Theorem basm 12679

Description: A structure whose base is inhabited is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
basm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
basm	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐺)

Distinct variable group:   𝑗,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)

Proof of Theorem basm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		basm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		baseid 12672	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4	2	basmex 12677	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)
5		basendxnn 12674	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Base‘ndx) ∈ ℕ)
7	3, 4, 6	strnfvnd 12638	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Base‘𝐺) = (𝐺‘(Base‘ndx)))
8	2, 7	eqtrid 2238	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐵 = (𝐺‘(Base‘ndx)))
9	1, 8	eleqtrd 2272	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (𝐺‘(Base‘ndx)))
10		elfvm 5587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺‘(Base‘ndx)) → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐺)
11	9, 10	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  ‘cfv 5254  ℕcn 8982  ndxcnx 12615  Basecbs 12618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-inn 8983  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624

This theorem is referenced by:  relelbasov  12680