Theorem nnne0 9037

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9036	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2259	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 676	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2421	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  0cc0 7898  ℕcn 9009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1re 7992  ax-addrcl 7995  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-inn 9010

This theorem is referenced by:  nnne0d  9054  divfnzn  9714  qreccl  9735  fzo1fzo0n0  10278  expnnval  10653  expnegap0  10658  hashnncl  10906  ef0lem  11844  dvdsval3  11975  nndivdvds  11980  modmulconst  12007  dvdsdivcl  12034  divalg2  12110  ndvdssub  12114  nndvdslegcd  12159  divgcdz  12165  divgcdnn  12169  gcdzeq  12216  eucalgf  12250  eucalginv  12251  lcmgcdlem  12272  qredeu  12292  cncongr1  12298  cncongr2  12299  divnumden  12391  divdenle  12392  phimullem  12420  hashgcdlem  12433  phisum  12436  prm23lt5  12459  pythagtriplem8  12468  pythagtriplem9  12469  pceu  12491  pccl  12495  pcdiv  12498  pcqcl  12502  pcdvds  12511  pcndvds  12513  pcndvds2  12515  pceq0  12518  pcz  12528  pcmpt  12539  fldivp1  12544  pcfac  12546  ennnfonelemjn  12646  mulgnn  13334  mulgnegnn  13340  znf1o  14285  znfi  14289  znhash  14290  znidomb  14292  znrrg  14294  dvexp2  15056  lgsval4a  15371  lgsabs1  15388  lgssq2  15390