Theorem 0lt1 8084

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 7917	. 2 ⊢ 0 <ℝ 1
2		0re 7957	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 7956	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		ltxrlt 8023	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1))
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1)
6	1, 5	mpbir 146	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  ℝcr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   <_ℝ cltrr 7815   < clt 7992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1re 7905  ax-addrcl 7908  ax-0lt1 7917  ax-rnegex 7920

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997

This theorem is referenced by:  ine0  8351  0le1  8438  inelr  8541  1ap0  8547  eqneg  8689  ltp1  8801  ltm1  8803  recgt0  8807  mulgt1  8820  reclt1  8853  recgt1  8854  recgt1i  8855  recp1lt1  8856  recreclt  8857  sup3exmid  8914  nnge1  8942  nngt0  8944  0nnn  8946  nnrecgt0  8957  0ne1  8986  2pos  9010  3pos  9013  4pos  9016  5pos  9019  6pos  9020  7pos  9021  8pos  9022  9pos  9023  neg1lt0  9027  halflt1  9136  nn0p1gt0  9205  elnnnn0c  9221  elnnz1  9276  recnz  9346  1rp  9657  divlt1lt  9724  divle1le  9725  ledivge1le  9726  nnledivrp  9766  fz10  10046  fzpreddisj  10071  elfz1b  10090  modqfrac  10337  expgt1  10558  ltexp2a  10572  leexp2a  10573  expnbnd  10644  expnlbnd  10645  expnlbnd2  10646  nn0ltexp2  10689  expcanlem  10695  expcan  10696  bcn1  10738  resqrexlem1arp  11014  mulcn2  11320  reccn2ap  11321  georeclim  11521  geoisumr  11526  cos1bnd  11767  sin01gt0  11769  sincos1sgn  11772  p1modz1  11801  nnoddm1d2  11915  dvdsnprmd  12125  divdenle  12197  mopnex  14008  reeff1olem  14195  cos02pilt1  14275  rplogcl  14303  cxplt  14339  cxple  14340  ltexp2  14363  apdiff  14799