Theorem 0lt1 8284

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 8116	. 2 ⊢ 0 <ℝ 1
2		0re 8157	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 8156	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		ltxrlt 8223	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1))
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1)
6	1, 5	mpbir 146	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ℝcr 8009  0cc0 8010  1c1 8011   <_ℝ cltrr 8014   < clt 8192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107  ax-0lt1 8116  ax-rnegex 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197

This theorem is referenced by:  ine0  8551  0le1  8639  inelr  8742  1ap0  8748  eqneg  8890  ltp1  9002  ltm1  9004  recgt0  9008  mulgt1  9021  reclt1  9054  recgt1  9055  recgt1i  9056  recp1lt1  9057  recreclt  9058  sup3exmid  9115  nnge1  9144  nngt0  9146  0nnn  9148  nnrecgt0  9159  0ne1  9188  2pos  9212  3pos  9215  4pos  9218  5pos  9221  6pos  9222  7pos  9223  8pos  9224  9pos  9225  neg1lt0  9229  halflt1  9339  nn0p1gt0  9409  elnnnn0c  9425  elnnz1  9480  recnz  9551  1rp  9865  divlt1lt  9932  divle1le  9933  ledivge1le  9934  nnledivrp  9974  fz10  10254  fzpreddisj  10279  elfz1b  10298  modqfrac  10571  expgt1  10811  ltexp2a  10825  leexp2a  10826  expnbnd  10897  expnlbnd  10898  expnlbnd2  10899  nn0ltexp2  10943  expcanlem  10949  expcan  10950  bcn1  10992  s2fv0g  11334  resqrexlem1arp  11531  mulcn2  11838  reccn2ap  11839  georeclim  12039  geoisumr  12044  cos1bnd  12285  sin01gt0  12288  sincos1sgn  12291  p1modz1  12320  nnoddm1d2  12436  dvdsnprmd  12662  divdenle  12734  plendxnocndx  13262  znidomb  14637  mopnex  15194  ivthdichlem  15340  reeff1olem  15460  cos02pilt1  15540  rplogcl  15568  cxplt  15605  cxple  15606  ltexp2  15630  mersenne  15686  perfectlem2  15689  apdiff  16476