Theorem nnne0 9265

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9264	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2295	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 682	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2466	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  0cc0 8127  ℕcn 9237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-cnv 4757  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-inn 9238

This theorem is referenced by:  nnne0d  9282  divfnzn  9953  qreccl  9974  fzo1fzo0n0  10522  expnnval  10904  expnegap0  10909  hashnncl  11158  ef0lem  12346  dvdsval3  12477  nndivdvds  12482  modmulconst  12509  dvdsdivcl  12536  divalg2  12612  ndvdssub  12616  nndvdslegcd  12661  divgcdz  12667  divgcdnn  12671  gcdzeq  12718  eucalgf  12752  eucalginv  12753  lcmgcdlem  12774  qredeu  12794  cncongr1  12800  cncongr2  12801  divnumden  12893  divdenle  12894  phimullem  12922  hashgcdlem  12935  phisum  12938  prm23lt5  12961  pythagtriplem8  12970  pythagtriplem9  12971  pceu  12993  pccl  12997  pcdiv  13000  pcqcl  13004  pcdvds  13013  pcndvds  13015  pcndvds2  13017  pceq0  13020  pcz  13030  pcmpt  13041  fldivp1  13046  pcfac  13048  ennnfonelemjn  13153  mulgnn  13843  mulgnegnn  13849  znf1o  14799  znfi  14803  znhash  14804  znidomb  14806  znrrg  14808  dvexp2  15577  pellexlem1  15845  lgsval4a  15895  lgsabs1  15912  lgssq2  15914