Theorem 0nnn 9314

Description: Zero is not a positive integer. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
0nnn	⊢ ¬ 0 ∈ ℕ

Proof of Theorem 0nnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 8447	. 2 ⊢ 0 < 1
2		nnnlt1 9313	. 2 ⊢ (0 ∈ ℕ → ¬ 0 < 1)
3	1, 2	mt2 649	1 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  0cc0 8173  1c1 8174   < clt 8354  ℕcn 9287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-xp 4778  df-cnv 4780  df-iota 5335  df-fv 5383  df-ov 6082  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-inn 9288

This theorem is referenced by:  nnne0  9315  dfn2  9559  nn0enne  12652  exprmfct  12899  coprm  12905  fczpsrbag  15039