Theorem grpsubval 13622

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubval.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
grpsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
3		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4	2, 3	basmexd 13136	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ V)
5		grpsubval.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		grpsubval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
7		grpsubval.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	1, 5, 6, 7	grpsubfvalg 13621	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → − = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + (𝐼‘𝑦))))
9	4, 8	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → − = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + (𝐼‘𝑦))))
10		oveq1 6020	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑦)))
11		fveq2 5635	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑌))
12	11	oveq2d 6029	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))
13	10, 12	sylan9eq 2282	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑥 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))
14	13	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑥 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))
15		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16		plusgslid 13188	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
17	16	slotex 13102	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (+g‘𝐺) ∈ V)
18	4, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (+g‘𝐺) ∈ V)
19	5, 18	eqeltrid 2316	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → + ∈ V)
20		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
21	1, 5, 20, 6	grpinvfvalg 13618	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐼 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑧) = (0g‘𝐺))))
22	4, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐼 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑧) = (0g‘𝐺))))
23		basfn 13134	. . . . . . . 8 ⊢ Base Fn V
24		funfvex 5652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝐺 ∈ dom Base) → (Base‘𝐺) ∈ V)
25	24	funfni 5429	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝐺 ∈ V) → (Base‘𝐺) ∈ V)
26	23, 4, 25	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (Base‘𝐺) ∈ V)
27	1, 26	eqeltrid 2316	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
28	27	mptexd 5876	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑧) = (0g‘𝐺))) ∈ V)
29	22, 28	eqeltrd 2306	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ V)
30		fvexg 5654	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑌) ∈ V)
31	29, 30	sylancom 420	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑌) ∈ V)
32		ovexg 6047	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ + ∈ V ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ V) → (𝑋 + (𝐼‘𝑌)) ∈ V)
33	3, 19, 31, 32	syl3anc 1271	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝐼‘𝑌)) ∈ V)
34	9, 14, 3, 15, 33	ovmpod 6144	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   ↦ cmpt 4148   Fn wfn 5319  ‘cfv 5324  ℩crio 5965  (class class class)co 6013   ∈ cmpo 6015  Basecbs 13075  +_gcplusg 13153  0_gc0g 13332  inv_gcminusg 13577  -_gcsg 13578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1re 8119  ax-addrcl 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-inn 9137  df-2 9195  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-plusg 13166  df-minusg 13580  df-sbg 13581

This theorem is referenced by:  grpsubinv  13649  grpsubrcan  13657  grpinvsub  13658  grpinvval2  13659  grpsubid  13660  grpsubid1  13661  grpsubeq0  13662  grpsubadd0sub  13663  grpsubadd  13664  grpsubsub  13665  grpaddsubass  13666  grpnpcan  13668  pwssub  13689  mulgsubdir  13742  subgsubcl  13765  subgsub  13766  issubg4m  13773  qussub  13817  ghmsub  13831  ablsub2inv  13891  ablsub4  13893  ablsubsub4  13899  eqgabl  13910  rngsubdi  13957  rngsubdir  13958  ringsubdi  14062  ringsubdir  14063  lmodvsubval2  14349  lmodsubdir  14352  cnfldsub  14582