Theorem ofc12 6194

Description: Function operation on two constant functions. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofc12.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ofc12.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
ofc12.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ofc12	⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 𝑅(𝐴 × {𝐶})) = (𝐴 × {(𝐵𝑅𝐶)}))

Proof of Theorem ofc12

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofc12.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		ofc12.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
4		ofc12.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑋)
6		fconstmpt 4729	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
8		fconstmpt 4729	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {𝐶}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝐶}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
10	1, 3, 5, 7, 9	offval2 6186	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 𝑅(𝐴 × {𝐶})) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))
11		fconstmpt 4729	. 2 ⊢ (𝐴 × {(𝐵𝑅𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶))
12	10, 11	eqtr4di 2257	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 𝑅(𝐴 × {𝐶})) = (𝐴 × {(𝐵𝑅𝐶)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {csn 3637   ↦ cmpt 4112   × cxp 4680  (class class class)co 5956   ∘_𝑓 cof 6168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-setind 4592

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-of 6170

This theorem is referenced by: (None)