Theorem 0lt1 8453

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 8285	. 2 ⊢ 0 <ℝ 1
2		0re 8326	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 8325	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		ltxrlt 8391	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1))
5	2, 3, 4	mp2an 430	. 2 ⊢ (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1)
6	1, 5	mpbir 146	1 ⊢ 0 < 1

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8178  0cc0 8179  1c1 8180   <_ℝ cltrr 8183   < clt 8360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-0lt1 8285  ax-rnegex 8288

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365

This theorem is used by:  ine0  8721  0le1  8809  inelr  8912  1ap0  8918  eqneg  9062  ltp1  9174  ltm1  9176  recgt0  9180  mulgt1  9193  reclt1  9226  recgt1  9227  recgt1i  9228  recp1lt1  9229  recreclt  9230  sup3exmid  9287  nnge1  9327  nngt0  9329  0nnn  9331  nnrecgt0  9342  0ne1  9371  2pos  9395  3pos  9398  4pos  9401  5pos  9404  6pos  9405  7pos  9406  8pos  9407  9pos  9408  neg1lt0  9412  halflt1  9522  nn0p1gt0  9592  elnnnn0c  9608  elnnz1  9667  recnz  9739  1rp  10058  divlt1lt  10125  divle1le  10126  ledivge1le  10127  nnledivrp  10167  fz10  10450  fzpreddisj  10478  elfz1b  10497  modqfrac  10774  expgt1  11014  ltexp2a  11028  leexp2a  11029  resq01  11095  expnbnd  11101  expnlbnd  11102  expnlbnd2  11103  nn0ltexp2  11147  expcanlem  11153  expcan  11154  bcn1  11196  ssenneg  11280  s2fv0g  11559  resqrexlem1arp  11771  mulcn2  12078  reccn2ap  12079  georeclim  12280  geoisumr  12285  cos1bnd  12526  sin01gt0  12529  sincos1sgn  12532  p1modz1  12561  nnoddm1d2  12677  dvdsnprmd  12903  divdenle  12975  ballotfilemi1  13245  ballotfilemic  13250  plendxnocndx  13568  znidomb  14993  mopnex  15606  ivthdichlem  15752  reeff1olem  15872  cos02pilt1  15952  rplogcl  15980  cxplt  16018  cxple  16019  ltexp2  16043  pellexlem2  16092  mersenne  16111  perfectlem2  16114  apdiff  17097