Theorem nnne0 9341

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9340	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2301	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 686	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2474	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  0cc0 8185  ℕcn 9313

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-inn 9314

This theorem is used by:  nnne0d  9358  divfnzn  10036  qreccl  10057  fzo1fzo0n0  10611  expnnval  10999  expnegap0  11004  hashnncl  11255  ef0lem  12451  dvdsval3  12582  nndivdvds  12587  modmulconst  12614  dvdsdivcl  12641  divalg2  12717  ndvdssub  12721  nndvdslegcd  12766  divgcdz  12772  divgcdnn  12776  gcdzeq  12823  eucalgf  12857  eucalginv  12858  lcmgcdlem  12879  qredeu  12899  cncongr1  12905  cncongr2  12906  divnumden  13000  divdenle  13001  phimullem  13031  hashgcdlem  13044  phisum  13047  prm23lt5  13070  pythagtriplem8  13079  pythagtriplem9  13080  pceu  13102  pccl  13106  pcdiv  13109  pcqcl  13113  pcdvds  13122  pcndvds  13124  pcndvds2  13126  pceq0  13129  pcz  13139  pcmpt  13150  fldivp1  13155  pcfac  13157  ennnfonelemjn  13350  mulgnn  13987  mulgnegnn  13993  znf1o  15094  znfi  15098  znhash  15099  znidomb  15101  znrrg  15103  dvexp2  15955  pellexlem1  16246  chtublem  16312  lgsval4a  16363  lgsabs1  16380  lgssq2  16382