Theorem grpsubval 13834

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubval.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
grpsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
3		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4	2, 3	basmexd 13396	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ V)
5		grpsubval.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		grpsubval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
7		grpsubval.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	1, 5, 6, 7	grpsubfvalg 13833	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → − = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + (𝐼‘𝑦))))
9	4, 8	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → − = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + (𝐼‘𝑦))))
10		oveq1 6086	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑦)))
11		fveq2 5693	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑌))
12	11	oveq2d 6095	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))
13	10, 12	sylan9eq 2291	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑥 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))
14	13	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑥 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))
15		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16		plusgslid 13449	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
17	16	slotex 13362	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (+g‘𝐺) ∈ V)
18	4, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (+g‘𝐺) ∈ V)
19	5, 18	eqeltrid 2325	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → + ∈ V)
20		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
21	1, 5, 20, 6	grpinvfvalg 13830	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐼 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑧) = (0g‘𝐺))))
22	4, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐼 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑧) = (0g‘𝐺))))
23		basfn 13394	. . . . . . . 8 ⊢ Base Fn V
24		funfvex 5710	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝐺 ∈ dom Base) → (Base‘𝐺) ∈ V)
25	24	funfni 5481	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝐺 ∈ V) → (Base‘𝐺) ∈ V)
26	23, 4, 25	sylancr 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (Base‘𝐺) ∈ V)
27	1, 26	eqeltrid 2325	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
28	27	mptexd 5938	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑧) = (0g‘𝐺))) ∈ V)
29	22, 28	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ V)
30		fvexg 5712	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑌) ∈ V)
31	29, 30	sylancom 424	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑌) ∈ V)
32		ovexg 6113	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ + ∈ V ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ V) → (𝑋 + (𝐼‘𝑌)) ∈ V)
33	3, 19, 31, 32	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝐼‘𝑌)) ∈ V)
34	9, 14, 3, 15, 33	ovmpod 6210	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ↦ cmpt 4190   Fn wfn 5370  ‘cfv 5375  ℩crio 6031  (class class class)co 6079   ∈ cmpo 6081  Basecbs 13335  +_gcplusg 13414  0_gc0g 13593  inv_gcminusg 13789  -_gcsg 13790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-inn 9288  df-2 9346  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-minusg 13792  df-sbg 13793

This theorem is referenced by:  grpsubinv  13861  grpsubrcan  13869  grpinvsub  13870  grpinvval2  13871  grpsubid  13872  grpsubid1  13873  grpsubeq0  13874  grpsubadd0sub  13875  grpsubadd  13876  grpsubsub  13877  grpaddsubass  13878  grpnpcan  13880  mulgsubdir  13948  subgsubcl  13971  subgsub  13972  issubg4m  13979  qussub  14023  ghmsub  14037  ablsub2inv  14098  ablsub4  14100  ablsubsub4  14106  eqgabl  14117  pwssub  14199  rngsubdi  14233  rngsubdir  14234  ringsubdi  14344  ringsubdir  14345  opprdrng  14603  lmodvsubval2  14662  lmodsubdir  14665  cnfldsub  14895