Theorem nnne0 9334

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9333	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2301	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 686	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2474	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  0cc0 8179  ℕcn 9306

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-inn 9307

This theorem is used by:  nnne0d  9351  divfnzn  10030  qreccl  10051  fzo1fzo0n0  10605  expnnval  10992  expnegap0  10997  hashnncl  11248  ef0lem  12443  dvdsval3  12574  nndivdvds  12579  modmulconst  12606  dvdsdivcl  12633  divalg2  12709  ndvdssub  12713  nndvdslegcd  12758  divgcdz  12764  divgcdnn  12768  gcdzeq  12815  eucalgf  12849  eucalginv  12850  lcmgcdlem  12871  qredeu  12891  cncongr1  12897  cncongr2  12898  divnumden  12992  divdenle  12993  phimullem  13023  hashgcdlem  13036  phisum  13039  prm23lt5  13062  pythagtriplem8  13071  pythagtriplem9  13072  pceu  13094  pccl  13098  pcdiv  13101  pcqcl  13105  pcdvds  13114  pcndvds  13116  pcndvds2  13118  pceq0  13121  pcz  13131  pcmpt  13142  fldivp1  13147  pcfac  13149  ennnfonelemjn  13342  mulgnn  13978  mulgnegnn  13984  znf1o  15035  znfi  15039  znhash  15040  znidomb  15042  znrrg  15044  dvexp2  15862  pellexlem1  16148  lgsval4a  16239  lgsabs1  16256  lgssq2  16258