Theorem isumge0 11573

Description: An infinite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumrecl.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumrecl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumrecl.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumrecl.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
isumrecl.5	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
isumge0.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
isumge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumge0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumrecl.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumrecl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		isumrecl.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
4		isumrecl.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	recnd 8048	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		isumrecl.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
7	1, 2, 3, 5, 6	isumclim2 11565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
8		fveq2 5554	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑘))
9	8	cbvsumv 11504	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘)
10	3	sumeq2dv 11511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
11	9, 10	eqtrid 2238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
12	7, 11	breqtrrd 4057	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗))
13	3, 4	eqeltrd 2270	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
14		isumge0.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
15	14, 3	breqtrrd 4057	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
16	1, 2, 12, 13, 15	iserge0 11486	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗))
17	16, 11	breqtrd 4055	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  dom cdm 4659  ‘cfv 5254  ℝcr 7871  0cc0 7872   + caddc 7875   ≤ cle 8055  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592  seqcseq 10518   ⇝ cli 11421  Σcsu 11496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497

This theorem is referenced by:  mertenslemi1  11678  mertenslem2  11679  trilpolemlt1  15531  nconstwlpolemgt0  15554