ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  telfsumo GIF version

Theorem telfsumo 11477
Description: Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
telfsumo.1 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝐵)
telfsumo.2 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telfsumo.3 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷)
telfsumo.4 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐸)
telfsumo.5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
telfsumo.6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
telfsumo (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (𝐷𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)

Proof of Theorem telfsumo
StepHypRef Expression
1 sum0 11399 . . . 4 Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵𝐶) = 0
2 telfsumo.3 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷)
32eleq1d 2246 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
4 telfsumo.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
54ralrimiva 2550 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
6 telfsumo.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
7 eluzfz1 10034 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
86, 7syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
93, 5, 8rspcdva 2848 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
109adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → 𝐷 ∈ ℂ)
1110subidd 8259 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝐷𝐷) = 0)
121, 11eqtr4id 2229 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵𝐶) = (𝐷𝐷))
13 oveq2 5886 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
1413adantl 277 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
15 fzo0 10171 . . . . 5 (𝑀..^𝑀) = ∅
1614, 15eqtrdi 2226 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
1716sumeq1d 11377 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵𝐶))
18 eqeq1 2184 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 = 𝑀𝑁 = 𝑀))
19 telfsumo.4 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐸)
2019eqeq1d 2186 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 = 𝐷𝐸 = 𝐷))
2118, 20imbi12d 234 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷) ↔ (𝑁 = 𝑀𝐸 = 𝐷)))
2221, 2vtoclg 2799 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝐸 = 𝐷))
2322imp 124 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝐸 = 𝐷)
246, 23sylan 283 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → 𝐸 = 𝐷)
2524oveq2d 5894 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝐷𝐸) = (𝐷𝐷))
2612, 17, 253eqtr4d 2220 . 2 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (𝐷𝐸))
27 eluzel2 9536 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
286, 27syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
29 eluzelz 9540 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
306, 29syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
31 fzofig 10435 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
3228, 30, 31syl2anc 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
33 telfsumo.1 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝐵)
3433eleq1d 2246 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
355adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
36 elfzofz 10165 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
3736adantl 277 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
3834, 35, 37rspcdva 2848 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
39 telfsumo.2 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
4039eleq1d 2246 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
41 fzofzp1 10230 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
4241adantl 277 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
4340, 35, 42rspcdva 2848 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
4432, 38, 43fsumsub 11463 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶))
4544adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶))
4633cbvsumv 11372 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵
47 eluzp1m1 9554 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
4828, 47sylan 283 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
4930adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
50 fzoval 10151 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
5149, 50syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
52 fzossfz 10168 . . . . . . . . . 10 (𝑀..^𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁)
5351, 52eqsstrrdi 3210 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
5453sselda 3157 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
554adantlr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5654, 55syldan 282 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
5748, 56, 2fsum1p 11429 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴))
5851sumeq1d 11377 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴)
59 fzoval 10151 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
6049, 59syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
6160sumeq1d 11377 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴)
6261oveq2d 5894 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴))
6357, 58, 623eqtr4d 2220 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
6446, 63eqtr3id 2224 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
65 simpr 110 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
66 fzp1ss 10076 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
6728, 66syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
6867sselda 3157 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
6968, 4syldan 282 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7069adantlr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7165, 70, 19fsumm1 11427 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸))
72 1zzd 9283 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7328peano2zd 9381 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
7472, 73, 30, 69, 39fsumshftm 11456 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))𝐶)
7528zcnd 9379 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
76 ax-1cn 7907 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
77 pncan 8166 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
7875, 76, 77sylancl 413 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
7978oveq1d 5893 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
8030, 50syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
8179, 80eqtr4d 2213 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
8281sumeq1d 11377 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))𝐶 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
8374, 82eqtrd 2210 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
8483adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
8530, 59syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
8685sumeq1d 11377 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴)
8786oveq1d 5893 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 + 𝐸) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸))
88 fzofig 10435 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin)
8973, 30, 88syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin)
90 elfzofz 10165 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
9190, 69sylan2 286 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9289, 91fsumcl 11411 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
9319eleq1d 2246 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
94 eluzfz2 10035 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
956, 94syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
9693, 5, 95rspcdva 2848 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
9792, 96addcomd 8111 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
9887, 97eqtr3d 2212 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
9998adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
10071, 84, 993eqtr3d 2218 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶 = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
10164, 100oveq12d 5896 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶) = ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)))
1029, 96, 92pnpcan2d 8309 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)) = (𝐷𝐸))
103102adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)) = (𝐷𝐸))
10445, 101, 1033eqtrd 2214 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (𝐷𝐸))
105 uzp1 9564 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
1066, 105syl 14 . 2 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
10726, 104, 106mpjaodan 798 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (𝐷𝐸))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wss 3131  c0 3424  cfv 5218  (class class class)co 5878  Fincfn 6743  cc 7812  0cc0 7814  1c1 7815   + caddc 7817  cmin 8131  cz 9256  cuz 9531  ...cfz 10011  ..^cfzo 10145  Σcsu 11364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-ihash 10759  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-sumdc 11365
This theorem is referenced by:  telfsumo2  11478  telfsum  11479  geosergap  11517
  Copyright terms: Public domain W3C validator