Theorem coprm 12339

Description: A prime number either divides an integer or is coprime to it, but not both. Theorem 1.8 in [ApostolNT] p. 17. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
coprm	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem coprm

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 12306	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2		gcddvds 12157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
3	1, 2	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
4	3	simprd 114	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
5		breq1 4037	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
6	4, 5	syl5ibcom 155	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → 𝑃 ∥ 𝑁))
7	6	con3d 632	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑁 → ¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
8		0nnn 9036	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
9		prmnn 12305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
10		eleq1 2259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 0 → (𝑃 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
11	9, 10	syl5ibcom 155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 0 → 0 ∈ ℕ))
12	8, 11	mtoi 665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 = 0)
13	12	intnanrd 933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
14	13	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
15		gcdn0cl 12156	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
16	15	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ))
17	1, 16	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ))
18	14, 17	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
19	3	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃)
20		isprm2 12312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
21	20	simprbi 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
22		breq1 4037	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃))
23		eqeq1 2203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
24		eqeq1 2203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 = 𝑃 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
25	23, 24	orbi12d 794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃)))
26	22, 25	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → ((𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
27	26	rspcv 2864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
28	21, 27	syl5com 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
29	28	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
30	18, 19, 29	mp2d 47	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
31		biorf 745	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 1)))
32		orcom 729	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 1) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
33	31, 32	bitrdi 196	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃)))
34	30, 33	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
35	7, 34	syld 45	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑁 → (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
36		iddvds 11988	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 𝑃)
37	1, 36	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ 𝑃)
38	37	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ 𝑃)
39		dvdslegcd 12158	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
40	39	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
41	40	3anidm12 1306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
42	1, 41	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
43	14, 42	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
44	38, 43	mpand 429	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑁 → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
45		prmgt1 12327	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
46	45	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 < 𝑃)
47	1	zred 9467	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
48	47	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ)
49	18	nnred 9022	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
50		1re 8044	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
51		ltletr 8135	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ) → ((1 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
52	50, 51	mp3an1 1335	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ) → ((1 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
53	48, 49, 52	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
54	46, 53	mpand 429	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
55		ltne 8130	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃 gcd 𝑁)) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1)
56	50, 55	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (1 < (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1)
57	56	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1))
58	44, 54, 57	3syld 57	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑁 → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1))
59	58	necon2bd 2425	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁))
60	35, 59	impbid 129	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∀wral 2475   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℝcr 7897  0cc0 7898  1c1 7899   < clt 8080   ≤ cle 8081  ℕcn 9009  2c2 9060  ℤcz 9345  ℤ_≥cuz 9620   ∥ cdvds 11971   gcd cgcd 12147  ℙcprime 12302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017  ax-caucvg 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-er 6601  df-en 6809  df-sup 7059  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-q 9713  df-rp 9748  df-fz 10103  df-fzo 10237  df-fl 10379  df-mod 10434  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-cj 11026  df-re 11027  df-im 11028  df-rsqrt 11182  df-abs 11183  df-dvds 11972  df-gcd 12148  df-prm 12303

This theorem is referenced by:  prmrp  12340  euclemma  12341  cncongrprm  12352  isoddgcd1  12354  phiprmpw  12417  fermltl  12429  prmdiv  12430  prmdiveq  12431  vfermltl  12447  prmpwdvds  12551  perfect1  15342  perfectlem1  15343  perfectlem2  15344  lgslem1  15349  lgsprme0  15391  gausslemma2dlem0c  15400  lgseisenlem3  15421  lgsquad2lem2  15431