Theorem nnne0 9063

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9062	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2267	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 676	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2429	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375  0cc0 7924  ℕcn 9035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4680  df-cnv 4682  df-iota 5231  df-fv 5278  df-ov 5946  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-inn 9036

This theorem is referenced by:  nnne0d  9080  divfnzn  9741  qreccl  9762  fzo1fzo0n0  10305  expnnval  10685  expnegap0  10690  hashnncl  10938  ef0lem  11913  dvdsval3  12044  nndivdvds  12049  modmulconst  12076  dvdsdivcl  12103  divalg2  12179  ndvdssub  12183  nndvdslegcd  12228  divgcdz  12234  divgcdnn  12238  gcdzeq  12285  eucalgf  12319  eucalginv  12320  lcmgcdlem  12341  qredeu  12361  cncongr1  12367  cncongr2  12368  divnumden  12460  divdenle  12461  phimullem  12489  hashgcdlem  12502  phisum  12505  prm23lt5  12528  pythagtriplem8  12537  pythagtriplem9  12538  pceu  12560  pccl  12564  pcdiv  12567  pcqcl  12571  pcdvds  12580  pcndvds  12582  pcndvds2  12584  pceq0  12587  pcz  12597  pcmpt  12608  fldivp1  12613  pcfac  12615  ennnfonelemjn  12715  mulgnn  13404  mulgnegnn  13410  znf1o  14355  znfi  14359  znhash  14360  znidomb  14362  znrrg  14364  dvexp2  15126  lgsval4a  15441  lgsabs1  15458  lgssq2  15460