Theorem 0lt1 8416

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 8249	. 2 ⊢ 0 <ℝ 1
2		0re 8290	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 8289	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		ltxrlt 8355	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1))
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1)
6	1, 5	mpbir 146	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   <_ℝ cltrr 8147   < clt 8324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240  ax-0lt1 8249  ax-rnegex 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329

This theorem is referenced by:  ine0  8684  0le1  8772  inelr  8875  1ap0  8881  eqneg  9023  ltp1  9135  ltm1  9137  recgt0  9141  mulgt1  9154  reclt1  9187  recgt1  9188  recgt1i  9189  recp1lt1  9190  recreclt  9191  sup3exmid  9248  nnge1  9277  nngt0  9279  0nnn  9281  nnrecgt0  9292  0ne1  9321  2pos  9345  3pos  9348  4pos  9351  5pos  9354  6pos  9355  7pos  9356  8pos  9357  9pos  9358  neg1lt0  9362  halflt1  9472  nn0p1gt0  9542  elnnnn0c  9558  elnnz1  9617  recnz  9689  1rp  10008  divlt1lt  10075  divle1le  10076  ledivge1le  10077  nnledivrp  10117  fz10  10400  fzpreddisj  10427  elfz1b  10446  modqfrac  10723  expgt1  10963  ltexp2a  10977  leexp2a  10978  resq01  11044  expnbnd  11050  expnlbnd  11051  expnlbnd2  11052  nn0ltexp2  11096  expcanlem  11102  expcan  11103  bcn1  11145  ssenneg  11229  s2fv0g  11504  resqrexlem1arp  11715  mulcn2  12022  reccn2ap  12023  georeclim  12224  geoisumr  12229  cos1bnd  12470  sin01gt0  12473  sincos1sgn  12476  p1modz1  12505  nnoddm1d2  12621  dvdsnprmd  12847  divdenle  12919  ballotfilemi1  13189  ballotfilemic  13194  plendxnocndx  13511  znidomb  14932  mopnex  15496  ivthdichlem  15642  reeff1olem  15762  cos02pilt1  15842  rplogcl  15870  cxplt  15907  cxple  15908  ltexp2  15932  pellexlem2  15972  mersenne  15991  perfectlem2  15994  apdiff  16958