Theorem nnne0 9170

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9169	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2294	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 681	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2456	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  0cc0 8031  ℕcn 9142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-inn 9143

This theorem is referenced by:  nnne0d  9187  divfnzn  9854  qreccl  9875  fzo1fzo0n0  10421  expnnval  10803  expnegap0  10808  hashnncl  11056  ef0lem  12220  dvdsval3  12351  nndivdvds  12356  modmulconst  12383  dvdsdivcl  12410  divalg2  12486  ndvdssub  12490  nndvdslegcd  12535  divgcdz  12541  divgcdnn  12545  gcdzeq  12592  eucalgf  12626  eucalginv  12627  lcmgcdlem  12648  qredeu  12668  cncongr1  12674  cncongr2  12675  divnumden  12767  divdenle  12768  phimullem  12796  hashgcdlem  12809  phisum  12812  prm23lt5  12835  pythagtriplem8  12844  pythagtriplem9  12845  pceu  12867  pccl  12871  pcdiv  12874  pcqcl  12878  pcdvds  12887  pcndvds  12889  pcndvds2  12891  pceq0  12894  pcz  12904  pcmpt  12915  fldivp1  12920  pcfac  12922  ennnfonelemjn  13022  mulgnn  13712  mulgnegnn  13718  znf1o  14664  znfi  14668  znhash  14669  znidomb  14671  znrrg  14673  dvexp2  15435  lgsval4a  15750  lgsabs1  15767  lgssq2  15769