Theorem 0lt1 8198

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 8030	. 2 ⊢ 0 <ℝ 1
2		0re 8071	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 8070	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		ltxrlt 8137	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1))
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1)
6	1, 5	mpbir 146	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  ℝcr 7923  0cc0 7924  1c1 7925   <_ℝ cltrr 7928   < clt 8106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021  ax-0lt1 8030  ax-rnegex 8033

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4680  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111

This theorem is referenced by:  ine0  8465  0le1  8553  inelr  8656  1ap0  8662  eqneg  8804  ltp1  8916  ltm1  8918  recgt0  8922  mulgt1  8935  reclt1  8968  recgt1  8969  recgt1i  8970  recp1lt1  8971  recreclt  8972  sup3exmid  9029  nnge1  9058  nngt0  9060  0nnn  9062  nnrecgt0  9073  0ne1  9102  2pos  9126  3pos  9129  4pos  9132  5pos  9135  6pos  9136  7pos  9137  8pos  9138  9pos  9139  neg1lt0  9143  halflt1  9253  nn0p1gt0  9323  elnnnn0c  9339  elnnz1  9394  recnz  9465  1rp  9778  divlt1lt  9845  divle1le  9846  ledivge1le  9847  nnledivrp  9887  fz10  10167  fzpreddisj  10192  elfz1b  10211  modqfrac  10480  expgt1  10720  ltexp2a  10734  leexp2a  10735  expnbnd  10806  expnlbnd  10807  expnlbnd2  10808  nn0ltexp2  10852  expcanlem  10858  expcan  10859  bcn1  10901  resqrexlem1arp  11258  mulcn2  11565  reccn2ap  11566  georeclim  11766  geoisumr  11771  cos1bnd  12012  sin01gt0  12015  sincos1sgn  12018  p1modz1  12047  nnoddm1d2  12163  dvdsnprmd  12389  divdenle  12461  plendxnocndx  12988  znidomb  14362  mopnex  14919  ivthdichlem  15065  reeff1olem  15185  cos02pilt1  15265  rplogcl  15293  cxplt  15330  cxple  15331  ltexp2  15355  mersenne  15411  perfectlem2  15414  apdiff  15920