Theorem nnne0 9341

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9340	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2301	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 686	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2474	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  0cc0 8185  ℕcn 9313

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-inn 9314

This theorem is used by:  nnne0d  9358  divfnzn  10037  qreccl  10058  fzo1fzo0n0  10612  expnnval  11000  expnegap0  11005  hashnncl  11256  ef0lem  12452  dvdsval3  12583  nndivdvds  12588  modmulconst  12615  dvdsdivcl  12642  divalg2  12718  ndvdssub  12722  nndvdslegcd  12767  divgcdz  12773  divgcdnn  12777  gcdzeq  12824  eucalgf  12858  eucalginv  12859  lcmgcdlem  12880  qredeu  12900  cncongr1  12906  cncongr2  12907  divnumden  13001  divdenle  13002  phimullem  13032  hashgcdlem  13045  phisum  13048  prm23lt5  13071  pythagtriplem8  13080  pythagtriplem9  13081  pceu  13103  pccl  13107  pcdiv  13110  pcqcl  13114  pcdvds  13123  pcndvds  13125  pcndvds2  13127  pceq0  13130  pcz  13140  pcmpt  13151  fldivp1  13156  pcfac  13158  ennnfonelemjn  13351  mulgnn  13988  mulgnegnn  13994  znf1o  15095  znfi  15099  znhash  15100  znidomb  15102  znrrg  15104  dvexp2  15938  pellexlem1  16229  chtublem  16295  lgsval4a  16346  lgsabs1  16363  lgssq2  16365