ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  telfsumo GIF version

Theorem telfsumo 10860
Description: Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
telfsumo.1 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝐵)
telfsumo.2 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telfsumo.3 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷)
telfsumo.4 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐸)
telfsumo.5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
telfsumo.6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
telfsumo (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (𝐷𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)

Proof of Theorem telfsumo
StepHypRef Expression
1 telfsumo.3 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷)
21eleq1d 2156 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
3 telfsumo.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
43ralrimiva 2446 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
5 telfsumo.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6 eluzfz1 9445 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
75, 6syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
82, 4, 7rspcdva 2727 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
98adantr 270 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → 𝐷 ∈ ℂ)
109subidd 7781 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝐷𝐷) = 0)
11 sum0 10780 . . . 4 Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵𝐶) = 0
1210, 11syl6reqr 2139 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵𝐶) = (𝐷𝐷))
13 oveq2 5660 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
1413adantl 271 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
15 fzo0 9579 . . . . 5 (𝑀..^𝑀) = ∅
1614, 15syl6eq 2136 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
1716sumeq1d 10755 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵𝐶))
18 eqeq1 2094 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 = 𝑀𝑁 = 𝑀))
19 telfsumo.4 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐸)
2019eqeq1d 2096 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 = 𝐷𝐸 = 𝐷))
2118, 20imbi12d 232 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷) ↔ (𝑁 = 𝑀𝐸 = 𝐷)))
2221, 1vtoclg 2679 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝐸 = 𝐷))
2322imp 122 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝐸 = 𝐷)
245, 23sylan 277 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → 𝐸 = 𝐷)
2524oveq2d 5668 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝐷𝐸) = (𝐷𝐷))
2612, 17, 253eqtr4d 2130 . 2 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (𝐷𝐸))
27 eluzel2 9024 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
285, 27syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
29 eluzelz 9028 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
305, 29syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
31 fzofig 9839 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
3228, 30, 31syl2anc 403 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
33 telfsumo.1 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝐵)
3433eleq1d 2156 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
354adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
36 elfzofz 9573 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
3736adantl 271 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
3834, 35, 37rspcdva 2727 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
39 telfsumo.2 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
4039eleq1d 2156 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
41 fzofzp1 9638 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
4241adantl 271 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
4340, 35, 42rspcdva 2727 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
4432, 38, 43fsumsub 10846 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶))
4544adantr 270 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶))
4633cbvsumv 10750 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵
47 eluzp1m1 9042 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
4828, 47sylan 277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
4930adantr 270 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
50 fzoval 9559 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
5149, 50syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
52 fzossfz 9576 . . . . . . . . . 10 (𝑀..^𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁)
5351, 52syl6eqssr 3077 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
5453sselda 3025 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
553adantlr 461 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5654, 55syldan 276 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
5748, 56, 1fsum1p 10812 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴))
5851sumeq1d 10755 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴)
59 fzoval 9559 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
6049, 59syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
6160sumeq1d 10755 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴)
6261oveq2d 5668 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴))
6357, 58, 623eqtr4d 2130 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
6446, 63syl5eqr 2134 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
65 simpr 108 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
66 fzp1ss 9487 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
6728, 66syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
6867sselda 3025 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
6968, 3syldan 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7069adantlr 461 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7165, 70, 19fsumm1 10810 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸))
72 1zzd 8777 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7328peano2zd 8871 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
7472, 73, 30, 69, 39fsumshftm 10839 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))𝐶)
7528zcnd 8869 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
76 ax-1cn 7438 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
77 pncan 7688 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
7875, 76, 77sylancl 404 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
7978oveq1d 5667 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
8030, 50syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
8179, 80eqtr4d 2123 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
8281sumeq1d 10755 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))𝐶 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
8374, 82eqtrd 2120 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
8483adantr 270 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
8530, 59syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
8685sumeq1d 10755 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴)
8786oveq1d 5667 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 + 𝐸) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸))
88 fzofig 9839 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin)
8973, 30, 88syl2anc 403 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin)
90 elfzofz 9573 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
9190, 69sylan2 280 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9289, 91fsumcl 10794 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
9319eleq1d 2156 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
94 eluzfz2 9446 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
955, 94syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
9693, 4, 95rspcdva 2727 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
9792, 96addcomd 7633 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
9887, 97eqtr3d 2122 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
9998adantr 270 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
10071, 84, 993eqtr3d 2128 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶 = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
10164, 100oveq12d 5670 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶) = ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)))
1028, 96, 92pnpcan2d 7831 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)) = (𝐷𝐸))
103102adantr 270 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)) = (𝐷𝐸))
10445, 101, 1033eqtrd 2124 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (𝐷𝐸))
105 uzp1 9052 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
1065, 105syl 14 . 2 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
10726, 104, 106mpjaodan 747 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (𝐷𝐸))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wo 664   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  wss 2999  c0 3286  cfv 5015  (class class class)co 5652  Fincfn 6457  cc 7348  0cc0 7350  1c1 7351   + caddc 7353  cmin 7653  cz 8750  cuz 9019  ...cfz 9424  ..^cfzo 9553  Σcsu 10742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464  ax-caucvg 7465
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6292  df-en 6458  df-dom 6459  df-fin 6460  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-q 9105  df-rp 9135  df-fz 9425  df-fzo 9554  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-ihash 10184  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432  df-clim 10667  df-isum 10743
This theorem is referenced by:  telfsumo2  10861  telfsum  10862  geosergap  10900
  Copyright terms: Public domain W3C validator