Theorem nnne0 9010

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9009	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2256	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 676	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2418	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  0cc0 7872  ℕcn 8982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-inn 8983

This theorem is referenced by:  nnne0d  9027  divfnzn  9686  qreccl  9707  fzo1fzo0n0  10250  expnnval  10613  expnegap0  10618  hashnncl  10866  ef0lem  11803  dvdsval3  11934  nndivdvds  11939  modmulconst  11966  dvdsdivcl  11992  divalg2  12067  ndvdssub  12071  nndvdslegcd  12102  divgcdz  12108  divgcdnn  12112  gcdzeq  12159  eucalgf  12193  eucalginv  12194  lcmgcdlem  12215  qredeu  12235  cncongr1  12241  cncongr2  12242  divnumden  12334  divdenle  12335  phimullem  12363  hashgcdlem  12376  phisum  12378  prm23lt5  12401  pythagtriplem8  12410  pythagtriplem9  12411  pceu  12433  pccl  12437  pcdiv  12440  pcqcl  12444  pcdvds  12453  pcndvds  12455  pcndvds2  12457  pceq0  12460  pcz  12470  pcmpt  12481  fldivp1  12486  pcfac  12488  ennnfonelemjn  12559  mulgnn  13196  mulgnegnn  13202  znf1o  14139  znfi  14143  znhash  14144  znidomb  14146  znrrg  14148  dvexp2  14861  lgsval4a  15138  lgsabs1  15155  lgssq2  15157