Theorem basm 13102

Description: A structure whose base is inhabited is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
basm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
basm	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐺)

Distinct variable group:   𝑗,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)

Proof of Theorem basm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		basm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		baseid 13094	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4	2	basmex 13100	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)
5		basendxnn 13096	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Base‘ndx) ∈ ℕ)
7	3, 4, 6	strnfvnd 13060	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Base‘𝐺) = (𝐺‘(Base‘ndx)))
8	2, 7	eqtrid 2274	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐵 = (𝐺‘(Base‘ndx)))
9	1, 8	eleqtrd 2308	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (𝐺‘(Base‘ndx)))
10		elfvm 5662	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺‘(Base‘ndx)) → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐺)
11	9, 10	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ‘cfv 5318  ℕcn 9118  ndxcnx 13037  Basecbs 13040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1re 8101  ax-addrcl 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-inn 9119  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046

This theorem is referenced by:  relelbasov  13103