Theorem 0lt1 8296

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 8128	. 2 ⊢ 0 <ℝ 1
2		0re 8169	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 8168	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		ltxrlt 8235	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1))
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1)
6	1, 5	mpbir 146	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ℝcr 8021  0cc0 8022  1c1 8023   <_ℝ cltrr 8026   < clt 8204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119  ax-0lt1 8128  ax-rnegex 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209

This theorem is referenced by:  ine0  8563  0le1  8651  inelr  8754  1ap0  8760  eqneg  8902  ltp1  9014  ltm1  9016  recgt0  9020  mulgt1  9033  reclt1  9066  recgt1  9067  recgt1i  9068  recp1lt1  9069  recreclt  9070  sup3exmid  9127  nnge1  9156  nngt0  9158  0nnn  9160  nnrecgt0  9171  0ne1  9200  2pos  9224  3pos  9227  4pos  9230  5pos  9233  6pos  9234  7pos  9235  8pos  9236  9pos  9237  neg1lt0  9241  halflt1  9351  nn0p1gt0  9421  elnnnn0c  9437  elnnz1  9492  recnz  9563  1rp  9882  divlt1lt  9949  divle1le  9950  ledivge1le  9951  nnledivrp  9991  fz10  10271  fzpreddisj  10296  elfz1b  10315  modqfrac  10589  expgt1  10829  ltexp2a  10843  leexp2a  10844  expnbnd  10915  expnlbnd  10916  expnlbnd2  10917  nn0ltexp2  10961  expcanlem  10967  expcan  10968  bcn1  11010  s2fv0g  11358  resqrexlem1arp  11556  mulcn2  11863  reccn2ap  11864  georeclim  12064  geoisumr  12069  cos1bnd  12310  sin01gt0  12313  sincos1sgn  12316  p1modz1  12345  nnoddm1d2  12461  dvdsnprmd  12687  divdenle  12759  plendxnocndx  13287  znidomb  14662  mopnex  15219  ivthdichlem  15365  reeff1olem  15485  cos02pilt1  15565  rplogcl  15593  cxplt  15630  cxple  15631  ltexp2  15655  mersenne  15711  perfectlem2  15714  apdiff  16588