Theorem cosordlem 15714

Description: Cosine is decreasing over the closed interval from 0 to π. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cosord.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]π))
cosord.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]π))
cosord.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cosordlem	⊢ (𝜑 → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cosordlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosord.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]π))
2		0re 8274	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		pire 15651	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
4	2, 3	elicc2i 10272	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ π))
5	1, 4	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ π))
6	5	simp1d 1036	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	recnd 8302	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8		cosord.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]π))
9	2, 3	elicc2i 10272	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
10	8, 9	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
11	10	simp1d 1036	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	recnd 8302	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13		subcos 12433	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) = (2 · ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
14	7, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) = (2 · ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))))
15		2rp 9991	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
16	6, 11	readdcld 8303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ)
17	16	rehalfcld 9485	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
18	17	resincld 12409	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
19	2	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
20	10	simp2d 1037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
21		cosord.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
22	19, 11, 6, 20, 21	lelttrd 8398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
23	6, 11, 22, 20	addgtge0d 8794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 + 𝐴))
24		2re 9307	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
25		2pos 9328	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
26		divgt0 9146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 + 𝐴)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2))
27	24, 25, 26	mpanr12 439	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 + 𝐴)) → 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2))
28	16, 23, 27	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2))
29	3	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
30	11, 6, 6, 21	ltadd2dd 8696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) < (𝐵 + 𝐵))
31	7	2timesd 9481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
32	30, 31	breqtrrd 4137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) < (2 · 𝐵))
33	24	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
34	25	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
35		ltdivmul 9150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝐵 + 𝐴) / 2) < 𝐵 ↔ (𝐵 + 𝐴) < (2 · 𝐵)))
36	16, 6, 33, 34, 35	syl112anc 1278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐴) / 2) < 𝐵 ↔ (𝐵 + 𝐴) < (2 · 𝐵)))
37	32, 36	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) / 2) < 𝐵)
38	5	simp3d 1038	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ π)
39	17, 6, 29, 37, 38	ltletrd 8697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) / 2) < π)
40		0xr 8320	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
41	3	rexri 8331	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ*
42		elioo2 10254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∧ ((𝐵 + 𝐴) / 2) < π)))
43	40, 41, 42	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∧ ((𝐵 + 𝐴) / 2) < π))
44	17, 28, 39, 43	syl3anbrc 1208	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π))
45		sinq12gt0 15695	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)))
46	44, 45	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)))
47	18, 46	elrpd 10026	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
48	6, 11	resubcld 8654	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
49	48	rehalfcld 9485	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
50	49	resincld 12409	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
51	11, 6	posdifd 8806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
52	21, 51	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
53		divgt0 9146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2))
54	24, 25, 53	mpanr12 439	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)) → 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2))
55	48, 52, 54	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2))
56		rehalfcl 9465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ)
57	3, 56	mp1i 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (π / 2) ∈ ℝ)
58	6, 11	subge02d 8811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵))
59	20, 58	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵)
60	48, 6, 29, 59, 38	letrd 8397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≤ π)
61		lediv1 9143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐵 − 𝐴) ≤ π ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ≤ (π / 2)))
62	48, 29, 33, 34, 61	syl112anc 1278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) ≤ π ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ≤ (π / 2)))
63	60, 62	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ≤ (π / 2))
64		pirp 15654	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ+
65		rphalflt 10016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
66	64, 65	mp1i 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (π / 2) < π)
67	49, 57, 29, 63, 66	lelttrd 8398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / 2) < π)
68		elioo2 10254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) < π)))
69	40, 41, 68	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) < π))
70	49, 55, 67, 69	syl3anbrc 1208	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π))
71		sinq12gt0 15695	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))
73	50, 72	elrpd 10026	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
74	47, 73	rpmulcld 10046	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ+)
75		rpmulcl 10011	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ+) → (2 · ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))) ∈ ℝ+)
76	15, 74, 75	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)))) ∈ ℝ+)
77	14, 76	eqeltrd 2309	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) ∈ ℝ+)
78	6	recoscld 12410	. . 3 ⊢ (𝜑 → (cos‘𝐵) ∈ ℝ)
79	11	recoscld 12410	. . 3 ⊢ (𝜑 → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
80		difrp 10025	. . 3 ⊢ (((cos‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → ((cos‘𝐵) < (cos‘𝐴) ↔ ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) ∈ ℝ+))
81	78, 79, 80	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cos‘𝐵) < (cos‘𝐴) ↔ ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) ∈ ℝ+))
82	77, 81	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  ℝcr 8126  0cc0 8127   + caddc 8130   · cmul 8132  ℝ^*cxr 8307   < clt 8308   ≤ cle 8309   − cmin 8444   / cdiv 8946  2c2 9288  ℝ⁺crp 9986  (,)cioo 10221  [,]cicc 10224  sincsin 12330  cosccos 12331  πcpi 12333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247  ax-pre-suploc 8248  ax-addf 8249  ax-mulf 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-disj 4086  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-of 6266  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-oadd 6651  df-er 6767  df-map 6884  df-pm 6885  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-xneg 10105  df-xadd 10106  df-ioo 10225  df-ioc 10226  df-ico 10227  df-icc 10228  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-fac 11088  df-bc 11110  df-ihash 11139  df-shft 11500  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-clim 11964  df-sumdc 12039  df-ef 12334  df-sin 12336  df-cos 12337  df-pi 12339  df-rest 13454  df-topgen 13473  df-psmet 14691  df-xmet 14692  df-met 14693  df-bl 14694  df-mopn 14695  df-top 14863  df-topon 14876  df-bases 14908  df-ntr 14961  df-cn 15053  df-cnp 15054  df-tx 15118  df-cncf 15436  df-limced 15521  df-dvap 15522

This theorem is referenced by:  cosq34lt1  15715  cos02pilt1  15716  cos0pilt1  15717  cos11  15718  ioocosf1o  15719