ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnne0 GIF version

Theorem nnne0 8760
Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnne0 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0
StepHypRef Expression
1 0nnn 8759 . . 3 ¬ 0 ∈ ℕ
2 eleq1 2202 . . 3 (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
31, 2mtbiri 664 . 2 (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
43necon2ai 2362 1 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2308  0cc0 7632  cn 8732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1re 7726  ax-addrcl 7729  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-inn 8733
This theorem is referenced by:  nnne0d  8777  divfnzn  9425  qreccl  9446  fzo1fzo0n0  9972  expnnval  10308  expnegap0  10313  hashnncl  10554  ef0lem  11378  dvdsval3  11508  nndivdvds  11510  modmulconst  11536  dvdsdivcl  11559  divalg2  11634  ndvdssub  11638  nndvdslegcd  11665  divgcdz  11671  divgcdnn  11674  gcdzeq  11721  eucalgf  11747  eucalginv  11748  lcmgcdlem  11769  qredeu  11789  cncongr1  11795  cncongr2  11796  divnumden  11885  divdenle  11886  phimullem  11912  hashgcdlem  11914  ennnfonelemjn  11926  dvexp2  12859
  Copyright terms: Public domain W3C validator