Theorem nnne0 9012

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9011	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
2		eleq1 2256	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
3	1, 2	mtbiri 676	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	necon2ai 2418	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  0cc0 7874  ℕcn 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-cnv 4668  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-inn 8985

This theorem is referenced by:  nnne0d  9029  divfnzn  9689  qreccl  9710  fzo1fzo0n0  10253  expnnval  10616  expnegap0  10621  hashnncl  10869  ef0lem  11806  dvdsval3  11937  nndivdvds  11942  modmulconst  11969  dvdsdivcl  11995  divalg2  12070  ndvdssub  12074  nndvdslegcd  12105  divgcdz  12111  divgcdnn  12115  gcdzeq  12162  eucalgf  12196  eucalginv  12197  lcmgcdlem  12218  qredeu  12238  cncongr1  12244  cncongr2  12245  divnumden  12337  divdenle  12338  phimullem  12366  hashgcdlem  12379  phisum  12381  prm23lt5  12404  pythagtriplem8  12413  pythagtriplem9  12414  pceu  12436  pccl  12440  pcdiv  12443  pcqcl  12447  pcdvds  12456  pcndvds  12458  pcndvds2  12460  pceq0  12463  pcz  12473  pcmpt  12484  fldivp1  12489  pcfac  12491  ennnfonelemjn  12562  mulgnn  13199  mulgnegnn  13205  znf1o  14150  znfi  14154  znhash  14155  znidomb  14157  znrrg  14159  dvexp2  14891  lgsval4a  15179  lgsabs1  15196  lgssq2  15198