Theorem 0lt1 8046

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 7880	. 2 ⊢ 0 <ℝ 1
2		0re 7920	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 7919	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		ltxrlt 7985	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1))
5	2, 3, 4	mp2an 424	. 2 ⊢ (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1)
6	1, 5	mpbir 145	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   <_ℝ cltrr 7778   < clt 7954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871  ax-0lt1 7880  ax-rnegex 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-ltxr 7959

This theorem is referenced by:  ine0  8313  0le1  8400  inelr  8503  1ap0  8509  eqneg  8649  ltp1  8760  ltm1  8762  recgt0  8766  mulgt1  8779  reclt1  8812  recgt1  8813  recgt1i  8814  recp1lt1  8815  recreclt  8816  sup3exmid  8873  nnge1  8901  nngt0  8903  0nnn  8905  nnrecgt0  8916  0ne1  8945  2pos  8969  3pos  8972  4pos  8975  5pos  8978  6pos  8979  7pos  8980  8pos  8981  9pos  8982  neg1lt0  8986  halflt1  9095  nn0p1gt0  9164  elnnnn0c  9180  elnnz1  9235  recnz  9305  1rp  9614  divlt1lt  9681  divle1le  9682  ledivge1le  9683  nnledivrp  9723  fz10  10002  fzpreddisj  10027  elfz1b  10046  modqfrac  10293  expgt1  10514  ltexp2a  10528  leexp2a  10529  expnbnd  10599  expnlbnd  10600  expnlbnd2  10601  nn0ltexp2  10644  expcanlem  10649  expcan  10650  bcn1  10692  resqrexlem1arp  10969  mulcn2  11275  reccn2ap  11276  georeclim  11476  geoisumr  11481  cos1bnd  11722  sin01gt0  11724  sincos1sgn  11727  p1modz1  11756  nnoddm1d2  11869  dvdsnprmd  12079  divdenle  12151  mopnex  13299  reeff1olem  13486  cos02pilt1  13566  rplogcl  13594  cxplt  13630  cxple  13631  ltexp2  13654  apdiff  14080