Theorem nn0enne 11839

Description: A positive integer is an even nonnegative integer iff it is an even positive integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0enne	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nn0enne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9116	. . . 4 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) = 0))
2		nncn 8865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		2cnd 8930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
4		2ap0 8950	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 # 0
5	4	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 # 0)
6	2, 3, 5	diveqap0ad 8696	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
7		eleq1 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
8		0nnn 8884	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
9	8	pm2.21i 636	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
10	7, 9	syl6bi 162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
11	10	com12 30	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
12	6, 11	sylbid 149	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) = 0 → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
13	12	com12 30	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 / 2) = 0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
14	13	jao1i 786	. . . 4 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) = 0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
15	1, 14	sylbi 120	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
16	15	com12 30	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
17		nnnn0 9121	. 2 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0)
18	16, 17	impbid1 141	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  0cc0 7753   # cap 8479   / cdiv 8568  ℕcn 8857  2c2 8908  ℕ₀cn0 9114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115

This theorem is referenced by:  nnehalf  11841