Theorem nnne0 9046

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9045	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2267	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 676	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2429	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375  0cc0 7907  ℕcn 9018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1re 8001  ax-addrcl 8004  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4679  df-cnv 4681  df-iota 5229  df-fv 5276  df-ov 5937  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-inn 9019

This theorem is referenced by:  nnne0d  9063  divfnzn  9724  qreccl  9745  fzo1fzo0n0  10288  expnnval  10668  expnegap0  10673  hashnncl  10921  ef0lem  11890  dvdsval3  12021  nndivdvds  12026  modmulconst  12053  dvdsdivcl  12080  divalg2  12156  ndvdssub  12160  nndvdslegcd  12205  divgcdz  12211  divgcdnn  12215  gcdzeq  12262  eucalgf  12296  eucalginv  12297  lcmgcdlem  12318  qredeu  12338  cncongr1  12344  cncongr2  12345  divnumden  12437  divdenle  12438  phimullem  12466  hashgcdlem  12479  phisum  12482  prm23lt5  12505  pythagtriplem8  12514  pythagtriplem9  12515  pceu  12537  pccl  12541  pcdiv  12544  pcqcl  12548  pcdvds  12557  pcndvds  12559  pcndvds2  12561  pceq0  12564  pcz  12574  pcmpt  12585  fldivp1  12590  pcfac  12592  ennnfonelemjn  12692  mulgnn  13380  mulgnegnn  13386  znf1o  14331  znfi  14335  znhash  14336  znidomb  14338  znrrg  14340  dvexp2  15102  lgsval4a  15417  lgsabs1  15434  lgssq2  15436