Theorem 0lt1 8153

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 7985	. 2 ⊢ 0 <ℝ 1
2		0re 8026	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 8025	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		ltxrlt 8092	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1))
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1)
6	1, 5	mpbir 146	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  ℝcr 7878  0cc0 7879  1c1 7880   <_ℝ cltrr 7883   < clt 8061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976  ax-0lt1 7985  ax-rnegex 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066

This theorem is referenced by:  ine0  8420  0le1  8508  inelr  8611  1ap0  8617  eqneg  8759  ltp1  8871  ltm1  8873  recgt0  8877  mulgt1  8890  reclt1  8923  recgt1  8924  recgt1i  8925  recp1lt1  8926  recreclt  8927  sup3exmid  8984  nnge1  9013  nngt0  9015  0nnn  9017  nnrecgt0  9028  0ne1  9057  2pos  9081  3pos  9084  4pos  9087  5pos  9090  6pos  9091  7pos  9092  8pos  9093  9pos  9094  neg1lt0  9098  halflt1  9208  nn0p1gt0  9278  elnnnn0c  9294  elnnz1  9349  recnz  9419  1rp  9732  divlt1lt  9799  divle1le  9800  ledivge1le  9801  nnledivrp  9841  fz10  10121  fzpreddisj  10146  elfz1b  10165  modqfrac  10429  expgt1  10669  ltexp2a  10683  leexp2a  10684  expnbnd  10755  expnlbnd  10756  expnlbnd2  10757  nn0ltexp2  10801  expcanlem  10807  expcan  10808  bcn1  10850  resqrexlem1arp  11170  mulcn2  11477  reccn2ap  11478  georeclim  11678  geoisumr  11683  cos1bnd  11924  sin01gt0  11927  sincos1sgn  11930  p1modz1  11959  nnoddm1d2  12075  dvdsnprmd  12293  divdenle  12365  znidomb  14214  mopnex  14741  ivthdichlem  14887  reeff1olem  15007  cos02pilt1  15087  rplogcl  15115  cxplt  15152  cxple  15153  ltexp2  15177  mersenne  15233  perfectlem2  15236  apdiff  15692