Theorem nnne0 9084

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9083	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2269	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 677	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2431	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  0cc0 7945  ℕcn 9056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1re 8039  ax-addrcl 8042  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-xp 4689  df-cnv 4691  df-iota 5241  df-fv 5288  df-ov 5960  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-inn 9057

This theorem is referenced by:  nnne0d  9101  divfnzn  9762  qreccl  9783  fzo1fzo0n0  10329  expnnval  10709  expnegap0  10714  hashnncl  10962  ef0lem  12046  dvdsval3  12177  nndivdvds  12182  modmulconst  12209  dvdsdivcl  12236  divalg2  12312  ndvdssub  12316  nndvdslegcd  12361  divgcdz  12367  divgcdnn  12371  gcdzeq  12418  eucalgf  12452  eucalginv  12453  lcmgcdlem  12474  qredeu  12494  cncongr1  12500  cncongr2  12501  divnumden  12593  divdenle  12594  phimullem  12622  hashgcdlem  12635  phisum  12638  prm23lt5  12661  pythagtriplem8  12670  pythagtriplem9  12671  pceu  12693  pccl  12697  pcdiv  12700  pcqcl  12704  pcdvds  12713  pcndvds  12715  pcndvds2  12717  pceq0  12720  pcz  12730  pcmpt  12741  fldivp1  12746  pcfac  12748  ennnfonelemjn  12848  mulgnn  13537  mulgnegnn  13543  znf1o  14488  znfi  14492  znhash  14493  znidomb  14495  znrrg  14497  dvexp2  15259  lgsval4a  15574  lgsabs1  15591  lgssq2  15593