Theorem efaddlem 11839

Description: Lemma for efadd 11840 (exponential function addition law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
efadd.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐵↑𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.3	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐴 + 𝐵)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
efadd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
efaddlem	⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem efaddlem

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efadd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		efadd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcld 8046	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4		efadd.3	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐴 + 𝐵)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
5	4	efcvg 11831	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)))
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)))
7		efadd.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8	7	eftvalcn 11822	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑗) = ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)))
9	1, 8	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑗) = ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)))
10		absexp 11244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗))
11	1, 10	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗))
12		faccl 10827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
13	12	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
14		nnre 8997	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (!‘𝑗) ∈ ℝ)
15		nnnn0 9256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (!‘𝑗) ∈ ℕ0)
16	15	nn0ge0d 9305	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘𝑗) ∈ ℕ → 0 ≤ (!‘𝑗))
17	14, 16	absidd 11332	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (abs‘(!‘𝑗)) = (!‘𝑗))
18	13, 17	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(!‘𝑗)) = (!‘𝑗))
19	11, 18	oveq12d 5940	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝐴↑𝑗)) / (abs‘(!‘𝑗))) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
20		expcl 10649	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
21	1, 20	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
22	13	nncnd 9004	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
23	13	nnap0d 9036	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) # 0)
24	21, 22, 23	absdivapd 11360	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗))) = ((abs‘(𝐴↑𝑗)) / (abs‘(!‘𝑗))))
25	1	abscld 11346	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
26	25	recnd 8055	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
27		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
28	27	eftvalcn 11822	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
29	26, 28	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
30	19, 24, 29	3eqtr4rd 2240	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (abs‘((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗))))
31		eftcl 11819	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
32	1, 31	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
33		efadd.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐵↑𝑛) / (!‘𝑛)))
34	33	eftvalcn 11822	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘)))
35	2, 34	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘)))
36		eftcl 11819	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
37	2, 36	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
38	4	eftvalcn 11822	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
39	3, 38	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
40	1	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
41	2	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
42		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
43		binom 11649	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))
45	44	oveq1d 5937	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)))
46		0zd 9338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
47	42	nn0zd 9446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
48	46, 47	fzfigd 10523	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
49		faccl 10827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
50	49	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
51	50	nncnd 9004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
52		bccl2 10860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘C𝑗) ∈ ℕ)
53	52	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) ∈ ℕ)
54	53	nncnd 9004	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) ∈ ℂ)
55	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝐴 ∈ ℂ)
56		fznn0sub 10132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘 − 𝑗) ∈ ℕ0)
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − 𝑗) ∈ ℕ0)
58	55, 57	expcld 10765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) ∈ ℂ)
59	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝐵 ∈ ℂ)
60		elfznn0 10189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑘) → 𝑗 ∈ ℕ0)
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
62	59, 61	expcld 10765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐵↑𝑗) ∈ ℂ)
63	58, 62	mulcld 8047	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)) ∈ ℂ)
64	54, 63	mulcld 8047	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) ∈ ℂ)
65	50	nnap0d 9036	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) # 0)
66	48, 51, 64, 65	fsumdivapc 11615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)))
67	55, 61	expcld 10765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
68	61, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
69	68	nncnd 9004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
70	68	nnap0d 9036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) # 0)
71	67, 69, 70	divclapd 8817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
72	33	eftvalcn 11822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 𝑗) ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑘 − 𝑗)) = ((𝐵↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))))
73	59, 57, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘 − 𝑗)) = ((𝐵↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))))
74	59, 57	expcld 10765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐵↑(𝑘 − 𝑗)) ∈ ℂ)
75		faccl 10827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 − 𝑗) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 − 𝑗)) ∈ ℕ)
76	57, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘 − 𝑗)) ∈ ℕ)
77	76	nncnd 9004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘 − 𝑗)) ∈ ℂ)
78	76	nnap0d 9036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘 − 𝑗)) # 0)
79	74, 77, 78	divclapd 8817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐵↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))) ∈ ℂ)
80	73, 79	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘 − 𝑗)) ∈ ℂ)
81	71, 80	mulcld 8047	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))) ∈ ℂ)
82		oveq2 5930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)))
83		fveq2 5558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (!‘𝑗) = (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚)))
84	82, 83	oveq12d 5940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) = ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))))
