ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cosordlem GIF version

Theorem cosordlem 14132
Description: Cosine is decreasing over the closed interval from 0 to π. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cosord.1 (𝜑𝐴 ∈ (0[,]π))
cosord.2 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]π))
cosord.3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
cosordlem (𝜑 → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cosordlem
StepHypRef Expression
1 cosord.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]π))
2 0re 7953 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
3 pire 14069 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
42, 3elicc2i 9934 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵𝐵 ≤ π))
51, 4sylib 122 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵𝐵 ≤ π))
65simp1d 1009 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
76recnd 7981 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
8 cosord.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (0[,]π))
92, 3elicc2i 9934 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ π))
108, 9sylib 122 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ π))
1110simp1d 1009 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1211recnd 7981 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
13 subcos 11747 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) = (2 · ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵𝐴) / 2)))))
147, 12, 13syl2anc 411 . . 3 (𝜑 → ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) = (2 · ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵𝐴) / 2)))))
15 2rp 9653 . . . 4 2 ∈ ℝ+
166, 11readdcld 7982 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ)
1716rehalfcld 9160 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
1817resincld 11723 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
192a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2010simp2d 1010 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
21 cosord.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2219, 11, 6, 20, 21lelttrd 8077 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐵)
236, 11, 22, 20addgtge0d 8472 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (𝐵 + 𝐴))
24 2re 8984 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
25 2pos 9005 . . . . . . . . . 10 0 < 2
26 divgt0 8824 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 + 𝐴)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2))
2724, 25, 26mpanr12 439 . . . . . . . . 9 (((𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 + 𝐴)) → 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2))
2816, 23, 27syl2anc 411 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2))
293a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → π ∈ ℝ)
3011, 6, 6, 21ltadd2dd 8374 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) < (𝐵 + 𝐵))
3172timesd 9156 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
3230, 31breqtrrd 4030 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) < (2 · 𝐵))
3324a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3425a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 2)
35 ltdivmul 8828 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝐵 + 𝐴) / 2) < 𝐵 ↔ (𝐵 + 𝐴) < (2 · 𝐵)))
3616, 6, 33, 34, 35syl112anc 1242 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐴) / 2) < 𝐵 ↔ (𝐵 + 𝐴) < (2 · 𝐵)))
3732, 36mpbird 167 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) / 2) < 𝐵)
385simp3d 1011 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ≤ π)
3917, 6, 29, 37, 38ltletrd 8375 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) / 2) < π)
40 0xr 7999 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
413rexri 8010 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ*
42 elioo2 9916 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∧ ((𝐵 + 𝐴) / 2) < π)))
4340, 41, 42mp2an 426 . . . . . . . 8 (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∧ ((𝐵 + 𝐴) / 2) < π))
4417, 28, 39, 43syl3anbrc 1181 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π))
45 sinq12gt0 14113 . . . . . . 7 (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)))
4644, 45syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)))
4718, 46elrpd 9688 . . . . 5 (𝜑 → (sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
486, 11resubcld 8333 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
4948rehalfcld 9160 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 2) ∈ ℝ)
5049resincld 11723 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘((𝐵𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
5111, 6posdifd 8484 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
5221, 51mpbid 147 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
53 divgt0 8824 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝐴)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < ((𝐵𝐴) / 2))
5424, 25, 53mpanr12 439 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝐴)) → 0 < ((𝐵𝐴) / 2))
