Theorem nnne0 9063

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9062	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2267	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 676	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2429	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375  0cc0 7924  ℕcn 9035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4680  df-cnv 4682  df-iota 5231  df-fv 5278  df-ov 5946  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-inn 9036

This theorem is referenced by:  nnne0d  9080  divfnzn  9741  qreccl  9762  fzo1fzo0n0  10305  expnnval  10685  expnegap0  10690  hashnncl  10938  ef0lem  11942  dvdsval3  12073  nndivdvds  12078  modmulconst  12105  dvdsdivcl  12132  divalg2  12208  ndvdssub  12212  nndvdslegcd  12257  divgcdz  12263  divgcdnn  12267  gcdzeq  12314  eucalgf  12348  eucalginv  12349  lcmgcdlem  12370  qredeu  12390  cncongr1  12396  cncongr2  12397  divnumden  12489  divdenle  12490  phimullem  12518  hashgcdlem  12531  phisum  12534  prm23lt5  12557  pythagtriplem8  12566  pythagtriplem9  12567  pceu  12589  pccl  12593  pcdiv  12596  pcqcl  12600  pcdvds  12609  pcndvds  12611  pcndvds2  12613  pceq0  12616  pcz  12626  pcmpt  12637  fldivp1  12642  pcfac  12644  ennnfonelemjn  12744  mulgnn  13433  mulgnegnn  13439  znf1o  14384  znfi  14388  znhash  14389  znidomb  14391  znrrg  14393  dvexp2  15155  lgsval4a  15470  lgsabs1  15487  lgssq2  15489