Theorem 0lt1 8170

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 8002	. 2 ⊢ 0 <ℝ 1
2		0re 8043	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 8042	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		ltxrlt 8109	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1))
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ (0 < 1 ↔ 0 <ℝ 1)
6	1, 5	mpbir 146	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7895  0cc0 7896  1c1 7897   <_ℝ cltrr 7900   < clt 8078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993  ax-0lt1 8002  ax-rnegex 8005

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083

This theorem is referenced by:  ine0  8437  0le1  8525  inelr  8628  1ap0  8634  eqneg  8776  ltp1  8888  ltm1  8890  recgt0  8894  mulgt1  8907  reclt1  8940  recgt1  8941  recgt1i  8942  recp1lt1  8943  recreclt  8944  sup3exmid  9001  nnge1  9030  nngt0  9032  0nnn  9034  nnrecgt0  9045  0ne1  9074  2pos  9098  3pos  9101  4pos  9104  5pos  9107  6pos  9108  7pos  9109  8pos  9110  9pos  9111  neg1lt0  9115  halflt1  9225  nn0p1gt0  9295  elnnnn0c  9311  elnnz1  9366  recnz  9436  1rp  9749  divlt1lt  9816  divle1le  9817  ledivge1le  9818  nnledivrp  9858  fz10  10138  fzpreddisj  10163  elfz1b  10182  modqfrac  10446  expgt1  10686  ltexp2a  10700  leexp2a  10701  expnbnd  10772  expnlbnd  10773  expnlbnd2  10774  nn0ltexp2  10818  expcanlem  10824  expcan  10825  bcn1  10867  resqrexlem1arp  11187  mulcn2  11494  reccn2ap  11495  georeclim  11695  geoisumr  11700  cos1bnd  11941  sin01gt0  11944  sincos1sgn  11947  p1modz1  11976  nnoddm1d2  12092  dvdsnprmd  12318  divdenle  12390  plendxnocndx  12916  znidomb  14290  mopnex  14825  ivthdichlem  14971  reeff1olem  15091  cos02pilt1  15171  rplogcl  15199  cxplt  15236  cxple  15237  ltexp2  15261  mersenne  15317  perfectlem2  15320  apdiff  15779