Theorem ofc12 6105

Description: Function operation on two constant functions. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofc12.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ofc12.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
ofc12.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ofc12	⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 𝑅(𝐴 × {𝐶})) = (𝐴 × {(𝐵𝑅𝐶)}))

Proof of Theorem ofc12

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofc12.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		ofc12.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
4		ofc12.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑋)
6		fconstmpt 4675	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
8		fconstmpt 4675	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {𝐶}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝐶}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
10	1, 3, 5, 7, 9	offval2 6100	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 𝑅(𝐴 × {𝐶})) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶)))
11		fconstmpt 4675	. 2 ⊢ (𝐴 × {(𝐵𝑅𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝑅𝐶))
12	10, 11	eqtr4di 2228	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 𝑅(𝐴 × {𝐶})) = (𝐴 × {(𝐵𝑅𝐶)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {csn 3594   ↦ cmpt 4066   × cxp 4626  (class class class)co 5877   ∘_𝑓 cof 6083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-of 6085

This theorem is referenced by: (None)