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Theorem efaddlem 11129
Description: Lemma for efadd 11130 (exponential function addition law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efadd.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐵𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐴 + 𝐵)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
efadd.4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
efadd.5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
efaddlem (𝜑 → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem efaddlem
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efadd.4 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 efadd.5 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
31, 2addcld 7604 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4 efadd.3 . . . 4 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐴 + 𝐵)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
54efcvg 11121 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)))
63, 5syl 14 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)))
7 efadd.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
87eftvalcn 11112 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))
91, 8sylan 278 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))
10 absexp 10643 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗))
111, 10sylan 278 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗))
12 faccl 10274 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
1312adantl 272 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
14 nnre 8527 . . . . . . . 8 ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (!‘𝑗) ∈ ℝ)
15 nnnn0 8778 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (!‘𝑗) ∈ ℕ0)
1615nn0ge0d 8827 . . . . . . . 8 ((!‘𝑗) ∈ ℕ → 0 ≤ (!‘𝑗))
1714, 16absidd 10731 . . . . . . 7 ((!‘𝑗) ∈ ℕ → (abs‘(!‘𝑗)) = (!‘𝑗))
1813, 17syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(!‘𝑗)) = (!‘𝑗))
1911, 18oveq12d 5708 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝐴𝑗)) / (abs‘(!‘𝑗))) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
20 expcl 10104 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
211, 20sylan 278 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
2213nncnd 8534 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
2313nnap0d 8566 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑗) # 0)
2421, 22, 23absdivapd 10759 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑗) / (!‘𝑗))) = ((abs‘(𝐴𝑗)) / (abs‘(!‘𝑗))))
251abscld 10745 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2625recnd 7613 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
27 eqid 2095 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
2827eftvalcn 11112 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
2926, 28sylan 278 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (((abs‘𝐴)↑𝑗) / (!‘𝑗)))
3019, 24, 293eqtr4rd 2138 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑗) = (abs‘((𝐴𝑗) / (!‘𝑗))))
31 eftcl 11109 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
321, 31sylan 278 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
33 efadd.2 . . . . . 6 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐵𝑛) / (!‘𝑛)))
3433eftvalcn 11112 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)))
352, 34sylan 278 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)))
36 eftcl 11109 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
372, 36sylan 278 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
384eftvalcn 11112 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
393, 38sylan 278 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
401adantr 271 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
412adantr 271 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
42 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
43 binom 11043 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1181 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
4544oveq1d 5705 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)))
46 0zd 8860 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
4742nn0zd 8965 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
4846, 47fzfigd 9987 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
49 faccl 10274 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
5049adantl 272 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
5150nncnd 8534 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
52 bccl2 10307 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘C𝑗) ∈ ℕ)
5352adantl 272 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) ∈ ℕ)
5453nncnd 8534 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) ∈ ℂ)
551ad2antrr 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝐴 ∈ ℂ)
56 fznn0sub 9620 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘𝑗) ∈ ℕ0)
5756adantl 272 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘𝑗) ∈ ℕ0)
5855, 57expcld 10217 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴↑(𝑘𝑗)) ∈ ℂ)
592ad2antrr 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝐵 ∈ ℂ)
60 elfznn0 9677 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑘) → 𝑗 ∈ ℕ0)
6160adantl 272 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
6259, 61expcld 10217 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐵𝑗) ∈ ℂ)
6358, 62mulcld 7605 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
6454, 63mulcld 7605 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) ∈ ℂ)
6550nnap0d 8566 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) # 0)
6648, 51, 64, 65fsumdivapc 11009 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)))
6755, 61expcld 10217 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
6861, 12syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) ∈ ℕ)
6968nncnd 8534 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) ∈ ℂ)
7068nnap0d 8566 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑗) # 0)
7167, 69, 70divclapd 8354 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
7233eftvalcn 11112 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑘𝑗) ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑘𝑗)) = ((𝐵↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))))
7359, 57, 72syl2anc 404 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘𝑗)) = ((𝐵↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))))
7459, 57expcld 10217 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐵↑(𝑘𝑗)) ∈ ℂ)
75 faccl 10274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑗) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘𝑗)) ∈ ℕ)
7657, 75syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘𝑗)) ∈ ℕ)
7776nncnd 8534 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘𝑗)) ∈ ℂ)
7876nnap0d 8566 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘(𝑘𝑗)) # 0)
7974, 77, 78divclapd 8354 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐵↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) ∈ ℂ)
8073, 79eqeltrd 2171 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘𝑗)) ∈ ℂ)
8171, 80mulcld 7605 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))) ∈ ℂ)
82 oveq2 5698 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)))
83 fveq2 5340 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (!‘𝑗) = (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚)))
8482, 83oveq12d 5708 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) = ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))))
85 oveq2 5698 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝑘𝑗) = (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))
8685fveq2d 5344 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (𝐺‘(𝑘𝑗)) = (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
8784, 86oveq12d 5708 . . . . . . . . 9 (𝑗 = ((0 + 𝑘) − 𝑚) → (((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
8846, 47, 81, 87fisumrev2 11005 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
8933eftvalcn 11112 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑗) = ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗)))
9059, 61, 89syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺𝑗) = ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗)))
9190oveq2d 5706 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · (𝐺𝑗)) = (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗))))
