Theorem nnne0 9134

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9133	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2292	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 679	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2454	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  0cc0 7995  ℕcn 9106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-cnv 4726  df-iota 5277  df-fv 5325  df-ov 6003  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-inn 9107

This theorem is referenced by:  nnne0d  9151  divfnzn  9812  qreccl  9833  fzo1fzo0n0  10379  expnnval  10759  expnegap0  10764  hashnncl  11012  ef0lem  12166  dvdsval3  12297  nndivdvds  12302  modmulconst  12329  dvdsdivcl  12356  divalg2  12432  ndvdssub  12436  nndvdslegcd  12481  divgcdz  12487  divgcdnn  12491  gcdzeq  12538  eucalgf  12572  eucalginv  12573  lcmgcdlem  12594  qredeu  12614  cncongr1  12620  cncongr2  12621  divnumden  12713  divdenle  12714  phimullem  12742  hashgcdlem  12755  phisum  12758  prm23lt5  12781  pythagtriplem8  12790  pythagtriplem9  12791  pceu  12813  pccl  12817  pcdiv  12820  pcqcl  12824  pcdvds  12833  pcndvds  12835  pcndvds2  12837  pceq0  12840  pcz  12850  pcmpt  12861  fldivp1  12866  pcfac  12868  ennnfonelemjn  12968  mulgnn  13658  mulgnegnn  13664  znf1o  14609  znfi  14613  znhash  14614  znidomb  14616  znrrg  14618  dvexp2  15380  lgsval4a  15695  lgsabs1  15712  lgssq2  15714