Theorem nnne0 9018

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9017	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2259	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 676	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2421	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  0cc0 7879  ℕcn 8990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-inn 8991

This theorem is referenced by:  nnne0d  9035  divfnzn  9695  qreccl  9716  fzo1fzo0n0  10259  expnnval  10634  expnegap0  10639  hashnncl  10887  ef0lem  11825  dvdsval3  11956  nndivdvds  11961  modmulconst  11988  dvdsdivcl  12015  divalg2  12091  ndvdssub  12095  nndvdslegcd  12132  divgcdz  12138  divgcdnn  12142  gcdzeq  12189  eucalgf  12223  eucalginv  12224  lcmgcdlem  12245  qredeu  12265  cncongr1  12271  cncongr2  12272  divnumden  12364  divdenle  12365  phimullem  12393  hashgcdlem  12406  phisum  12409  prm23lt5  12432  pythagtriplem8  12441  pythagtriplem9  12442  pceu  12464  pccl  12468  pcdiv  12471  pcqcl  12475  pcdvds  12484  pcndvds  12486  pcndvds2  12488  pceq0  12491  pcz  12501  pcmpt  12512  fldivp1  12517  pcfac  12519  ennnfonelemjn  12619  mulgnn  13256  mulgnegnn  13262  znf1o  14207  znfi  14211  znhash  14212  znidomb  14214  znrrg  14216  dvexp2  14948  lgsval4a  15263  lgsabs1  15280  lgssq2  15282