Theorem efaddlem 12296

Description: Lemma for efadd 12297 (exponential function addition law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
efadd.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐵↑𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.3	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐴 + 𝐵)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
efadd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
efaddlem	⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem efaddlem

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efadd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		efadd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcld 8242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4		efadd.3	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐴 + 𝐵)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
5	4	efcvg 12288	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)))
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)))
7		efadd.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8	7	eftvalcn 12279	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑗) = ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)))
9	1, 8	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑗) = ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)))
10		absexp 11700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗))
11	1, 10	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗))
12		faccl 11041	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
13	12	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
14		nnre 9193	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (!‘𝑗) ∈ ℝ)
15		nnnn0 9452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (!‘𝑗) ∈ ℕ0)
16	15	nn0ge0d 9501	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘𝑗) ∈ ℕ → 0 ≤ (!‘𝑗))
17	14, 16	absidd 11788	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (abs‘(!‘𝑗)) = (!‘𝑗))
18	13, 17	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(!‘𝑗)) = (!‘𝑗))
19	11, 18	oveq12d 6046	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝐴↑𝑗)) / (abs‘(!‘𝑗))) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
20		expcl 10863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
21	1, 20	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
22	13	nncnd 9200	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
23	13	nnap0d 9232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) # 0)
24	21, 22, 23	absdivapd 11816	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗))) = ((abs‘(𝐴↑𝑗)) / (abs‘(!‘𝑗))))
25	1	abscld 11802	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
26	25	recnd 8251	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
27		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
28	27	eftvalcn 12279	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
29	26, 28	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
30	19, 24, 29	3eqtr4rd 2275	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (abs‘((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗))))
31		eftcl 12276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
32	1, 31	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
33		efadd.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐵↑𝑛) / (!‘𝑛)))
34	33	eftvalcn 12279	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘)))
35	2, 34	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘)))
36		eftcl 12276	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
37	2, 36	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
38	4	eftvalcn 12279	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
39	3, 38	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
40	1	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
41	2	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
42		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
43		binom 12106	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))
45	44	oveq1d 6043	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)))
46		0zd 9534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
47	42	nn0zd 9643	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
48	46, 47	fzfigd 10737	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
49		faccl 11041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
50	49	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
51	50	nncnd 9200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
52		bccl2 11074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘C𝑗) ∈ ℕ)
53	52	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) ∈ ℕ)
54	53	nncnd 9200	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) ∈ ℂ)
55	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝐴 ∈ ℂ)
56		fznn0sub 10335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘 − 𝑗) ∈ ℕ0)
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − 𝑗) ∈ ℕ0)
58	55, 57	expcld 10979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) ∈ ℂ)
59	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝐵 ∈ ℂ)
60		elfznn0 10392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑘) → 𝑗 ∈ ℕ0)
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
62	59, 61	expcld 10979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐵↑𝑗) ∈ ℂ)
63	58, 62	mulcld 8243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)) ∈ ℂ)
64	54, 63	mulcld 8243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) ∈ ℂ)
65	50	nnap0d 9232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) # 0)
66	48, 51, 64, 65	fsumdivapc 12072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)))
67	55, 61	expcld 10979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
68	61, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
69	68	nncnd 9200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
70	68	nnap0d 9232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) # 0)
71	67, 69, 70	divclapd 9013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
72	33	eftvalcn 12279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 𝑗) ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑘 − 𝑗)) = ((𝐵↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))))
73	59, 57, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘 − 𝑗)) = ((𝐵↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))))
74	59, 57	expcld 10979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐵↑(𝑘 − 𝑗)) ∈ ℂ)
75		faccl 11041	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 − 𝑗) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 − 𝑗)) ∈ ℕ)
76	57, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘 − 𝑗)) ∈ ℕ)
77	76	nncnd 9200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘 − 𝑗)) ∈ ℂ)
78	76	nnap0d 9232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘 − 𝑗)) # 0)
79	74, 77, 78	divclapd 9013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐵↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))) ∈ ℂ)
80	73, 79	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘 − 𝑗)) ∈ ℂ)
81	71, 80	mulcld 8243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))) ∈ ℂ)
82		oveq2 6036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)))
83		fveq2 5648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (!‘𝑗) = (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚)))
84	82, 83	oveq12d 6046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) = ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))))
85		oveq2 6036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝑘 − 𝑗) = (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))
