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Theorem efaddlem 11387
Description: Lemma for efadd 11388 (exponential function addition law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efadd.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐵𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐴 + 𝐵)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
efadd.5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
efaddlem (𝜑 → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem efaddlem
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efadd.4 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 efadd.5 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
31, 2addcld 7792 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4 efadd.3 . . . 4 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐴 + 𝐵)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
54efcvg 11379 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)))
63, 5syl 14 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)))
7 efadd.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
87eftvalcn 11370 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))
91, 8sylan 281 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))
10 absexp 10858 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗))
111, 10sylan 281 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗))
12 faccl 10488 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
1312adantl 275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
14 nnre 8734 . . . . . . . 8 ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (!‘𝑗) ∈ ℝ)
15 nnnn0 8991 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (!‘𝑗) ∈ ℕ0)
1615nn0ge0d 9040 . . . . . . . 8 ((!‘𝑗) ∈ ℕ → 0 ≤ (!‘𝑗))
1714, 16absidd 10946 . . . . . . 7 ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (abs‘(!‘𝑗)) = (!‘𝑗))
1813, 17syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(!‘𝑗)) = (!‘𝑗))
1911, 18oveq12d 5792 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝐴𝑗)) / (abs‘(!‘𝑗))) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
20 expcl 10318 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
211, 20sylan 281 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
2213nncnd 8741 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
2313nnap0d 8773 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) # 0)
2421, 22, 23absdivapd 10974 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑗) / (!‘𝑗))) = ((abs‘(𝐴𝑗)) / (abs‘(!‘𝑗))))
251abscld 10960 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2625recnd 7801 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
27 eqid 2139 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
2827eftvalcn 11370 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
2926, 28sylan 281 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
3019, 24, 293eqtr4rd 2183 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (abs‘((𝐴𝑗) / (!‘𝑗))))
31 eftcl 11367 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
321, 31sylan 281 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
33 efadd.2 . . . . . 6 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐵𝑛) / (!‘𝑛)))
3433eftvalcn 11370 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)))
352, 34sylan 281 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)))
36 eftcl 11367 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
372, 36sylan 281 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
384eftvalcn 11370 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
393, 38sylan 281 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
401adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
412adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
42 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
43 binom 11260 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1216 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
4544oveq1d 5789 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)))
46 0zd 9073 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
4742nn0zd 9178 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
4846, 47fzfigd 10211 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
49 faccl 10488 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
5049adantl 275 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
5150nncnd 8741 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
52 bccl2 10521 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘C𝑗) ∈ ℕ)
5352adantl 275 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) ∈ ℕ)
5453nncnd 8741 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) ∈ ℂ)
551ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝐴 ∈ ℂ)
56 fznn0sub 9844 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘𝑗) ∈ ℕ0)
5756adantl 275 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘𝑗) ∈ ℕ0)
5855, 57expcld 10431 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴↑(𝑘𝑗)) ∈ ℂ)
592ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝐵 ∈ ℂ)
60 elfznn0 9901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑘) → 𝑗 ∈ ℕ0)
6160adantl 275 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
6259, 61expcld 10431 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐵𝑗) ∈ ℂ)
6358, 62mulcld 7793 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
6454, 63mulcld 7793 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) ∈ ℂ)
6550nnap0d 8773 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) # 0)
6648, 51, 64, 65fsumdivapc 11226 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)))
6755, 61expcld 10431 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
6861, 12syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
6968nncnd 8741 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
7068nnap0d 8773 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) # 0)
7167, 69, 70divclapd 8557 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
7233eftvalcn 11370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑘𝑗) ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑘𝑗)) = ((𝐵↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))))
7359, 57, 72syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘𝑗)) = ((𝐵↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))))
7459, 57expcld 10431 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐵↑(𝑘𝑗)) ∈ ℂ)
75 faccl 10488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑗) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘𝑗)) ∈ ℕ)
7657, 75syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘𝑗)) ∈ ℕ)
7776nncnd 8741 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘𝑗)) ∈ ℂ)
7876nnap0d 8773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘𝑗)) # 0)
7974, 77, 78divclapd 8557 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐵↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) ∈ ℂ)
8073, 79eqeltrd 2216 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘𝑗)) ∈ ℂ)
8171, 80mulcld 7793 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))) ∈ ℂ)
82 oveq2 5782 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)))
83 fveq2 5421 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (!‘𝑗) = (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚)))
8482, 83oveq12d 5792 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) = ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))))
85 oveq2 5782 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝑘𝑗) = (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))
