Theorem 0lt1 8348

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 8181	. 2 ⊢ 0 <ℝ 1
2		0re 8222	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 8221	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		ltxrlt 8287	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1))
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1)
6	1, 5	mpbir 146	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   <_ℝ cltrr 8079   < clt 8256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172  ax-0lt1 8181  ax-rnegex 8184

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261

This theorem is referenced by:  ine0  8615  0le1  8703  inelr  8806  1ap0  8812  eqneg  8954  ltp1  9066  ltm1  9068  recgt0  9072  mulgt1  9085  reclt1  9118  recgt1  9119  recgt1i  9120  recp1lt1  9121  recreclt  9122  sup3exmid  9179  nnge1  9208  nngt0  9210  0nnn  9212  nnrecgt0  9223  0ne1  9252  2pos  9276  3pos  9279  4pos  9282  5pos  9285  6pos  9286  7pos  9287  8pos  9288  9pos  9289  neg1lt0  9293  halflt1  9403  nn0p1gt0  9473  elnnnn0c  9489  elnnz1  9546  recnz  9617  1rp  9936  divlt1lt  10003  divle1le  10004  ledivge1le  10005  nnledivrp  10045  fz10  10326  fzpreddisj  10351  elfz1b  10370  modqfrac  10645  expgt1  10885  ltexp2a  10899  leexp2a  10900  expnbnd  10971  expnlbnd  10972  expnlbnd2  10973  nn0ltexp2  11017  expcanlem  11023  expcan  11024  bcn1  11066  s2fv0g  11417  resqrexlem1arp  11628  mulcn2  11935  reccn2ap  11936  georeclim  12137  geoisumr  12142  cos1bnd  12383  sin01gt0  12386  sincos1sgn  12389  p1modz1  12418  nnoddm1d2  12534  dvdsnprmd  12760  divdenle  12832  plendxnocndx  13360  znidomb  14737  mopnex  15299  ivthdichlem  15445  reeff1olem  15565  cos02pilt1  15645  rplogcl  15673  cxplt  15710  cxple  15711  ltexp2  15735  pellexlem2  15775  mersenne  15794  perfectlem2  15797  apdiff  16763