Theorem nnne0 8918

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 8917	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2238	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 675	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2399	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2345  0cc0 7786  ℕcn 8890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1re 7880  ax-addrcl 7883  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-xp 4626  df-cnv 4628  df-iota 5170  df-fv 5216  df-ov 5868  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-inn 8891

This theorem is referenced by:  nnne0d  8935  divfnzn  9592  qreccl  9613  fzo1fzo0n0  10151  expnnval  10491  expnegap0  10496  hashnncl  10741  ef0lem  11634  dvdsval3  11764  nndivdvds  11769  modmulconst  11796  dvdsdivcl  11821  divalg2  11896  ndvdssub  11900  nndvdslegcd  11931  divgcdz  11937  divgcdnn  11941  gcdzeq  11988  eucalgf  12020  eucalginv  12021  lcmgcdlem  12042  qredeu  12062  cncongr1  12068  cncongr2  12069  divnumden  12161  divdenle  12162  phimullem  12190  hashgcdlem  12203  phisum  12205  prm23lt5  12228  pythagtriplem8  12237  pythagtriplem9  12238  pceu  12260  pccl  12264  pcdiv  12267  pcqcl  12271  pcdvds  12279  pcndvds  12281  pcndvds2  12283  pceq0  12286  pcz  12296  pcmpt  12306  fldivp1  12311  pcfac  12313  ennnfonelemjn  12368  mulgnn  12848  mulgnegnn  12852  dvexp2  13727  lgsval4a  13974  lgsabs1  13991  lgssq2  13993