Theorem nnne0 9149

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9148	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2292	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 679	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2454	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  0cc0 8010  ℕcn 9121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-inn 9122

This theorem is referenced by:  nnne0d  9166  divfnzn  9828  qreccl  9849  fzo1fzo0n0  10395  expnnval  10776  expnegap0  10781  hashnncl  11029  ef0lem  12186  dvdsval3  12317  nndivdvds  12322  modmulconst  12349  dvdsdivcl  12376  divalg2  12452  ndvdssub  12456  nndvdslegcd  12501  divgcdz  12507  divgcdnn  12511  gcdzeq  12558  eucalgf  12592  eucalginv  12593  lcmgcdlem  12614  qredeu  12634  cncongr1  12640  cncongr2  12641  divnumden  12733  divdenle  12734  phimullem  12762  hashgcdlem  12775  phisum  12778  prm23lt5  12801  pythagtriplem8  12810  pythagtriplem9  12811  pceu  12833  pccl  12837  pcdiv  12840  pcqcl  12844  pcdvds  12853  pcndvds  12855  pcndvds2  12857  pceq0  12860  pcz  12870  pcmpt  12881  fldivp1  12886  pcfac  12888  ennnfonelemjn  12988  mulgnn  13678  mulgnegnn  13684  znf1o  14630  znfi  14634  znhash  14635  znidomb  14637  znrrg  14639  dvexp2  15401  lgsval4a  15716  lgsabs1  15733  lgssq2  15735