86	85	fveq2d 5652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝐺‘(𝑘 − 𝑗)) = (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
87	84, 86	oveq12d 6046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
88	46, 47, 81, 87	fisumrev2 12068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
89	33	eftvalcn 12279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑗) = ((𝐵↑𝑗) / (!‘𝑗)))
90	59, 61, 89	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘𝑗) = ((𝐵↑𝑗) / (!‘𝑗)))
91	90	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))) · (𝐺‘𝑗)) = (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))) · ((𝐵↑𝑗) / (!‘𝑗))))
92	76, 68	nnmulcld 9235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗)) ∈ ℕ)
93	92	nncnd 9200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
94	77, 69, 78, 70	mulap0d 8881	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗)) # 0)
95	63, 93, 94	divrecap2d 9017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))) = ((1 / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))
96	58, 77, 62, 69, 78, 70	divmuldivapd 9055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))) · ((𝐵↑𝑗) / (!‘𝑗))) = (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗)) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))))
97		bcval2 11056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘C𝑗) = ((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))))
98	97	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) = ((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))))
99	98	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) = (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)))
100	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
101	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑘) # 0)
102	100, 93, 100, 94, 101	divdiv32apd 9039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))))
103	100, 101	dividapd 9009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) = 1)
104	103	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))) = (1 / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))))
105	102, 104	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)) = (1 / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))))
106	99, 105	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) = (1 / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))))
107	106	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) = ((1 / ((!‘(𝑘 − 𝑗)) · (!‘𝑗))) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))
108	95, 96, 107	3eqtr4rd 2275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) = (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))) · ((𝐵↑𝑗) / (!‘𝑗))))
109	91, 108	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))) · (𝐺‘𝑗)) = (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))
110		nn0cn 9455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
111	110	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑘 ∈ ℂ)
112	111	addlidd 8372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (0 + 𝑘) = 𝑘)
113	112	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((0 + 𝑘) − 𝑗) = (𝑘 − 𝑗))
114	113	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝐴↑(𝑘 − 𝑗)))
115	113	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (!‘(𝑘 − 𝑗)))
116	114, 115	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) = ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))))
117	113	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝑘 − (𝑘 − 𝑗)))
118		nn0cn 9455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℂ)
119	61, 118	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑗 ∈ ℂ)
120	111, 119	nncand 8538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − (𝑘 − 𝑗)) = 𝑗)
121	117, 120	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = 𝑗)
122	121	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗))) = (𝐺‘𝑗))
123	116, 122	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = (((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) / (!‘(𝑘 − 𝑗))) · (𝐺‘𝑗)))
124	54, 63, 100, 101	div23apd 9051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))))
125	109, 123, 124	3eqtr4rd 2275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))))
126	125	sumeq2dv 11989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))))
127		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((0 + 𝑘) − 𝑗) = ((0 + 𝑘) − 𝑚))
128	127	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)))
129	127	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚)))
130	128, 129	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) = ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))))
131	127	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))
132	131	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗))) = (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
133	130, 132	oveq12d 6046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
134	133	cbvsumv 11982	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
135	126, 134	eqtrdi 2280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
136	88, 135	eqtr4d 2267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)))
137	66, 136	eqtr4d 2267	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘 − 𝑗)) · (𝐵↑𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))))
138	45, 137	eqtrd 2264	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))))
139	39, 138	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘 − 𝑗))))
140	27	efcllem 12281	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
141	26, 140	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
142	33	efcllem 12281	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
143	2, 142	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
144	7	efcllem 12281	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
145	1, 144	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
146	9, 30, 32, 35, 37, 139, 141, 143, 145	mertensabs 12159	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘))))
147		efval 12283	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)))
148	1, 147	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)))
149		efval 12283	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘)))
150	2, 149	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘)))
151	148, 150	oveq12d 6046	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)) = (Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑗) / (!‘𝑗)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑘) / (!‘𝑘))))
152	146, 151	breqtrrd 4121	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
153		climuni 11914	. 2 ⊢ ((seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)) ∧ seq0( + , 𝐻) ⇝ ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵))) → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
154	6, 152, 153	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093   ↦ cmpt 4155  dom cdm 4731  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  0cc0 8075  1c1 8076   + caddc 8078   · cmul 8080   − cmin 8393   # cap 8804   / cdiv 8895  ℕcn 9186  ℕ₀cn0 9445  ...cfz 10286  seqcseq 10753  ↑cexp 10844  !cfa 11031  Ccbc 11053  abscabs 11618   ⇝ cli 11899  Σcsu 11974  expce 12264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-ico 10172  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-fac 11032  df-bc 11054  df-ihash 11082  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-clim 11900  df-sumdc 11975  df-ef 12270

This theorem is referenced by:  efadd  12297