Theorem nnne0 8947

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 8946	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2240	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 675	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2401	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  0cc0 7811  ℕcn 8919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1re 7905  ax-addrcl 7908  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-cnv 4635  df-iota 5179  df-fv 5225  df-ov 5878  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-inn 8920

This theorem is referenced by:  nnne0d  8964  divfnzn  9621  qreccl  9642  fzo1fzo0n0  10183  expnnval  10523  expnegap0  10528  hashnncl  10775  ef0lem  11668  dvdsval3  11798  nndivdvds  11803  modmulconst  11830  dvdsdivcl  11856  divalg2  11931  ndvdssub  11935  nndvdslegcd  11966  divgcdz  11972  divgcdnn  11976  gcdzeq  12023  eucalgf  12055  eucalginv  12056  lcmgcdlem  12077  qredeu  12097  cncongr1  12103  cncongr2  12104  divnumden  12196  divdenle  12197  phimullem  12225  hashgcdlem  12238  phisum  12240  prm23lt5  12263  pythagtriplem8  12272  pythagtriplem9  12273  pceu  12295  pccl  12299  pcdiv  12302  pcqcl  12306  pcdvds  12314  pcndvds  12316  pcndvds2  12318  pceq0  12321  pcz  12331  pcmpt  12341  fldivp1  12346  pcfac  12348  ennnfonelemjn  12403  mulgnn  12989  mulgnegnn  12993  dvexp2  14179  lgsval4a  14426  lgsabs1  14443  lgssq2  14445