Theorem 0nnn 9137

Description: Zero is not a positive integer. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
0nnn	⊢ ¬ 0 ∈ ℕ

Proof of Theorem 0nnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 8273	. 2 ⊢ 0 < 1
2		nnnlt1 9136	. 2 ⊢ (0 ∈ ℕ → ¬ 0 < 1)
3	1, 2	mt2 643	1 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  0cc0 7999  1c1 8000   < clt 8181  ℕcn 9110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6004  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-inn 9111

This theorem is referenced by:  nnne0  9138  dfn2  9382  nn0enne  12413  exprmfct  12660  coprm  12666  fczpsrbag  14635