Theorem grpsubval 13780

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubval.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
grpsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
3		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4	2, 3	basmexd 13294	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ V)
5		grpsubval.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		grpsubval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
7		grpsubval.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	1, 5, 6, 7	grpsubfvalg 13779	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → − = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + (𝐼‘𝑦))))
9	4, 8	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → − = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 + (𝐼‘𝑦))))
10		oveq1 6059	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑦)))
11		fveq2 5672	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑌))
12	11	oveq2d 6068	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))
13	10, 12	sylan9eq 2287	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑥 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))
14	13	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑥 + (𝐼‘𝑦)) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))
15		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16		plusgslid 13346	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
17	16	slotex 13260	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (+g‘𝐺) ∈ V)
18	4, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (+g‘𝐺) ∈ V)
19	5, 18	eqeltrid 2321	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → + ∈ V)
20		eqid 2234	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
21	1, 5, 20, 6	grpinvfvalg 13776	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐼 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑧) = (0g‘𝐺))))
22	4, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐼 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑧) = (0g‘𝐺))))
23		basfn 13292	. . . . . . . 8 ⊢ Base Fn V
24		funfvex 5689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝐺 ∈ dom Base) → (Base‘𝐺) ∈ V)
25	24	funfni 5460	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝐺 ∈ V) → (Base‘𝐺) ∈ V)
26	23, 4, 25	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (Base‘𝐺) ∈ V)
27	1, 26	eqeltrid 2321	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
28	27	mptexd 5915	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤 + 𝑧) = (0g‘𝐺))) ∈ V)
29	22, 28	eqeltrd 2311	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ V)
30		fvexg 5691	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑌) ∈ V)
31	29, 30	sylancom 420	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑌) ∈ V)
32		ovexg 6086	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ + ∈ V ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ V) → (𝑋 + (𝐼‘𝑌)) ∈ V)
33	3, 19, 31, 32	syl3anc 1274	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝐼‘𝑌)) ∈ V)
34	9, 14, 3, 15, 33	ovmpod 6183	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + (𝐼‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ↦ cmpt 4173   Fn wfn 5349  ‘cfv 5354  ℩crio 6004  (class class class)co 6052   ∈ cmpo 6054  Basecbs 13233  +_gcplusg 13311  0_gc0g 13490  inv_gcminusg 13735  -_gcsg 13736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1re 8226  ax-addrcl 8229

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-inn 9243  df-2 9301  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-plusg 13324  df-minusg 13738  df-sbg 13739

This theorem is referenced by:  grpsubinv  13807  grpsubrcan  13815  grpinvsub  13816  grpinvval2  13817  grpsubid  13818  grpsubid1  13819  grpsubeq0  13820  grpsubadd0sub  13821  grpsubadd  13822  grpsubsub  13823  grpaddsubass  13824  grpnpcan  13826  pwssub  13847  mulgsubdir  13900  subgsubcl  13923  subgsub  13924  issubg4m  13931  qussub  13975  ghmsub  13989  ablsub2inv  14049  ablsub4  14051  ablsubsub4  14057  eqgabl  14068  rngsubdi  14116  rngsubdir  14117  ringsubdi  14221  ringsubdir  14222  opprdrng  14480  lmodvsubval2  14539  lmodsubdir  14542  cnfldsub  14772