Theorem nn0enne 12462

Description: A positive integer is an even nonnegative integer iff it is an even positive integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0enne	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nn0enne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9403	. . . 4 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) = 0))
2		nncn 9150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		2cnd 9215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
4		2ap0 9235	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 # 0
5	4	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 # 0)
6	2, 3, 5	diveqap0ad 8979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
7		eleq1 2294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
8		0nnn 9169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
9	8	pm2.21i 651	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
10	7, 9	biimtrdi 163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
11	10	com12 30	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
12	6, 11	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) = 0 → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
13	12	com12 30	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 / 2) = 0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
14	13	jao1i 803	. . . 4 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) = 0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
15	1, 14	sylbi 121	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
16	15	com12 30	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
17		nnnn0 9408	. 2 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0)
18	16, 17	impbid1 142	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  0cc0 8031   # cap 8760   / cdiv 8851  ℕcn 9142  2c2 9193  ℕ₀cn0 9401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402

This theorem is referenced by:  nnehalf  12464