Theorem nnne0 8906

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 8905	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2233	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 670	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2394	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  0cc0 7774  ℕcn 8878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-inn 8879

This theorem is referenced by:  nnne0d  8923  divfnzn  9580  qreccl  9601  fzo1fzo0n0  10139  expnnval  10479  expnegap0  10484  hashnncl  10730  ef0lem  11623  dvdsval3  11753  nndivdvds  11758  modmulconst  11785  dvdsdivcl  11810  divalg2  11885  ndvdssub  11889  nndvdslegcd  11920  divgcdz  11926  divgcdnn  11930  gcdzeq  11977  eucalgf  12009  eucalginv  12010  lcmgcdlem  12031  qredeu  12051  cncongr1  12057  cncongr2  12058  divnumden  12150  divdenle  12151  phimullem  12179  hashgcdlem  12192  phisum  12194  prm23lt5  12217  pythagtriplem8  12226  pythagtriplem9  12227  pceu  12249  pccl  12253  pcdiv  12256  pcqcl  12260  pcdvds  12268  pcndvds  12270  pcndvds2  12272  pceq0  12275  pcz  12285  pcmpt  12295  fldivp1  12300  pcfac  12302  ennnfonelemjn  12357  dvexp2  13470  lgsval4a  13717  lgsabs1  13734  lgssq2  13736