Theorem ofc12 6155

Description: Function operation on two constant functions. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofc12.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ofc12.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
ofc12.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ofc12	⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 𝑅(𝐴 × {𝐶})) = (𝐴 × {(𝐵𝑅𝐶)}))

Proof of Theorem ofc12

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofc12.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		ofc12.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
4		ofc12.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑋)
6		fconstmpt 4707	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
8		fconstmpt 4707	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {𝐶}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝐶}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
10	1, 3, 5, 7, 9	offval2 6148	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 𝑅(𝐴 × {𝐶})) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))
11		fconstmpt 4707	. 2 ⊢ (𝐴 × {(𝐵𝑅𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶))
12	10, 11	eqtr4di 2244	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 𝑅(𝐴 × {𝐶})) = (𝐴 × {(𝐵𝑅𝐶)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {csn 3619   ↦ cmpt 4091   × cxp 4658  (class class class)co 5919   ∘_𝑓 cof 6130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-of 6132

This theorem is referenced by: (None)