Theorem 0lt1 8460

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 8291	. 2 ⊢ 0 <ℝ 1
2		0re 8332	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 8331	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		ltxrlt 8397	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1))
5	2, 3, 4	mp2an 430	. 2 ⊢ (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1)
6	1, 5	mpbir 146	1 ⊢ 0 < 1

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   <_ℝ cltrr 8189   < clt 8366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282  ax-0lt1 8291  ax-rnegex 8294

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371

This theorem is used by:  ine0  8728  0le1  8816  inelr  8920  1ap0  8926  eqneg  9070  ltp1  9182  ltm1  9184  recgt0  9188  mulgt1  9201  reclt1  9234  recgt1  9235  recgt1i  9236  recp1lt1  9237  recreclt  9238  sup3exmid  9295  nnge1  9336  nngt0  9338  0nnn  9340  nnrecgt0  9351  0ne1  9380  2pos  9404  3pos  9407  4pos  9410  5pos  9413  6pos  9414  7pos  9415  8pos  9416  9pos  9417  neg1lt0  9421  halflt1  9533  nn0p1gt0  9603  elnnnn0c  9619  elnnz1  9678  recnz  9750  1rp  10075  divlt1lt  10142  divle1le  10143  ledivge1le  10144  nnledivrp  10184  fz10  10467  fzpreddisj  10495  elfz1b  10514  modqfrac  10795  expgt1  11035  ltexp2a  11049  leexp2a  11050  resq01  11116  expnbnd  11122  expnlbnd  11123  expnlbnd2  11124  nn0ltexp2  11169  expcanlem  11175  expcan  11176  bcn1  11218  ssenneg  11302  s2fv0g  11581  resqrexlem1arp  11793  mulcn2  12103  reccn2ap  12104  georeclim  12305  geoisumr  12310  cos1bnd  12551  sin01gt0  12554  sincos1sgn  12557  p1modz1  12586  nnoddm1d2  12702  dvdsnprmd  12928  divdenle  13002  43prm  13265  ballotfilemi1  13303  ballotfilemic  13308  plendxnocndx  13627  znidomb  15102  mopnex  15731  ivthdichlem  15877  reeff1olem  15997  cos02pilt1  16079  rplogcl  16109  cxplt  16151  cxple  16152  ltexp2  16177  pellexlem2  16230  ppiqltx  16281  mersenne  16297  perfectlem2  16300  apdiff  17304