Theorem nnne0 8972

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 8971	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2252	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 676	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2414	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360  0cc0 7836  ℕcn 8944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1re 7930  ax-addrcl 7933  ax-0lt1 7942  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-ltadd 7952

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4647  df-cnv 4649  df-iota 5193  df-fv 5240  df-ov 5895  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-inn 8945

This theorem is referenced by:  nnne0d  8989  divfnzn  9646  qreccl  9667  fzo1fzo0n0  10208  expnnval  10549  expnegap0  10554  hashnncl  10802  ef0lem  11695  dvdsval3  11825  nndivdvds  11830  modmulconst  11857  dvdsdivcl  11883  divalg2  11958  ndvdssub  11962  nndvdslegcd  11993  divgcdz  11999  divgcdnn  12003  gcdzeq  12050  eucalgf  12082  eucalginv  12083  lcmgcdlem  12104  qredeu  12124  cncongr1  12130  cncongr2  12131  divnumden  12223  divdenle  12224  phimullem  12252  hashgcdlem  12265  phisum  12267  prm23lt5  12290  pythagtriplem8  12299  pythagtriplem9  12300  pceu  12322  pccl  12326  pcdiv  12329  pcqcl  12333  pcdvds  12342  pcndvds  12344  pcndvds2  12346  pceq0  12349  pcz  12359  pcmpt  12370  fldivp1  12375  pcfac  12377  ennnfonelemjn  12448  mulgnn  13061  mulgnegnn  13065  dvexp2  14613  lgsval4a  14860  lgsabs1  14877  lgssq2  14879