85		oveq2 5930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝑘 − 𝑗) = (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))
86	85	fveq2d 5562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝐺‘(𝑘 − 𝑗)) = (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
87	84, 86	oveq12d 5940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
88	46, 47, 81, 87	fisumrev2 11611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
89	33	eftvalcn 11822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑗) = ((𝐵↑𝑗) / (!‘𝑗)))
90	59, 61, 89	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘𝑗) = ((𝐵↑𝑗) / (!‘𝑗)))
91	90	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))) · (𝐺‘𝑗)) = (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))) · ((𝐵↑𝑗) / (!‘𝑗))))
92	76, 68	nnmulcld 9039	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗)) ∈ ℕ)
93	92	nncnd 9004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
94	77, 69, 78, 70	mulap0d 8685	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗)) # 0)
95	63, 93, 94	divrecap2d 8821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))) = ((1 / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))
96	58, 77, 62, 69, 78, 70	divmuldivapd 8859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))) · ((𝐵↑𝑗) / (!‘𝑗))) = (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))))
97		bcval2 10842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘C𝑗) = ((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))))
98	97	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) = ((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))))
99	98	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) = (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)))
100	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
101	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑘) # 0)
102	100, 93, 100, 94, 101	divdiv32apd 8843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))))
103	100, 101	dividapd 8813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) = 1)
104	103	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))) = (1 / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))))
105	102, 104	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)) = (1 / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))))
106	99, 105	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) = (1 / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))))
107	106	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) = ((1 / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))
108	95, 96, 107	3eqtr4rd 2240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) = (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))) · ((𝐵↑𝑗) / (!‘𝑗))))
109	91, 108	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))) · (𝐺‘𝑗)) = (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))
110		nn0cn 9259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
111	110	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑘 ∈ ℂ)
112	111	addlidd 8176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (0 + 𝑘) = 𝑘)
113	112	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((0 + 𝑘) − 𝑗) = (𝑘 − 𝑗))
114	113	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝐴↑(𝑘 − 𝑗)))
115	113	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (!‘(𝑘 − 𝑗)))
116	114, 115	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) = ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))))
117	113	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝑘 − (𝑘 − 𝑗)))
118		nn0cn 9259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℂ)
119	61, 118	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑗 ∈ ℂ)
120	111, 119	nncand 8342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − (𝑘 − 𝑗)) = 𝑗)
121	117, 120	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = 𝑗)
122	121	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗))) = (𝐺‘𝑗))
123	116, 122	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))) · (𝐺‘𝑗)))
124	54, 63, 100, 101	div23apd 8855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))
125	109, 123, 124	3eqtr4rd 2240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))))
126	125	sumeq2dv 11533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))))
127		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((0 + 𝑘) − 𝑗) = ((0 + 𝑘) − 𝑚))
128	127	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)))
129	127	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚)))
130	128, 129	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) = ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))))
131	127	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))
132	131	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗))) = (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
133	130, 132	oveq12d 5940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
134	133	cbvsumv 11526	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
135	126, 134	eqtrdi 2245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
136	88, 135	eqtr4d 2232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)))
137	66, 136	eqtr4d 2232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))))
138	45, 137	eqtrd 2229	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))))
139	39, 138	eqtrd 2229	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))))
140	27	efcllem 11824	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
141	26, 140	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
142	33	efcllem 11824	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
143	2, 142	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
144	7	efcllem 11824	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
145	1, 144	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
146	9, 30, 32, 35, 37, 139, 141, 143, 145	mertensabs 11702	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘))))
147		efval 11826	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)))
148	1, 147	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)))
149		efval 11826	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘)))
150	2, 149	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘)))
151	148, 150	oveq12d 5940	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)) = (Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘))))
152	146, 151	breqtrrd 4061	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
153		climuni 11458	. 2 ⊢ ((seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)) ∧ seq0( + , 𝐻) ⇝ ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵))) → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
154	6, 152, 153	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033   ↦ cmpt 4094  dom cdm 4663  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   · cmul 7884   − cmin 8197   # cap 8608   / cdiv 8699  ℕcn 8990  ℕ₀cn0 9249  ...cfz 10083  seqcseq 10539  ↑cexp 10630  !cfa 10817  Ccbc 10839  abscabs 11162   ⇝ cli 11443  Σcsu 11518  expce 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-disj 4011  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-ico 9969  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-fac 10818  df-bc 10840  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-ef 11813

This theorem is referenced by:  efadd  11840