Theorem 0lt1 8025

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 7859	. 2 ⊢ 0 <ℝ 1
2		0re 7899	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 7898	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		ltxrlt 7964	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1))
5	2, 3, 4	mp2an 423	. 2 ⊢ (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1)
6	1, 5	mpbir 145	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   <_ℝ cltrr 7757   < clt 7933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1re 7847  ax-addrcl 7850  ax-0lt1 7859  ax-rnegex 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-ltxr 7938

This theorem is referenced by:  ine0  8292  0le1  8379  inelr  8482  1ap0  8488  eqneg  8628  ltp1  8739  ltm1  8741  recgt0  8745  mulgt1  8758  reclt1  8791  recgt1  8792  recgt1i  8793  recp1lt1  8794  recreclt  8795  sup3exmid  8852  nnge1  8880  nngt0  8882  0nnn  8884  nnrecgt0  8895  0ne1  8924  2pos  8948  3pos  8951  4pos  8954  5pos  8957  6pos  8958  7pos  8959  8pos  8960  9pos  8961  neg1lt0  8965  halflt1  9074  nn0p1gt0  9143  elnnnn0c  9159  elnnz1  9214  recnz  9284  1rp  9593  divlt1lt  9660  divle1le  9661  ledivge1le  9662  nnledivrp  9702  fz10  9981  fzpreddisj  10006  elfz1b  10025  modqfrac  10272  expgt1  10493  ltexp2a  10507  leexp2a  10508  expnbnd  10578  expnlbnd  10579  expnlbnd2  10580  nn0ltexp2  10623  expcanlem  10628  expcan  10629  bcn1  10671  resqrexlem1arp  10947  mulcn2  11253  reccn2ap  11254  georeclim  11454  geoisumr  11459  cos1bnd  11700  sin01gt0  11702  sincos1sgn  11705  p1modz1  11734  nnoddm1d2  11847  dvdsnprmd  12057  divdenle  12129  mopnex  13145  reeff1olem  13332  cos02pilt1  13412  rplogcl  13440  cxplt  13476  cxple  13477  ltexp2  13500  apdiff  13927