Theorem nn0enne 12428

Description: A positive integer is an even nonnegative integer iff it is an even positive integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0enne	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nn0enne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9382	. . . 4 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) = 0))
2		nncn 9129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		2cnd 9194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
4		2ap0 9214	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 # 0
5	4	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 # 0)
6	2, 3, 5	diveqap0ad 8958	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
7		eleq1 2292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
8		0nnn 9148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
9	8	pm2.21i 649	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
10	7, 9	biimtrdi 163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
11	10	com12 30	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
12	6, 11	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) = 0 → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
13	12	com12 30	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 / 2) = 0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
14	13	jao1i 801	. . . 4 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) = 0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
15	1, 14	sylbi 121	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
16	15	com12 30	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
17		nnnn0 9387	. 2 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0)
18	16, 17	impbid1 142	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  0cc0 8010   # cap 8739   / cdiv 8830  ℕcn 9121  2c2 9172  ℕ₀cn0 9380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-n0 9381

This theorem is referenced by:  nnehalf  12430