Theorem isumge0 12180

Description: An infinite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumrecl.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumrecl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumrecl.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumrecl.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
isumrecl.5	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
isumge0.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
isumge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumge0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumrecl.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumrecl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		isumrecl.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
4		isumrecl.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	recnd 8348	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		isumrecl.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
7	1, 2, 3, 5, 6	isumclim2 12172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
8		fveq2 5693	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑘))
9	8	cbvsumv 12110	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘)
10	3	sumeq2dv 12117	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
11	9, 10	eqtrid 2283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
12	7, 11	breqtrrd 4156	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗))
13	3, 4	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
14		isumge0.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
15	14, 3	breqtrrd 4156	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
16	1, 2, 12, 13, 15	iserge0 12092	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗))
17	16, 11	breqtrd 4154	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  dom cdm 4772  ‘cfv 5375  ℝcr 8172  0cc0 8173   + caddc 8176   ≤ cle 8355  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904  seqcseq 10867   ⇝ cli 12027  Σcsu 12102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-ihash 11198  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103

This theorem is referenced by:  mertenslemi1  12285  mertenslem2  12286  log2tlbndlog2  16065  trilpolemlt1  17064  nconstwlpolemgt0  17088