Theorem nnne0 8881

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 8880	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2228	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 665	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2389	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2335  0cc0 7749  ℕcn 8853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1re 7843  ax-addrcl 7846  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-xp 4609  df-cnv 4611  df-iota 5152  df-fv 5195  df-ov 5844  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-inn 8854

This theorem is referenced by:  nnne0d  8898  divfnzn  9555  qreccl  9576  fzo1fzo0n0  10114  expnnval  10454  expnegap0  10459  hashnncl  10705  ef0lem  11597  dvdsval3  11727  nndivdvds  11732  modmulconst  11759  dvdsdivcl  11784  divalg2  11859  ndvdssub  11863  nndvdslegcd  11894  divgcdz  11900  divgcdnn  11904  gcdzeq  11951  eucalgf  11983  eucalginv  11984  lcmgcdlem  12005  qredeu  12025  cncongr1  12031  cncongr2  12032  divnumden  12124  divdenle  12125  phimullem  12153  hashgcdlem  12166  phisum  12168  prm23lt5  12191  pythagtriplem8  12200  pythagtriplem9  12201  pceu  12223  pccl  12227  pcdiv  12230  pcqcl  12234  pcdvds  12242  pcndvds  12244  pcndvds2  12246  pceq0  12249  pcz  12259  pcmpt  12269  fldivp1  12274  pcfac  12276  ennnfonelemjn  12331  dvexp2  13276  lgsval4a  13523  lgsabs1  13540  lgssq2  13542