Theorem telfsumo 11827

Description: Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
telfsumo.1	⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = 𝐵)
telfsumo.2	⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telfsumo.3	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
telfsumo.4	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐸)
telfsumo.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
telfsumo.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
telfsumo	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)

Proof of Theorem telfsumo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 11749	. . . 4 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 − 𝐶) = 0
2		telfsumo.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
3	2	eleq1d 2275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
4		telfsumo.6	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	ralrimiva 2580	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
6		telfsumo.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		eluzfz1 10166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
9	3, 5, 8	rspcdva 2884	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
10	9	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝐷 ∈ ℂ)
11	10	subidd 8384	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐷 − 𝐷) = 0)
12	1, 11	eqtr4id 2258	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐷))
13		oveq2 5962	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
14	13	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
15		fzo0 10305	. . . . 5 ⊢ (𝑀..^𝑀) = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2255	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
17	16	sumeq1d 11727	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 − 𝐶))
18		eqeq1 2213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 = 𝑀 ↔ 𝑁 = 𝑀))
19		telfsumo.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐸)
20	19	eqeq1d 2215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 = 𝐷 ↔ 𝐸 = 𝐷))
21	18, 20	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷) ↔ (𝑁 = 𝑀 → 𝐸 = 𝐷)))
22	21, 2	vtoclg 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 → 𝐸 = 𝐷))
23	22	imp 124	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝐸 = 𝐷)
24	6, 23	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝐸 = 𝐷)
25	24	oveq2d 5970	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐷 − 𝐸) = (𝐷 − 𝐷))
26	12, 17, 25	3eqtr4d 2249	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐸))
27		eluzel2 9666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
28	6, 27	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
29		eluzelz 9670	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
30	6, 29	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
31		fzofig 10590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
32	28, 30, 31	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
33		telfsumo.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = 𝐵)
34	33	eleq1d 2275	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
35	5	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
36		elfzofz 10298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
37	36	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
38	34, 35, 37	rspcdva 2884	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
39		telfsumo.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
40	39	eleq1d 2275	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
41		fzofzp1 10369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
42	41	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
43	40, 35, 42	rspcdva 2884	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
44	32, 38, 43	fsumsub 11813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶))
45	44	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶))
46	33	cbvsumv 11722	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵
47		eluzp1m1 9685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
48	28, 47	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
49	30	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
50		fzoval 10283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
52		fzossfz 10301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀..^𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁)
53	51, 52	eqsstrrdi 3248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
54	53	sselda 3195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
55	4	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
56	54, 55	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
57	48, 56, 2	fsum1p 11779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴))
58	51	sumeq1d 11727	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴)
59		fzoval 10283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
60	49, 59	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
61	60	sumeq1d 11727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴)
62	61	oveq2d 5970	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴))
63	57, 58, 62	3eqtr4d 2249	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐴 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
64	46, 63	eqtr3id 2253	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
65		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
66		fzp1ss 10208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
67	28, 66	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
68	67	sselda 3195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
69	68, 4	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
70	69	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
71	65, 70, 19	fsumm1 11777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸))
72		1zzd 9412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
73	28	peano2zd 9511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
74	72, 73, 30, 69, 39	fsumshftm 11806	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))𝐶)
75	28	zcnd 9509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
76		ax-1cn 8031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
77		pncan 8291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
78	75, 76, 77	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
79	78	oveq1d 5969	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
80	30, 50	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
81	79, 80	eqtr4d 2242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
82	81	sumeq1d 11727	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))𝐶 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
83	74, 82	eqtrd 2239	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
84	83	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶)
85	30, 59	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
86	85	sumeq1d 11727	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴)
87	86	oveq1d 5969	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 + 𝐸) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸))
88		fzofig 10590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin)
89	73, 30, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin)
90		elfzofz 10298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
91	90, 69	sylan2 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
92	89, 91	fsumcl 11761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
93	19	eleq1d 2275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
94		eluzfz2 10167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
95	6, 94	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
96	93, 5, 95	rspcdva 2884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
97	92, 96	addcomd 8236	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
98	87, 97	eqtr3d 2241	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
99	98	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐸) = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
100	71, 84, 99	3eqtr3d 2247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶 = (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴))
101	64, 100	oveq12d 5972	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐵 − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)𝐶) = ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)))
102	9, 96, 92	pnpcan2d 8434	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)) = (𝐷 − 𝐸))
103	102	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐷 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴) − (𝐸 + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)𝐴)) = (𝐷 − 𝐸))
104	45, 101, 103	3eqtrd 2243	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐸))
105		uzp1 9695	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
106	6, 105	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
107	26, 104, 106	mpjaodan 800	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485   ⊆ wss 3168  ∅c0 3462  ‘cfv 5277  (class class class)co 5954  Fincfn 6837  ℂcc 7936  0cc0 7938  1c1 7939   + caddc 7941   − cmin 8256  ℤcz 9385  ℤ_≥cuz 9661  ...cfz 10143  ..^cfzo 10277  Σcsu 11714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056  ax-arch 8057  ax-caucvg 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-isom 5286  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-irdg 6466  df-frec 6487  df-1o 6512  df-oadd 6516  df-er 6630  df-en 6838  df-dom 6839  df-fin 6840  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-n0 9309  df-z 9386  df-uz 9662  df-q 9754  df-rp 9789  df-fz 10144  df-fzo 10278  df-seqfrec 10606  df-exp 10697  df-ihash 10934  df-cj 11203  df-re 11204  df-im 11205  df-rsqrt 11359  df-abs 11360  df-clim 11640  df-sumdc 11715

This theorem is referenced by:  telfsumo2  11828  telfsum  11829  geosergap  11867