Theorem coprm 12127

Description: A prime number either divides an integer or is coprime to it, but not both. Theorem 1.8 in [ApostolNT] p. 17. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
coprm	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem coprm

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 12094	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2		gcddvds 11947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
3	1, 2	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
4	3	simprd 114	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
5		breq1 4003	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
6	4, 5	syl5ibcom 155	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → 𝑃 ∥ 𝑁))
7	6	con3d 631	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑁 → ¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
8		0nnn 8935	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
9		prmnn 12093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
10		eleq1 2240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 0 → (𝑃 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
11	9, 10	syl5ibcom 155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 0 → 0 ∈ ℕ))
12	8, 11	mtoi 664	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 = 0)
13	12	intnanrd 932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
14	13	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
15		gcdn0cl 11946	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
16	15	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ))
17	1, 16	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ))
18	14, 17	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
19	3	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃)
20		isprm2 12100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
21	20	simprbi 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
22		breq1 4003	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃))
23		eqeq1 2184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
24		eqeq1 2184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 = 𝑃 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
25	23, 24	orbi12d 793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃)))
26	22, 25	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → ((𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
27	26	rspcv 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
28	21, 27	syl5com 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
29	28	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
30	18, 19, 29	mp2d 47	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
31		biorf 744	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 1)))
32		orcom 728	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 1) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
33	31, 32	bitrdi 196	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃)))
34	30, 33	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
35	7, 34	syld 45	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑁 → (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
36		iddvds 11795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 𝑃)
37	1, 36	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ 𝑃)
38	37	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ 𝑃)
39		dvdslegcd 11948	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
40	39	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
41	40	3anidm12 1295	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
42	1, 41	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
43	14, 42	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
44	38, 43	mpand 429	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑁 → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
45		prmgt1 12115	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
46	45	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 < 𝑃)
47	1	zred 9364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
48	47	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ)
49	18	nnred 8921	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
50		1re 7947	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
51		ltletr 8037	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ) → ((1 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
52	50, 51	mp3an1 1324	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ) → ((1 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
53	48, 49, 52	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
54	46, 53	mpand 429	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
55		ltne 8032	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃 gcd 𝑁)) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1)
56	50, 55	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (1 < (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1)
57	56	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1))
58	44, 54, 57	3syld 57	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑁 → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1))
59	58	necon2bd 2405	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁))
60	35, 59	impbid 129	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∀wral 2455   class class class wbr 4000  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  ℝcr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   < clt 7982   ≤ cle 7983  ℕcn 8908  2c2 8959  ℤcz 9242  ℤ_≥cuz 9517   ∥ cdvds 11778   gcd cgcd 11926  ℙcprime 12090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-en 6735  df-sup 6977  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-prm 12091

This theorem is referenced by:  prmrp  12128  euclemma  12129  cncongrprm  12140  isoddgcd1  12142  phiprmpw  12205  fermltl  12217  prmdiv  12218  prmdiveq  12219  vfermltl  12234  prmpwdvds  12336  lgslem1  14068  lgsprme0  14110