ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  grpsubval GIF version

Theorem grpsubval 12796
Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubval.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubval.p + = (+g𝐺)
grpsubval.i 𝐼 = (invg𝐺)
grpsubval.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpsubval ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋 + (𝐼𝑌)))

Proof of Theorem grpsubval
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpsubval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
21a1i 9 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
3 simpl 109 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
42, 3basmexd 12491 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ V)
5 grpsubval.p . . . 4 + = (+g𝐺)
6 grpsubval.i . . . 4 𝐼 = (invg𝐺)
7 grpsubval.m . . . 4 = (-g𝐺)
81, 5, 6, 7grpsubfvalg 12795 . . 3 (𝐺 ∈ V → = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 + (𝐼𝑦))))
94, 8syl 14 . 2 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 + (𝐼𝑦))))
10 oveq1 5875 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝐼𝑦)) = (𝑋 + (𝐼𝑦)))
11 fveq2 5510 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → (𝐼𝑦) = (𝐼𝑌))
1211oveq2d 5884 . . . 4 (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + (𝐼𝑦)) = (𝑋 + (𝐼𝑌)))
1310, 12sylan9eq 2230 . . 3 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → (𝑥 + (𝐼𝑦)) = (𝑋 + (𝐼𝑌)))
1413adantl 277 . 2 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → (𝑥 + (𝐼𝑦)) = (𝑋 + (𝐼𝑌)))
15 simpr 110 . 2 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
16 plusgslid 12538 . . . . . 6 (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
1716slotex 12459 . . . . 5 (𝐺 ∈ V → (+g𝐺) ∈ V)
184, 17syl 14 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (+g𝐺) ∈ V)
195, 18eqeltrid 2264 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → + ∈ V)
20 eqid 2177 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
211, 5, 20, 6grpinvfvalg 12792 . . . . . 6 (𝐺 ∈ V → 𝐼 = (𝑧𝐵 ↦ (𝑤𝐵 (𝑤 + 𝑧) = (0g𝐺))))
224, 21syl 14 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐼 = (𝑧𝐵 ↦ (𝑤𝐵 (𝑤 + 𝑧) = (0g𝐺))))
23 basfn 12489 . . . . . . . 8 Base Fn V
24 funfvex 5527 . . . . . . . . 9 ((Fun Base ∧ 𝐺 ∈ dom Base) → (Base‘𝐺) ∈ V)
2524funfni 5311 . . . . . . . 8 ((Base Fn V ∧ 𝐺 ∈ V) → (Base‘𝐺) ∈ V)
2623, 4, 25sylancr 414 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (Base‘𝐺) ∈ V)
271, 26eqeltrid 2264 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐵 ∈ V)
2827mptexd 5738 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑧𝐵 ↦ (𝑤𝐵 (𝑤 + 𝑧) = (0g𝐺))) ∈ V)
2922, 28eqeltrd 2254 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐼 ∈ V)
30 fvexg 5529 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑌𝐵) → (𝐼𝑌) ∈ V)
3129, 30sylancom 420 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐼𝑌) ∈ V)
32 ovexg 5902 . . 3 ((𝑋𝐵+ ∈ V ∧ (𝐼𝑌) ∈ V) → (𝑋 + (𝐼𝑌)) ∈ V)
333, 19, 31, 32syl3anc 1238 . 2 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + (𝐼𝑌)) ∈ V)
349, 14, 3, 15, 33ovmpod 5995 1 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋 + (𝐼𝑌)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  cmpt 4061   Fn wfn 5206  cfv 5211  crio 5823  (class class class)co 5868  cmpo 5870  Basecbs 12432  +gcplusg 12505  0gc0g 12640  invgcminusg 12755  -gcsg 12756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1re 7883  ax-addrcl 7886
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-inn 8896  df-2 8954  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-minusg 12758  df-sbg 12759
This theorem is referenced by:  grpsubinv  12819  grpsubrcan  12827  grpinvsub  12828  grpinvval2  12829  grpsubid  12830  grpsubid1  12831  grpsubeq0  12832  grpsubadd0sub  12833  grpsubadd  12834  grpsubsub  12835  grpaddsubass  12836  grpnpcan  12838  mulgsubdir  12898  ablsub2inv  12928  ablsub4  12930  ablsubsub4  12936  ringsubdi  13046  rngsubdir  13047
  Copyright terms: Public domain W3C validator