Theorem 0lt1 7760

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 7601	. 2 ⊢ 0 <ℝ 1
2		0re 7638	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 7637	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		ltxrlt 7702	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1))
5	2, 3, 4	mp2an 420	. 2 ⊢ (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1)
6	1, 5	mpbir 145	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∈ wcel 1448   class class class wbr 3875  ℝcr 7499  0cc0 7500  1c1 7501   <_ℝ cltrr 7504   < clt 7672

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1re 7589  ax-addrcl 7592  ax-0lt1 7601  ax-rnegex 7604

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-xp 4483  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-ltxr 7677

This theorem is referenced by:  ine0  8023  0le1  8110  inelr  8212  1ap0  8218  eqneg  8353  ltp1  8460  ltm1  8462  recgt0  8466  mulgt1  8479  reclt1  8512  recgt1  8513  recgt1i  8514  recp1lt1  8515  recreclt  8516  sup3exmid  8573  nnge1  8601  nngt0  8603  0nnn  8605  nnrecgt0  8616  0ne1  8645  2pos  8669  3pos  8672  4pos  8675  5pos  8678  6pos  8679  7pos  8680  8pos  8681  9pos  8682  neg1lt0  8686  halflt1  8789  nn0p1gt0  8858  elnnnn0c  8874  elnnz1  8929  recnz  8996  1rp  9295  divlt1lt  9358  divle1le  9359  ledivge1le  9360  nnledivrp  9394  fz10  9667  fzpreddisj  9692  elfz1b  9711  modqfrac  9951  expgt1  10172  ltexp2a  10186  leexp2a  10187  expnbnd  10256  expnlbnd  10257  expnlbnd2  10258  expcanlem  10303  expcan  10304  bcn1  10345  resqrexlem1arp  10617  mulcn2  10920  reccn2ap  10921  georeclim  11121  geoisumr  11126  cos1bnd  11264  sin01gt0  11266  sincos1sgn  11269  nnoddm1d2  11402  dvdsnprmd  11599  divdenle  11667  mopnex  12433