9276, 68nnmulcld 8569 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗)) ∈ ℕ)
9392nncnd 8534 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗)) ∈ ℂ)
9477, 69, 78, 70mulap0d 8224 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗)) # 0)
9563, 93, 94divrecap2d 8358 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗)) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) = ((1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
9658, 77, 62, 69, 78, 70divmuldivapd 8396 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗))) = (((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗)) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
97 bcval2 10289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑘) → (𝑘C𝑗) = ((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
9897adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘C𝑗) = ((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
9998oveq1d 5705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) = (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)))
10051adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
10165adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘𝑘) # 0)
102100, 93, 100, 94, 101divdiv32apd 8380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
103100, 101dividapd 8350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) = 1)
104103oveq1d 5705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / (!‘𝑘)) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) = (1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
105102, 104eqtrd 2127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((!‘𝑘) / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) / (!‘𝑘)) = (1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
10699, 105eqtrd 2127 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) = (1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))))
107106oveq1d 5705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) = ((1 / ((!‘(𝑘𝑗)) · (!‘𝑗))) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
10895, 96, 1073eqtr4rd 2138 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) = (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · ((𝐵𝑗) / (!‘𝑗))))
10991, 108eqtr4d 2130 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · (𝐺𝑗)) = (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
110 nn0cn 8781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
111110ad2antlr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑘 ∈ ℂ)
112111addid2d 7729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (0 + 𝑘) = 𝑘)
113112oveq1d 5705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((0 + 𝑘) − 𝑗) = (𝑘𝑗))
114113oveq2d 5706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝐴↑(𝑘𝑗)))
115113fveq2d 5344 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (!‘(𝑘𝑗)))
116114, 115oveq12d 5708 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) = ((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))))
117113oveq2d 5706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝑘 − (𝑘𝑗)))
118 nn0cn 8781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℂ)
11961, 118syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → 𝑗 ∈ ℂ)
120111, 119nncand 7895 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − (𝑘𝑗)) = 𝑗)
121117, 120eqtrd 2127 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = 𝑗)
122121fveq2d 5344 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗))) = (𝐺𝑗))
123116, 122oveq12d 5708 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = (((𝐴↑(𝑘𝑗)) / (!‘(𝑘𝑗))) · (𝐺𝑗)))
12454, 63, 100, 101div23apd 8392 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((𝑘C𝑗) / (!‘𝑘)) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))))
125109, 123, 1243eqtr4rd 2138 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑘)) → (((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))))
126125sumeq2dv 10927 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))))
127 oveq2 5698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑚 → ((0 + 𝑘) − 𝑗) = ((0 + 𝑘) − 𝑚))
128127oveq2d 5706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑚 → (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)))
129127fveq2d 5344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑚 → (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚)))
130128, 129oveq12d 5708 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑚 → ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) = ((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))))
131127oveq2d 5706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑚 → (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)) = (𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))
132131fveq2d 5344 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑚 → (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗))) = (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
133130, 132oveq12d 5708 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = (((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
134133cbvsumv 10920 . . . . . . . . 9 Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑗)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑗))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑗)))) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚))))
135126, 134syl6eq 2143 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑘)(((𝐴↑((0 + 𝑘) − 𝑚)) / (!‘((0 + 𝑘) − 𝑚))) · (𝐺‘(𝑘 − ((0 + 𝑘) − 𝑚)))))
13688, 135eqtr4d 2130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)))
13766, 136eqtr4d 2130 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)((𝑘C𝑗) · ((𝐴↑(𝑘𝑗)) · (𝐵𝑗))) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
13845, 137eqtrd 2127 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
13939, 138eqtrd 2127 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
14027efcllem 11114 . . . . 5 ((abs‘𝐴) ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
14126, 140syl 14 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
14233efcllem 11114 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
1432, 142syl 14 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
1447efcllem 11114 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
1451, 144syl 14 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
1469, 30, 32, 35, 37, 139, 141, 143, 145mertensabs 11096 . . 3 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘))))
147 efval 11116 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))
1481, 147syl 14 . . . 4 (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)))
149 efval 11116 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)))
1502, 149syl 14 . . . 4 (𝜑 → (exp‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘)))
151148, 150oveq12d 5708 . . 3 (𝜑 → ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)) = (Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑗) / (!‘𝑗)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) / (!‘𝑘))))
152146, 151breqtrrd 3893 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
153 climuni 10852 . 2 ((seq0( + , 𝐻) ⇝ (exp‘(𝐴 + 𝐵)) ∧ seq0( + , 𝐻) ⇝ ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵))) → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
1546, 152, 153syl2anc 404 1 (𝜑 → (exp‘(𝐴 + 𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1296  wcel 1445   class class class wbr 3867  cmpt 3921  dom cdm 4467  cfv 5049  (class class class)co 5690  cc 7445  0cc0 7447  1c1 7448   + caddc 7450   · cmul 7452  cmin 7750   # cap 8155   / cdiv 8236  cn 8520  0cn0 8771  ...cfz 9573  seqcseq 10001  cexp 10085  !cfa 10264  Ccbc 10286  abscabs 10561  cli 10837  Σcsu 10912  expce 11097
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-disj 3845  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-isom 5058  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-frec 6194  df-1o 6219  df-oadd 6223  df-er 6332  df-en 6538  df-dom 6539  df-fin 6540  df-sup 6759  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-q 9204  df-rp 9234  df-ico 9460  df-fz 9574  df-fzo 9703  df-iseq 10002  df-seq3 10003  df-exp 10086  df-fac 10265  df-bc 10287  df-ihash 10315  df-cj 10407  df-re 10408  df-im 10409  df-rsqrt 10562  df-abs 10563  df-clim 10838  df-sumdc 10913  df-ef 11103
This theorem is referenced by:  efadd  11130
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