Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  telfsumo GIF version

Theorem telfsumo 11340
 Description: Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
telfsumo.1 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝐵)
telfsumo.2 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telfsumo.3 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷)
telfsumo.4 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐸)
telfsumo.5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
telfsumo.6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
telfsumo (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (𝐷𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)

Proof of Theorem telfsumo
StepHypRef Expression
1 sum0 11262 . . . 4 Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵𝐶) = 0
2 telfsumo.3 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷)
32eleq1d 2223 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
4 telfsumo.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
54ralrimiva 2527 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
6 telfsumo.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
7 eluzfz1 9911 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
86, 7syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
93, 5, 8rspcdva 2818 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
109adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → 𝐷 ∈ ℂ)
1110subidd 8153 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝐷𝐷) = 0)
121, 11eqtr4id 2206 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵𝐶) = (𝐷𝐷))
13 oveq2 5822 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
1413adantl 275 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
15 fzo0 10045 . . . . 5 (𝑀..^𝑀) = ∅
1614, 15eqtrdi 2203 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
1716sumeq1d 11240 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵𝐶))
18 eqeq1 2161 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 = 𝑀𝑁 = 𝑀))
19 telfsumo.4 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐸)
2019eqeq1d 2163 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 = 𝐷𝐸 = 𝐷))
2118, 20imbi12d 233 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷) ↔ (𝑁 = 𝑀𝐸 = 𝐷)))
2221, 2vtoclg 2769 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝐸 = 𝐷))
2322imp 123 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝐸 = 𝐷)
246, 23sylan 281 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → 𝐸 = 𝐷)
2524oveq2d 5830 . . 3 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → (𝐷𝐸) = (𝐷𝐷))
2612, 17, 253eqtr4d 2197 . 2 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (𝐷𝐸))
27 eluzel2 9423 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
286, 27syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
29 eluzelz 9427 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
306, 29syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
31 fzofig 10309 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
3228, 30, 31syl2anc 409 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
33 telfsumo.1 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝐵)
3433eleq1d 2223 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
355adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
36 elfzofz 10039 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
3736adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
3834, 35, 37rspcdva 2818 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
39 telfsumo.2 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
4039eleq1d 2223 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
41 fzofzp1 10104 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
4241adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
4340, 35, 42rspcdva 2818 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
4432, 38, 43fsumsub 11326 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶))
4544adantr 274 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶))
4633cbvsumv 11235 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵
47 eluzp1m1 9441 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
4828, 47sylan 281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
4930adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
50 fzoval 10025 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
5149, 50syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
52 fzossfz 10042 . . . . . . . . . 10 (𝑀..^𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁)
5351, 52eqsstrrdi 3177 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
5453sselda 3124 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
554adantlr 469 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5654, 55syldan 280 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
5748, 56, 2fsum1p 11292 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴))
5851sumeq1d 11240 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴)
59 fzoval 10025 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
6049, 59syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
6160sumeq1d 11240 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴)
6261oveq2d 5830 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴))
6357, 58, 623eqtr4d 2197 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
6446, 63syl5eqr 2201 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
65 simpr 109 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
66 fzp1ss 9953 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
6728, 66syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
6867sselda 3124 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
6968, 4syldan 280 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7069adantlr 469 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7165, 70, 19fsumm1 11290 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸))
72 1zzd 9173 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7328peano2zd 9268 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
7472, 73, 30, 69, 39fsumshftm 11319 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))𝐶)
7528zcnd 9266 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
76 ax-1cn 7804 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
77 pncan 8060 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
7875, 76, 77sylancl 410 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
7978oveq1d 5829 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
8030, 50syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
8179, 80eqtr4d 2190 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
8281sumeq1d 11240 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))𝐶 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
8374, 82eqtrd 2187 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
8483adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
8530, 59syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
8685sumeq1d 11240 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴)
8786oveq1d 5829 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 + 𝐸) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸))
88 fzofig 10309 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin)
8973, 30, 88syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin)
90 elfzofz 10039 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
9190, 69sylan2 284 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9289, 91fsumcl 11274 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
9319eleq1d 2223 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
94 eluzfz2 9912 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
956, 94syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
9693, 5, 95rspcdva 2818 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
9792, 96addcomd 8005 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
9887, 97eqtr3d 2189 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
9998adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
10071, 84, 993eqtr3d 2195 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶 = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
10164, 100oveq12d 5832 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶) = ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)))
1029, 96, 92pnpcan2d 8203 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)) = (𝐷𝐸))
103102adantr 274 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)) = (𝐷𝐸))
10445, 101, 1033eqtrd 2191 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (𝐷𝐸))
105 uzp1 9451 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
1066, 105syl 14 . 2 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
10726, 104, 106mpjaodan 788 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵𝐶) = (𝐷𝐸))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  ∀wral 2432   ⊆ wss 3098  ∅c0 3390  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814  Fincfn 6674  ℂcc 7709  0cc0 7711  1c1 7712   + caddc 7714   − cmin 8025  ℤcz 9146  ℤ≥cuz 9418  ...cfz 9890  ..^cfzo 10019  Σcsu 11227 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-frec 6328  df-1o 6353  df-oadd 6357  df-er 6469  df-en 6675  df-dom 6676  df-fin 6677  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-ihash 10627  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-clim 11153  df-sumdc 11228 This theorem is referenced by:  telfsumo2  11341  telfsum  11342  geosergap  11380
 Copyright terms: Public domain W3C validator