Theorem nnne0 9171

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9170	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2294	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 681	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2456	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  0cc0 8032  ℕcn 9143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-inn 9144

This theorem is referenced by:  nnne0d  9188  divfnzn  9855  qreccl  9876  fzo1fzo0n0  10423  expnnval  10805  expnegap0  10810  hashnncl  11058  ef0lem  12239  dvdsval3  12370  nndivdvds  12375  modmulconst  12402  dvdsdivcl  12429  divalg2  12505  ndvdssub  12509  nndvdslegcd  12554  divgcdz  12560  divgcdnn  12564  gcdzeq  12611  eucalgf  12645  eucalginv  12646  lcmgcdlem  12667  qredeu  12687  cncongr1  12693  cncongr2  12694  divnumden  12786  divdenle  12787  phimullem  12815  hashgcdlem  12828  phisum  12831  prm23lt5  12854  pythagtriplem8  12863  pythagtriplem9  12864  pceu  12886  pccl  12890  pcdiv  12893  pcqcl  12897  pcdvds  12906  pcndvds  12908  pcndvds2  12910  pceq0  12913  pcz  12923  pcmpt  12934  fldivp1  12939  pcfac  12941  ennnfonelemjn  13041  mulgnn  13731  mulgnegnn  13737  znf1o  14684  znfi  14688  znhash  14689  znidomb  14691  znrrg  14693  dvexp2  15455  lgsval4a  15770  lgsabs1  15787  lgssq2  15789