Theorem nnne0 9335

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9334	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2301	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 686	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2474	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  0cc0 8180  ℕcn 9307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-inn 9308

This theorem is used by:  nnne0d  9352  divfnzn  10031  qreccl  10052  fzo1fzo0n0  10606  expnnval  10994  expnegap0  10999  hashnncl  11250  ef0lem  12446  dvdsval3  12577  nndivdvds  12582  modmulconst  12609  dvdsdivcl  12636  divalg2  12712  ndvdssub  12716  nndvdslegcd  12761  divgcdz  12767  divgcdnn  12771  gcdzeq  12818  eucalgf  12852  eucalginv  12853  lcmgcdlem  12874  qredeu  12894  cncongr1  12900  cncongr2  12901  divnumden  12995  divdenle  12996  phimullem  13026  hashgcdlem  13039  phisum  13042  prm23lt5  13065  pythagtriplem8  13074  pythagtriplem9  13075  pceu  13097  pccl  13101  pcdiv  13104  pcqcl  13108  pcdvds  13117  pcndvds  13119  pcndvds2  13121  pceq0  13124  pcz  13134  pcmpt  13145  fldivp1  13150  pcfac  13152  ennnfonelemjn  13345  mulgnn  13982  mulgnegnn  13988  znf1o  15070  znfi  15074  znhash  15075  znidomb  15077  znrrg  15079  dvexp2  15904  pellexlem1  16190  chtublem  16256  lgsval4a  16307  lgsabs1  16324  lgssq2  16326