ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  grpsubval GIF version
Theorem grpsubval 12924
Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubval.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
grpsubval.p + = (+gβ€˜πΊ)
grpsubval.i 𝐼 = (invgβ€˜πΊ)
grpsubval.m βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
grpsubval ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋 + (πΌβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem grpsubval
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpsubval.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
21a1i 9 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ))
3 simpl 109 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
42, 3basmexd 12524 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ V)
5 grpsubval.p . . . 4 + = (+gβ€˜πΊ)
6 grpsubval.i . . . 4 𝐼 = (invgβ€˜πΊ)
7 grpsubval.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
81, 5, 6, 7grpsubfvalg 12923 . . 3 (𝐺 ∈ V β†’ βˆ’ = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ + (πΌβ€˜π‘¦))))
94, 8syl 14 . 2 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βˆ’ = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ + (πΌβ€˜π‘¦))))
10 oveq1 5884 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ + (πΌβ€˜π‘¦)) = (𝑋 + (πΌβ€˜π‘¦)))
11 fveq2 5517 . . . . 5 (𝑦 = π‘Œ β†’ (πΌβ€˜π‘¦) = (πΌβ€˜π‘Œ))
1211oveq2d 5893 . . . 4 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑋 + (πΌβ€˜π‘¦)) = (𝑋 + (πΌβ€˜π‘Œ)))
1310, 12sylan9eq 2230 . . 3 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ (π‘₯ + (πΌβ€˜π‘¦)) = (𝑋 + (πΌβ€˜π‘Œ)))
1413adantl 277 . 2 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ (π‘₯ + (πΌβ€˜π‘¦)) = (𝑋 + (πΌβ€˜π‘Œ)))
15 simpr 110 . 2 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
16 plusgslid 12573 . . . . . 6 (+g = Slot (+gβ€˜ndx) ∧ (+gβ€˜ndx) ∈ β„•)
1716slotex 12491 . . . . 5 (𝐺 ∈ V β†’ (+gβ€˜πΊ) ∈ V)
184, 17syl 14 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (+gβ€˜πΊ) ∈ V)
195, 18eqeltrid 2264 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ + ∈ V)
20 eqid 2177 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
211, 5, 20, 6grpinvfvalg 12920 . . . . . 6 (𝐺 ∈ V β†’ 𝐼 = (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ (℩𝑀 ∈ 𝐡 (𝑀 + 𝑧) = (0gβ€˜πΊ))))
224, 21syl 14 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 = (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ (℩𝑀 ∈ 𝐡 (𝑀 + 𝑧) = (0gβ€˜πΊ))))
23 basfn 12522 . . . . . . . 8 Base Fn V
24 funfvex 5534 . . . . . . . . 9 ((Fun Base ∧ 𝐺 ∈ dom Base) β†’ (Baseβ€˜πΊ) ∈ V)
2524funfni 5318 . . . . . . . 8 ((Base Fn V ∧ 𝐺 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜πΊ) ∈ V)
2623, 4, 25sylancr 414 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜πΊ) ∈ V)
271, 26eqeltrid 2264 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ V)
2827mptexd 5745 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ (℩𝑀 ∈ 𝐡 (𝑀 + 𝑧) = (0gβ€˜πΊ))) ∈ V)
2922, 28eqeltrd 2254 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ V)
30 fvexg 5536 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ V)
3129, 30sylancom 420 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ V)
32 ovexg 5911 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ + ∈ V ∧ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ V) β†’ (𝑋 + (πΌβ€˜π‘Œ)) ∈ V)
333, 19, 31, 32syl3anc 1238 . 2 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + (πΌβ€˜π‘Œ)) ∈ V)
349, 14, 3, 15, 33ovmpod 6004 1 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋 + (πΌβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   ↦ cmpt 4066   Fn wfn 5213  β€˜cfv 5218  β„©crio 5832  (class class class)co 5877   ∈ cmpo 5879  Basecbs 12464  +gcplusg 12538  0gc0g 12710  invgcminusg 12883  -gcsg 12884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-minusg 12886  df-sbg 12887
This theorem is referenced by:  grpsubinv  12948  grpsubrcan  12956  grpinvsub  12957  grpinvval2  12958  grpsubid  12959  grpsubid1  12960  grpsubeq0  12961  grpsubadd0sub  12962  grpsubadd  12963  grpsubsub  12964  grpaddsubass  12965  grpnpcan  12967  mulgsubdir  13028  subgsubcl  13050  subgsub  13051  issubg4m  13058  ablsub2inv  13119  ablsub4  13121  ablsubsub4  13127  ringsubdi  13238  ringsubdir  13239  lmodvsubval2  13437  lmodsubdir  13440  cnfldsub  13554
  Copyright terms: Public domain W3C validator