Theorem 0nnn 9158

Description: Zero is not a positive integer. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
0nnn	⊢ ¬ 0 ∈ ℕ

Proof of Theorem 0nnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 8294	. 2 ⊢ 0 < 1
2		nnnlt1 9157	. 2 ⊢ (0 ∈ ℕ → ¬ 0 < 1)
3	1, 2	mt2 643	1 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4084  0cc0 8020  1c1 8021   < clt 8202  ℕcn 9131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1re 8114  ax-addrcl 8117  ax-0lt1 8126  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-ltadd 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-br 4085  df-opab 4147  df-xp 4727  df-cnv 4729  df-iota 5282  df-fv 5330  df-ov 6014  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-inn 9132

This theorem is referenced by:  nnne0  9159  dfn2  9403  nn0enne  12450  exprmfct  12697  coprm  12703  fczpsrbag  14672