Theorem nnne0 9173

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9172	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2293	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 681	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2455	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   ≠ wne 2401  0cc0 8034  ℕcn 9145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4206  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1re 8128  ax-addrcl 8131  ax-0lt1 8140  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-lttrn 8148  ax-pre-ltadd 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-br 4088  df-opab 4150  df-xp 4730  df-cnv 4732  df-iota 5285  df-fv 5333  df-ov 6023  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-xr 8220  df-ltxr 8221  df-le 8222  df-inn 9146

This theorem is referenced by:  nnne0d  9190  divfnzn  9857  qreccl  9878  fzo1fzo0n0  10425  expnnval  10807  expnegap0  10812  hashnncl  11060  ef0lem  12241  dvdsval3  12372  nndivdvds  12377  modmulconst  12404  dvdsdivcl  12431  divalg2  12507  ndvdssub  12511  nndvdslegcd  12556  divgcdz  12562  divgcdnn  12566  gcdzeq  12613  eucalgf  12647  eucalginv  12648  lcmgcdlem  12669  qredeu  12689  cncongr1  12695  cncongr2  12696  divnumden  12788  divdenle  12789  phimullem  12817  hashgcdlem  12830  phisum  12833  prm23lt5  12856  pythagtriplem8  12865  pythagtriplem9  12866  pceu  12888  pccl  12892  pcdiv  12895  pcqcl  12899  pcdvds  12908  pcndvds  12910  pcndvds2  12912  pceq0  12915  pcz  12925  pcmpt  12936  fldivp1  12941  pcfac  12943  ennnfonelemjn  13043  mulgnn  13733  mulgnegnn  13739  znf1o  14686  znfi  14690  znhash  14691  znidomb  14693  znrrg  14695  dvexp2  15462  lgsval4a  15777  lgsabs1  15794  lgssq2  15796