Theorem nnne0 9311

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9310	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2301	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 686	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2474	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  0cc0 8169  ℕcn 9283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-cnv 4777  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-inn 9284

This theorem is referenced by:  nnne0d  9328  divfnzn  10000  qreccl  10021  fzo1fzo0n0  10573  expnnval  10957  expnegap0  10962  hashnncl  11212  ef0lem  12405  dvdsval3  12536  nndivdvds  12541  modmulconst  12568  dvdsdivcl  12595  divalg2  12671  ndvdssub  12675  nndvdslegcd  12720  divgcdz  12726  divgcdnn  12730  gcdzeq  12777  eucalgf  12811  eucalginv  12812  lcmgcdlem  12833  qredeu  12853  cncongr1  12859  cncongr2  12860  divnumden  12952  divdenle  12953  phimullem  12981  hashgcdlem  12994  phisum  12997  prm23lt5  13020  pythagtriplem8  13029  pythagtriplem9  13030  pceu  13052  pccl  13056  pcdiv  13059  pcqcl  13063  pcdvds  13072  pcndvds  13074  pcndvds2  13076  pceq0  13079  pcz  13089  pcmpt  13100  fldivp1  13105  pcfac  13107  ennnfonelemjn  13271  mulgnn  13906  mulgnegnn  13912  znf1o  14958  znfi  14962  znhash  14963  znidomb  14965  znrrg  14967  dvexp2  15736  pellexlem1  16005  lgsval4a  16055  lgsabs1  16072  lgssq2  16074