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Theorem efaddlem 11666
Description: Lemma for efadd 11667 (exponential function addition law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efadd.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐵𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐴 + 𝐵)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
efadd.5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
efaddlem (𝜑 → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem efaddlem
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efadd.4 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 efadd.5 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
31, 2addcld 7967 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4 efadd.3 . . . 4 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐴 + 𝐵)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
54efcvg 11658 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)))
63, 5syl 14 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)))
7 efadd.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
87eftvalcn 11649 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))
91, 8sylan 283 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))
10 absexp 11072 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗))
111, 10sylan 283 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗))
12 faccl 10699 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
1312adantl 277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
14 nnre 8915 . . . . . . . 8 ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (!‘𝑗) ∈ ℝ)
15 nnnn0 9172 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (!‘𝑗) ∈ ℕ0)
1615nn0ge0d 9221 . . . . . . . 8 ((!‘𝑗) ∈ ℕ → 0 ≤ (!‘𝑗))
1714, 16absidd 11160 . . . . . . 7 ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (abs‘(!‘𝑗)) = (!‘𝑗))
1813, 17syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(!‘𝑗)) = (!‘𝑗))
1911, 18oveq12d 5887 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝐴𝑗)) / (abs‘(!‘𝑗))) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
20 expcl 10524 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
211, 20sylan 283 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
2213nncnd 8922 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
2313nnap0d 8954 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) # 0)
2421, 22, 23absdivapd 11188 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑗) / (!‘𝑗))) = ((abs‘(𝐴𝑗)) / (abs‘(!‘𝑗))))
251abscld 11174 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2625recnd 7976 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
27 eqid 2177 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
2827eftvalcn 11649 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
2926, 28sylan 283 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
3019, 24, 293eqtr4rd 2221 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (abs‘((𝐴𝑗) / (!‘𝑗))))
31 eftcl 11646 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
321, 31sylan 283 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
33 efadd.2 . . . . . 6 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐵𝑛) / (!‘𝑛)))
3433eftvalcn 11649 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)))
352, 34sylan 283 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)))
36 eftcl 11646 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
372, 36sylan 283 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
384eftvalcn 11649 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
393, 38sylan 283 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
401adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
412adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
42 simpr 110 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
43 binom 11476 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1238 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
4544oveq1d 5884 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)))
46 0zd 9254 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
4742nn0zd 9362 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
4846, 47fzfigd 10417 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
49 faccl 10699 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
5049adantl 277 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
5150nncnd 8922 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
52 bccl2 10732 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘C𝑗) ∈ ℕ)
5352adantl 277 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) ∈ ℕ)
5453nncnd 8922 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) ∈ ℂ)
551ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝐴 ∈ ℂ)
56 fznn0sub 10043 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘𝑗) ∈ ℕ0)
5756adantl 277 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘𝑗) ∈ ℕ0)
5855, 57expcld 10639 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴↑(𝑘𝑗)) ∈ ℂ)
592ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝐵 ∈ ℂ)
60 elfznn0 10100 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑘) → 𝑗 ∈ ℕ0)
6160adantl 277 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
6259, 61expcld 10639 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐵𝑗) ∈ ℂ)
6358, 62mulcld 7968 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
6454, 63mulcld 7968 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) ∈ ℂ)
6550nnap0d 8954 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) # 0)
6648, 51, 64, 65fsumdivapc 11442 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)))
6755, 61expcld 10639 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
6861, 12syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
6968nncnd 8922 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
7068nnap0d 8954 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) # 0)
7167, 69, 70divclapd 8736 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
7233eftvalcn 11649 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑘𝑗) ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑘𝑗)) = ((𝐵↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))))
7359, 57, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘𝑗)) = ((𝐵↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))))
7459, 57expcld 10639 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐵↑(𝑘𝑗)) ∈ ℂ)
75 faccl 10699 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑗) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘𝑗)) ∈ ℕ)
7657, 75syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘𝑗)) ∈ ℕ)
7776nncnd 8922 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘𝑗)) ∈ ℂ)
7876nnap0d 8954 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘𝑗)) # 0)
7974, 77, 78divclapd 8736 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐵↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) ∈ ℂ)
8073, 79eqeltrd 2254 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘𝑗)) ∈ ℂ)
8171, 80mulcld 7968 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))) ∈ ℂ)
82 oveq2 5877 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)))
83 fveq2 5511 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (!‘𝑗) = (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚)))
8482, 83oveq12d 5887 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) = ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))))
85 oveq2 5877 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝑘𝑗) = (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))
