Theorem nnne0 9282

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9281	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2297	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 682	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2468	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  0cc0 8143  ℕcn 9254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-inn 9255

This theorem is referenced by:  nnne0d  9299  divfnzn  9971  qreccl  9992  fzo1fzo0n0  10544  expnnval  10928  expnegap0  10933  hashnncl  11183  ef0lem  12371  dvdsval3  12502  nndivdvds  12507  modmulconst  12534  dvdsdivcl  12561  divalg2  12637  ndvdssub  12641  nndvdslegcd  12686  divgcdz  12692  divgcdnn  12696  gcdzeq  12743  eucalgf  12777  eucalginv  12778  lcmgcdlem  12799  qredeu  12819  cncongr1  12825  cncongr2  12826  divnumden  12918  divdenle  12919  phimullem  12947  hashgcdlem  12960  phisum  12963  prm23lt5  12986  pythagtriplem8  12995  pythagtriplem9  12996  pceu  13018  pccl  13022  pcdiv  13025  pcqcl  13029  pcdvds  13038  pcndvds  13040  pcndvds2  13042  pceq0  13045  pcz  13055  pcmpt  13066  fldivp1  13071  pcfac  13073  ennnfonelemjn  13237  mulgnn  13879  mulgnegnn  13885  znf1o  14925  znfi  14929  znhash  14930  znidomb  14932  znrrg  14934  dvexp2  15703  pellexlem1  15971  lgsval4a  16021  lgsabs1  16038  lgssq2  16040