Theorem 0lt1 8306

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 8138	. 2 ⊢ 0 <ℝ 1
2		0re 8179	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 8178	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		ltxrlt 8245	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1))
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1)
6	1, 5	mpbir 146	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033   <_ℝ cltrr 8036   < clt 8214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129  ax-0lt1 8138  ax-rnegex 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219

This theorem is referenced by:  ine0  8573  0le1  8661  inelr  8764  1ap0  8770  eqneg  8912  ltp1  9024  ltm1  9026  recgt0  9030  mulgt1  9043  reclt1  9076  recgt1  9077  recgt1i  9078  recp1lt1  9079  recreclt  9080  sup3exmid  9137  nnge1  9166  nngt0  9168  0nnn  9170  nnrecgt0  9181  0ne1  9210  2pos  9234  3pos  9237  4pos  9240  5pos  9243  6pos  9244  7pos  9245  8pos  9246  9pos  9247  neg1lt0  9251  halflt1  9361  nn0p1gt0  9431  elnnnn0c  9447  elnnz1  9502  recnz  9573  1rp  9892  divlt1lt  9959  divle1le  9960  ledivge1le  9961  nnledivrp  10001  fz10  10281  fzpreddisj  10306  elfz1b  10325  modqfrac  10600  expgt1  10840  ltexp2a  10854  leexp2a  10855  expnbnd  10926  expnlbnd  10927  expnlbnd2  10928  nn0ltexp2  10972  expcanlem  10978  expcan  10979  bcn1  11021  s2fv0g  11372  resqrexlem1arp  11583  mulcn2  11890  reccn2ap  11891  georeclim  12092  geoisumr  12097  cos1bnd  12338  sin01gt0  12341  sincos1sgn  12344  p1modz1  12373  nnoddm1d2  12489  dvdsnprmd  12715  divdenle  12787  plendxnocndx  13315  znidomb  14691  mopnex  15248  ivthdichlem  15394  reeff1olem  15514  cos02pilt1  15594  rplogcl  15622  cxplt  15659  cxple  15660  ltexp2  15684  mersenne  15740  perfectlem2  15743  apdiff  16703