Theorem 0lt1 8172

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 8004	. 2 ⊢ 0 <ℝ 1
2		0re 8045	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 8044	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		ltxrlt 8111	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1))
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1)
6	1, 5	mpbir 146	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7897  0cc0 7898  1c1 7899   <_ℝ cltrr 7902   < clt 8080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1re 7992  ax-addrcl 7995  ax-0lt1 8004  ax-rnegex 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-ltxr 8085

This theorem is referenced by:  ine0  8439  0le1  8527  inelr  8630  1ap0  8636  eqneg  8778  ltp1  8890  ltm1  8892  recgt0  8896  mulgt1  8909  reclt1  8942  recgt1  8943  recgt1i  8944  recp1lt1  8945  recreclt  8946  sup3exmid  9003  nnge1  9032  nngt0  9034  0nnn  9036  nnrecgt0  9047  0ne1  9076  2pos  9100  3pos  9103  4pos  9106  5pos  9109  6pos  9110  7pos  9111  8pos  9112  9pos  9113  neg1lt0  9117  halflt1  9227  nn0p1gt0  9297  elnnnn0c  9313  elnnz1  9368  recnz  9438  1rp  9751  divlt1lt  9818  divle1le  9819  ledivge1le  9820  nnledivrp  9860  fz10  10140  fzpreddisj  10165  elfz1b  10184  modqfrac  10448  expgt1  10688  ltexp2a  10702  leexp2a  10703  expnbnd  10774  expnlbnd  10775  expnlbnd2  10776  nn0ltexp2  10820  expcanlem  10826  expcan  10827  bcn1  10869  resqrexlem1arp  11189  mulcn2  11496  reccn2ap  11497  georeclim  11697  geoisumr  11702  cos1bnd  11943  sin01gt0  11946  sincos1sgn  11949  p1modz1  11978  nnoddm1d2  12094  dvdsnprmd  12320  divdenle  12392  plendxnocndx  12918  znidomb  14292  mopnex  14849  ivthdichlem  14995  reeff1olem  15115  cos02pilt1  15195  rplogcl  15223  cxplt  15260  cxple  15261  ltexp2  15285  mersenne  15341  perfectlem2  15344  apdiff  15805