Theorem 0lt1 8219

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 8051	. 2 ⊢ 0 <ℝ 1
2		0re 8092	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 8091	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		ltxrlt 8158	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1))
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1)
6	1, 5	mpbir 146	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4051  ℝcr 7944  0cc0 7945  1c1 7946   <_ℝ cltrr 7949   < clt 8127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1re 8039  ax-addrcl 8042  ax-0lt1 8051  ax-rnegex 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-xp 4689  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132

This theorem is referenced by:  ine0  8486  0le1  8574  inelr  8677  1ap0  8683  eqneg  8825  ltp1  8937  ltm1  8939  recgt0  8943  mulgt1  8956  reclt1  8989  recgt1  8990  recgt1i  8991  recp1lt1  8992  recreclt  8993  sup3exmid  9050  nnge1  9079  nngt0  9081  0nnn  9083  nnrecgt0  9094  0ne1  9123  2pos  9147  3pos  9150  4pos  9153  5pos  9156  6pos  9157  7pos  9158  8pos  9159  9pos  9160  neg1lt0  9164  halflt1  9274  nn0p1gt0  9344  elnnnn0c  9360  elnnz1  9415  recnz  9486  1rp  9799  divlt1lt  9866  divle1le  9867  ledivge1le  9868  nnledivrp  9908  fz10  10188  fzpreddisj  10213  elfz1b  10232  modqfrac  10504  expgt1  10744  ltexp2a  10758  leexp2a  10759  expnbnd  10830  expnlbnd  10831  expnlbnd2  10832  nn0ltexp2  10876  expcanlem  10882  expcan  10883  bcn1  10925  resqrexlem1arp  11391  mulcn2  11698  reccn2ap  11699  georeclim  11899  geoisumr  11904  cos1bnd  12145  sin01gt0  12148  sincos1sgn  12151  p1modz1  12180  nnoddm1d2  12296  dvdsnprmd  12522  divdenle  12594  plendxnocndx  13121  znidomb  14495  mopnex  15052  ivthdichlem  15198  reeff1olem  15318  cos02pilt1  15398  rplogcl  15426  cxplt  15463  cxple  15464  ltexp2  15488  mersenne  15544  perfectlem2  15547  apdiff  16128