Theorem basm 13397

Description: A structure whose base is inhabited is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
basm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
basm	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐺)

Distinct variable group:   𝑗,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)

Proof of Theorem basm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		basm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		baseid 13389	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4	2	basmex 13395	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)
5		basendxnn 13391	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Base‘ndx) ∈ ℕ)
7	3, 4, 6	strnfvnd 13355	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Base‘𝐺) = (𝐺‘(Base‘ndx)))
8	2, 7	eqtrid 2283	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐵 = (𝐺‘(Base‘ndx)))
9	1, 8	eleqtrd 2317	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (𝐺‘(Base‘ndx)))
10		elfvm 5726	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺‘(Base‘ndx)) → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐺)
11	9, 10	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ‘cfv 5375  ℕcn 9287  ndxcnx 13332  Basecbs 13335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-inn 9288  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341

This theorem is referenced by:  relelbasov  13399  mgpbas  14208  ringidval  14248  opprringb  14369  asclfval  15004