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
13	10, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
14	1, 13	biimtrrdi 164	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin))
15		zltnle 9372	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
16	15	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
17		fzn 10117	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
18	16, 17	bitr3d 190	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
19		0fin 6945	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
20		eleq1 2259	. . . 4 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
21	19, 20	mpbiri 168	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
22	18, 21	biimtrdi 163	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin))
23		zdcle 9402	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ≤ 𝑁)
24		df-dc 836	. . 3 ⊢ (DECID 𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
25	23, 24	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
26	14, 22, 25	mpjaod 719	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∅c0 3450   class class class wbr 4033   ↦ cmpt 4094  ωcom 4626  ^◡ccnv 4662  –1-1-onto→wf1o 5257  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  freccfrec 6448   ≈ cen 6797  Fincfn 6799  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   ≤ cle 8062   − cmin 8197  ℕ₀cn0 9249  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601  ...cfz 10083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084

This theorem is referenced by:  fzfigd  10523  fzofig  10524  isfinite4im  10884  phibnd  12385