Theorem 0lt1 8181

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 8013	. 2 ⊢ 0 <ℝ 1
2		0re 8054	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 8053	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		ltxrlt 8120	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1))
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1)
6	1, 5	mpbir 146	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  ℝcr 7906  0cc0 7907  1c1 7908   <_ℝ cltrr 7911   < clt 8089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1re 8001  ax-addrcl 8004  ax-0lt1 8013  ax-rnegex 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4679  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-ltxr 8094

This theorem is referenced by:  ine0  8448  0le1  8536  inelr  8639  1ap0  8645  eqneg  8787  ltp1  8899  ltm1  8901  recgt0  8905  mulgt1  8918  reclt1  8951  recgt1  8952  recgt1i  8953  recp1lt1  8954  recreclt  8955  sup3exmid  9012  nnge1  9041  nngt0  9043  0nnn  9045  nnrecgt0  9056  0ne1  9085  2pos  9109  3pos  9112  4pos  9115  5pos  9118  6pos  9119  7pos  9120  8pos  9121  9pos  9122  neg1lt0  9126  halflt1  9236  nn0p1gt0  9306  elnnnn0c  9322  elnnz1  9377  recnz  9448  1rp  9761  divlt1lt  9828  divle1le  9829  ledivge1le  9830  nnledivrp  9870  fz10  10150  fzpreddisj  10175  elfz1b  10194  modqfrac  10463  expgt1  10703  ltexp2a  10717  leexp2a  10718  expnbnd  10789  expnlbnd  10790  expnlbnd2  10791  nn0ltexp2  10835  expcanlem  10841  expcan  10842  bcn1  10884  resqrexlem1arp  11235  mulcn2  11542  reccn2ap  11543  georeclim  11743  geoisumr  11748  cos1bnd  11989  sin01gt0  11992  sincos1sgn  11995  p1modz1  12024  nnoddm1d2  12140  dvdsnprmd  12366  divdenle  12438  plendxnocndx  12964  znidomb  14338  mopnex  14895  ivthdichlem  15041  reeff1olem  15161  cos02pilt1  15241  rplogcl  15269  cxplt  15306  cxple  15307  ltexp2  15331  mersenne  15387  perfectlem2  15390  apdiff  15851