Theorem nnne0 9213

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9212	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2294	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 682	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2457	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  0cc0 8075  ℕcn 9185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-inn 9186

This theorem is referenced by:  nnne0d  9230  divfnzn  9899  qreccl  9920  fzo1fzo0n0  10468  expnnval  10850  expnegap0  10855  hashnncl  11103  ef0lem  12284  dvdsval3  12415  nndivdvds  12420  modmulconst  12447  dvdsdivcl  12474  divalg2  12550  ndvdssub  12554  nndvdslegcd  12599  divgcdz  12605  divgcdnn  12609  gcdzeq  12656  eucalgf  12690  eucalginv  12691  lcmgcdlem  12712  qredeu  12732  cncongr1  12738  cncongr2  12739  divnumden  12831  divdenle  12832  phimullem  12860  hashgcdlem  12873  phisum  12876  prm23lt5  12899  pythagtriplem8  12908  pythagtriplem9  12909  pceu  12931  pccl  12935  pcdiv  12938  pcqcl  12942  pcdvds  12951  pcndvds  12953  pcndvds2  12955  pceq0  12958  pcz  12968  pcmpt  12979  fldivp1  12984  pcfac  12986  ennnfonelemjn  13086  mulgnn  13776  mulgnegnn  13782  znf1o  14730  znfi  14734  znhash  14735  znidomb  14737  znrrg  14739  dvexp2  15506  pellexlem1  15774  lgsval4a  15824  lgsabs1  15841  lgssq2  15843