ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0lt1 GIF version

Theorem 0lt1 7912
Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
0lt1 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1
StepHypRef Expression
1 ax-0lt1 7749 . 2 0 < 1
2 0re 7789 . . 3 0 ∈ ℝ
3 1re 7788 . . 3 1 ∈ ℝ
4 ltxrlt 7853 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 0 < 1))
52, 3, 4mp2an 423 . 2 (0 < 1 ↔ 0 < 1)
61, 5mpbir 145 1 0 < 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 104  wcel 1481   class class class wbr 3936  cr 7642  0cc0 7643  1c1 7644   < cltrr 7647   < clt 7823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1re 7737  ax-addrcl 7740  ax-0lt1 7749  ax-rnegex 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-xp 4552  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-ltxr 7828
This theorem is referenced by:  ine0  8179  0le1  8266  inelr  8369  1ap0  8375  eqneg  8515  ltp1  8625  ltm1  8627  recgt0  8631  mulgt1  8644  reclt1  8677  recgt1  8678  recgt1i  8679  recp1lt1  8680  recreclt  8681  sup3exmid  8738  nnge1  8766  nngt0  8768  0nnn  8770  nnrecgt0  8781  0ne1  8810  2pos  8834  3pos  8837  4pos  8840  5pos  8843  6pos  8844  7pos  8845  8pos  8846  9pos  8847  neg1lt0  8851  halflt1  8960  nn0p1gt0  9029  elnnnn0c  9045  elnnz1  9100  recnz  9167  1rp  9473  divlt1lt  9540  divle1le  9541  ledivge1le  9542  nnledivrp  9582  fz10  9856  fzpreddisj  9881  elfz1b  9900  modqfrac  10140  expgt1  10361  ltexp2a  10375  leexp2a  10376  expnbnd  10445  expnlbnd  10446  expnlbnd2  10447  expcanlem  10492  expcan  10493  bcn1  10535  resqrexlem1arp  10808  mulcn2  11112  reccn2ap  11113  georeclim  11313  geoisumr  11318  cos1bnd  11500  sin01gt0  11502  sincos1sgn  11505  nnoddm1d2  11641  dvdsnprmd  11840  divdenle  11909  mopnex  12711  reeff1olem  12898  cos02pilt1  12978  rplogcl  13006  cxplt  13042  cxple  13043  apdiff  13414
  Copyright terms: Public domain W3C validator