8685fveq2d 5425 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝐺‘(𝑘𝑗)) = (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
8784, 86oveq12d 5792 . . . . . . . . 9 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
8846, 47, 81, 87fisumrev2 11222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
8933eftvalcn 11370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑗) = ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗)))
9059, 61, 89syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺𝑗) = ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗)))
9190oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · (𝐺𝑗)) = (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗))))
9276, 68nnmulcld 8776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗)) ∈ ℕ)
9392nncnd 8741 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
9477, 69, 78, 70mulap0d 8426 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗)) # 0)
9563, 93, 94divrecap2d 8561 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗)) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) = ((1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
9658, 77, 62, 69, 78, 70divmuldivapd 8599 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗))) = (((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗)) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
97 bcval2 10503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘C𝑗) = ((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
9897adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) = ((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
9998oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) = (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)))
10051adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
10165adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑘) # 0)
102100, 93, 100, 94, 101divdiv32apd 8583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
103100, 101dividapd 8553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) = 1)
104103oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) = (1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
105102, 104eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)) = (1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
10699, 105eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) = (1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
107106oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) = ((1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
10895, 96, 1073eqtr4rd 2183 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) = (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗))))
10991, 108eqtr4d 2175 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · (𝐺𝑗)) = (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
110 nn0cn 8994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
111110ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑘 ∈ ℂ)
112111addid2d 7919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (0 + 𝑘) = 𝑘)
113112oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((0 + 𝑘) − 𝑗) = (𝑘𝑗))
114113oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝐴↑(𝑘𝑗)))
115113fveq2d 5425 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (!‘(𝑘𝑗)))
116114, 115oveq12d 5792 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) = ((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))))
117113oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝑘 − (𝑘𝑗)))
118 nn0cn 8994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℂ)
11961, 118syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑗 ∈ ℂ)
120111, 119nncand 8085 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − (𝑘𝑗)) = 𝑗)
121117, 120eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = 𝑗)
122121fveq2d 5425 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗))) = (𝐺𝑗))
123116, 122oveq12d 5792 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · (𝐺𝑗)))
12454, 63, 100, 101div23apd 8595 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
125109, 123, 1243eqtr4rd 2183 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))))
126125sumeq2dv 11144 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))))
127 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑚 → ((0 + 𝑘) − 𝑗) = ((0 + 𝑘) − 𝑚))
128127oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑚 → (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)))
129127fveq2d 5425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑚 → (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚)))
130128, 129oveq12d 5792 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑚 → ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) = ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))))
131127oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑚 → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))
132131fveq2d 5425 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑚 → (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗))) = (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
133130, 132oveq12d 5792 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
134133cbvsumv 11137 . . . . . . . . 9 Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
135126, 134syl6eq 2188 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
13688, 135eqtr4d 2175 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)))
13766, 136eqtr4d 2175 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
13845, 137eqtrd 2172 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
13939, 138eqtrd 2172 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
14027efcllem 11372 . . . . 5 ((abs‘𝐴) ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
14126, 140syl 14 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
14233efcllem 11372 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
1432, 142syl 14 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
1447efcllem 11372 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
1451, 144syl 14 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
1469, 30, 32, 35, 37, 139, 141, 143, 145mertensabs 11313 . . 3 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘))))
147 efval 11374 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))
1481, 147syl 14 . . . 4 (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))
149 efval 11374 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)))
1502, 149syl 14 . . . 4 (𝜑 → (exp‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)))
151148, 150oveq12d 5792 . . 3 (𝜑 → ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)) = (Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘))))
152146, 151breqtrrd 3956 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
153 climuni 11069 . 2 ((seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)) ∧ seq0( + , 𝐻) ⇝ ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵))) → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
1546, 152, 153syl2anc 408 1 (𝜑 → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3929  cmpt 3989  dom cdm 4539  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7625  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630   · cmul 7632  cmin 7940   # cap 8350   / cdiv 8439  cn 8727  0cn0 8984  ...cfz 9797  seqcseq 10225  cexp 10299  !cfa 10478  Ccbc 10500  abscabs 10776  cli 11054  Σcsu 11129  expce 11355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-ico 9684  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-bc 10501  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361
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