Theorem nnne0 9161

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9160	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2292	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 679	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2454	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  0cc0 8022  ℕcn 9133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-inn 9134

This theorem is referenced by:  nnne0d  9178  divfnzn  9845  qreccl  9866  fzo1fzo0n0  10412  expnnval  10794  expnegap0  10799  hashnncl  11047  ef0lem  12211  dvdsval3  12342  nndivdvds  12347  modmulconst  12374  dvdsdivcl  12401  divalg2  12477  ndvdssub  12481  nndvdslegcd  12526  divgcdz  12532  divgcdnn  12536  gcdzeq  12583  eucalgf  12617  eucalginv  12618  lcmgcdlem  12639  qredeu  12659  cncongr1  12665  cncongr2  12666  divnumden  12758  divdenle  12759  phimullem  12787  hashgcdlem  12800  phisum  12803  prm23lt5  12826  pythagtriplem8  12835  pythagtriplem9  12836  pceu  12858  pccl  12862  pcdiv  12865  pcqcl  12869  pcdvds  12878  pcndvds  12880  pcndvds2  12882  pceq0  12885  pcz  12895  pcmpt  12906  fldivp1  12911  pcfac  12913  ennnfonelemjn  13013  mulgnn  13703  mulgnegnn  13709  znf1o  14655  znfi  14659  znhash  14660  znidomb  14662  znrrg  14664  dvexp2  15426  lgsval4a  15741  lgsabs1  15758  lgssq2  15760