Theorem coprm 12709

Description: A prime number either divides an integer or is coprime to it, but not both. Theorem 1.8 in [ApostolNT] p. 17. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
coprm	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem coprm

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 12676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2		gcddvds 12527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
3	1, 2	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
4	3	simprd 114	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
5		breq1 4089	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
6	4, 5	syl5ibcom 155	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → 𝑃 ∥ 𝑁))
7	6	con3d 634	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑁 → ¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
8		0nnn 9163	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
9		prmnn 12675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
10		eleq1 2292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 0 → (𝑃 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
11	9, 10	syl5ibcom 155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 0 → 0 ∈ ℕ))
12	8, 11	mtoi 668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 = 0)
13	12	intnanrd 937	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
14	13	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
15		gcdn0cl 12526	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
16	15	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ))
17	1, 16	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ))
18	14, 17	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
19	3	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃)
20		isprm2 12682	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
21	20	simprbi 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
22		breq1 4089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃))
23		eqeq1 2236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
24		eqeq1 2236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 = 𝑃 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
25	23, 24	orbi12d 798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃)))
26	22, 25	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → ((𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
27	26	rspcv 2904	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
28	21, 27	syl5com 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
29	28	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
30	18, 19, 29	mp2d 47	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
31		biorf 749	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 1)))
32		orcom 733	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 1) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
33	31, 32	bitrdi 196	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃)))
34	30, 33	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
35	7, 34	syld 45	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑁 → (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
36		iddvds 12358	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 𝑃)
37	1, 36	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ 𝑃)
38	37	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ 𝑃)
39		dvdslegcd 12528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
40	39	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
41	40	3anidm12 1329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
42	1, 41	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
43	14, 42	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
44	38, 43	mpand 429	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑁 → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
45		prmgt1 12697	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
46	45	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 < 𝑃)
47	1	zred 9595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
48	47	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ)
49	18	nnred 9149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
50		1re 8171	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
51		ltletr 8262	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ) → ((1 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
52	50, 51	mp3an1 1358	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ) → ((1 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
53	48, 49, 52	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
54	46, 53	mpand 429	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
55		ltne 8257	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃 gcd 𝑁)) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1)
56	50, 55	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (1 < (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1)
57	56	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1))
58	44, 54, 57	3syld 57	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑁 → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1))
59	58	necon2bd 2458	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁))
60	35, 59	impbid 129	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∀wral 2508   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℝcr 8024  0cc0 8025  1c1 8026   < clt 8207   ≤ cle 8208  ℕcn 9136  2c2 9187  ℤcz 9472  ℤ_≥cuz 9748   ∥ cdvds 12341   gcd cgcd 12517  ℙcprime 12672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-sup 7177  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-fl 10523  df-mod 10578  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-dvds 12342  df-gcd 12518  df-prm 12673

This theorem is referenced by:  prmrp  12710  euclemma  12711  cncongrprm  12722  isoddgcd1  12724  phiprmpw  12787  fermltl  12799  prmdiv  12800  prmdiveq  12801  vfermltl  12817  prmpwdvds  12921  perfect1  15715  perfectlem1  15716  perfectlem2  15717  lgslem1  15722  lgsprme0  15764  gausslemma2dlem0c  15773  lgseisenlem3  15794  lgsquad2lem2  15804