5548, 52, 54syl2anc 411 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((𝐵𝐴) / 2))
56 rehalfcl 9141 . . . . . . . . . 10 (π ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ)
573, 56mp1i 10 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (π / 2) ∈ ℝ)
586, 11subge02d 8489 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (𝐵𝐴) ≤ 𝐵))
5920, 58mpbid 147 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≤ 𝐵)
6048, 6, 29, 59, 38letrd 8076 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≤ π)
61 lediv1 8821 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐵𝐴) ≤ π ↔ ((𝐵𝐴) / 2) ≤ (π / 2)))
6248, 29, 33, 34, 61syl112anc 1242 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝐴) ≤ π ↔ ((𝐵𝐴) / 2) ≤ (π / 2)))
6360, 62mpbid 147 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 2) ≤ (π / 2))
64 pirp 14072 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ+
65 rphalflt 9678 . . . . . . . . . 10 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
6664, 65mp1i 10 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (π / 2) < π)
6749, 57, 29, 63, 66lelttrd 8077 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 2) < π)
68 elioo2 9916 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (((𝐵𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐵𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵𝐴) / 2) ∧ ((𝐵𝐴) / 2) < π)))
6940, 41, 68mp2an 426 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐵𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵𝐴) / 2) ∧ ((𝐵𝐴) / 2) < π))
7049, 55, 67, 69syl3anbrc 1181 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 2) ∈ (0(,)π))
71 sinq12gt0 14113 . . . . . . 7 (((𝐵𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘((𝐵𝐴) / 2)))
7270, 71syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (sin‘((𝐵𝐴) / 2)))
7350, 72elrpd 9688 . . . . 5 (𝜑 → (sin‘((𝐵𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
7447, 73rpmulcld 9708 . . . 4 (𝜑 → ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵𝐴) / 2))) ∈ ℝ+)
75 rpmulcl 9673 . . . 4 ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵𝐴) / 2))) ∈ ℝ+) → (2 · ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵𝐴) / 2)))) ∈ ℝ+)
7615, 74, 75sylancr 414 . . 3 (𝜑 → (2 · ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵𝐴) / 2)))) ∈ ℝ+)
7714, 76eqeltrd 2254 . 2 (𝜑 → ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) ∈ ℝ+)
786recoscld 11724 . . 3 (𝜑 → (cos‘𝐵) ∈ ℝ)
7911recoscld 11724 . . 3 (𝜑 → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
80 difrp 9687 . . 3 (((cos‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → ((cos‘𝐵) < (cos‘𝐴) ↔ ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) ∈ ℝ+))
8178, 79, 80syl2anc 411 . 2 (𝜑 → ((cos‘𝐵) < (cos‘𝐴) ↔ ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) ∈ ℝ+))
8277, 81mpbird 167 1 (𝜑 → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4002  cfv 5214  (class class class)co 5871  cc 7805  cr 7806  0cc0 7807   + caddc 7810   · cmul 7812  *cxr 7986   < clt 7987  cle 7988  cmin 8123   / cdiv 8624  2c2 8965  +crp 9648  (,)cioo 9883  [,]cicc 9886  sincsin 11644  cosccos 11645  πcpi 11647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-mulrcl 7906  ax-addcom 7907  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-mulass 7910  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-1rid 7914  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-precex 7917  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-apti 7922  ax-pre-ltadd 7923  ax-pre-mulgt0 7924  ax-pre-mulext 7925  ax-arch 7926  ax-caucvg 7927  ax-pre-suploc 7928  ax-addf 7929  ax-mulf 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-disj 3980  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-isom 5223  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-of 6079  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-recs 6302  df-irdg 6367  df-frec 6388  df-1o 6413  df-oadd 6417  df-er 6531  df-map 6646  df-pm 6647  df-en 6737  df-dom 6738  df-fin 6739  df-sup 6979  df-inf 6980  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-reap 8527  df-ap 8534  df-div 8625  df-inn 8915  df-2 8973  df-3 8974  df-4 8975  df-5 8976  df-6 8977  df-7 8978  df-8 8979  df-9 8980  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-q 9615  df-rp 9649  df-xneg 9767  df-xadd 9768  df-ioo 9887  df-ioc 9888  df-ico 9889  df-icc 9890  df-fz 10004  df-fzo 10137  df-seqfrec 10440  df-exp 10514  df-fac 10698  df-bc 10720  df-ihash 10748  df-shft 10816  df-cj 10843  df-re 10844  df-im 10845  df-rsqrt 10999  df-abs 11000  df-clim 11279  df-sumdc 11354  df-ef 11648  df-sin 11650  df-cos 11651  df-pi 11653  df-rest 12677  df-topgen 12696  df-psmet 13307  df-xmet 13308  df-met 13309  df-bl 13310  df-mopn 13311  df-top 13358  df-topon 13371  df-bases 13403  df-ntr 13458  df-cn 13550  df-cnp 13551  df-tx 13615  df-cncf 13920  df-limced 13987  df-dvap 13988
This theorem is referenced by:  cosq34lt1  14133  cos02pilt1  14134  cos0pilt1  14135  cos11  14136  ioocosf1o  14137
  Copyright terms: Public domain W3C validator