8685fveq2d 5515 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝐺‘(𝑘𝑗)) = (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
8784, 86oveq12d 5887 . . . . . . . . 9 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
8846, 47, 81, 87fisumrev2 11438 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
8933eftvalcn 11649 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑗) = ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗)))
9059, 61, 89syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺𝑗) = ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗)))
9190oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · (𝐺𝑗)) = (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗))))
9276, 68nnmulcld 8957 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗)) ∈ ℕ)
9392nncnd 8922 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
9477, 69, 78, 70mulap0d 8604 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗)) # 0)
9563, 93, 94divrecap2d 8740 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗)) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) = ((1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
9658, 77, 62, 69, 78, 70divmuldivapd 8778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗))) = (((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗)) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
97 bcval2 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘C𝑗) = ((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
9897adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) = ((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
9998oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) = (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)))
10051adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
10165adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑘) # 0)
102100, 93, 100, 94, 101divdiv32apd 8762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
103100, 101dividapd 8732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) = 1)
104103oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) = (1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
105102, 104eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)) = (1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
10699, 105eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) = (1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
107106oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) = ((1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
10895, 96, 1073eqtr4rd 2221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) = (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗))))
10991, 108eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · (𝐺𝑗)) = (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
110 nn0cn 9175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
111110ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑘 ∈ ℂ)
112111addid2d 8097 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (0 + 𝑘) = 𝑘)
113112oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((0 + 𝑘) − 𝑗) = (𝑘𝑗))
114113oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝐴↑(𝑘𝑗)))
115113fveq2d 5515 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (!‘(𝑘𝑗)))
116114, 115oveq12d 5887 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) = ((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))))
117113oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝑘 − (𝑘𝑗)))
118 nn0cn 9175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℂ)
11961, 118syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑗 ∈ ℂ)
120111, 119nncand 8263 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − (𝑘𝑗)) = 𝑗)
121117, 120eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = 𝑗)
122121fveq2d 5515 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗))) = (𝐺𝑗))
123116, 122oveq12d 5887 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · (𝐺𝑗)))
12454, 63, 100, 101div23apd 8774 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
125109, 123, 1243eqtr4rd 2221 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))))
126125sumeq2dv 11360 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))))
127 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑚 → ((0 + 𝑘) − 𝑗) = ((0 + 𝑘) − 𝑚))
128127oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑚 → (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)))
129127fveq2d 5515 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑚 → (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚)))
130128, 129oveq12d 5887 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑚 → ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) = ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))))
131127oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑚 → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))
132131fveq2d 5515 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑚 → (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗))) = (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
133130, 132oveq12d 5887 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
134133cbvsumv 11353 . . . . . . . . 9 Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
135126, 134eqtrdi 2226 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
13688, 135eqtr4d 2213 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)))
13766, 136eqtr4d 2213 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
13845, 137eqtrd 2210 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
13939, 138eqtrd 2210 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
14027efcllem 11651 . . . . 5 ((abs‘𝐴) ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
14126, 140syl 14 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
14233efcllem 11651 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
1432, 142syl 14 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
1447efcllem 11651 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
1451, 144syl 14 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
1469, 30, 32, 35, 37, 139, 141, 143, 145mertensabs 11529 . . 3 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘))))
147 efval 11653 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))
1481, 147syl 14 . . . 4 (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))
149 efval 11653 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)))
1502, 149syl 14 . . . 4 (𝜑 → (exp‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)))
151148, 150oveq12d 5887 . . 3 (𝜑 → ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)) = (Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘))))
152146, 151breqtrrd 4028 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
153 climuni 11285 . 2 ((seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)) ∧ seq0( + , 𝐻) ⇝ ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵))) → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
1546, 152, 153syl2anc 411 1 (𝜑 → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cmpt 4061  dom cdm 4623  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807  cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618  cn 8908  0cn0 9165  ...cfz 9995  seqcseq 10431  cexp 10505  !cfa 10689  Ccbc 10711  abscabs 10990  cli 11270  Σcsu 11345  expce 11634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-ico 9881  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-fac 10690  df-bc 10712  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346  df-ef 11640
This theorem is referenced by:  efadd  11667
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