Theorem isumge0 12014

Description: An infinite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumrecl.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumrecl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumrecl.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumrecl.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
isumrecl.5	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
isumge0.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
isumge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumge0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumrecl.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumrecl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		isumrecl.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
4		isumrecl.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	recnd 8213	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		isumrecl.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
7	1, 2, 3, 5, 6	isumclim2 12006	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
8		fveq2 5642	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑘))
9	8	cbvsumv 11944	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘)
10	3	sumeq2dv 11951	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
11	9, 10	eqtrid 2275	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
12	7, 11	breqtrrd 4117	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗))
13	3, 4	eqeltrd 2307	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
14		isumge0.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
15	14, 3	breqtrrd 4117	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
16	1, 2, 12, 13, 15	iserge0 11926	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗))
17	16, 11	breqtrd 4115	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  dom cdm 4727  ‘cfv 5328  ℝcr 8036  0cc0 8037   + caddc 8040   ≤ cle 8220  ℤcz 9484  ℤ_≥cuz 9760  seqcseq 10715   ⇝ cli 11861  Σcsu 11936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-caucvg 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-isom 5337  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-irdg 6541  df-frec 6562  df-1o 6587  df-oadd 6591  df-er 6707  df-en 6915  df-dom 6916  df-fin 6917  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-fz 10249  df-fzo 10383  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-ihash 11044  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582  df-clim 11862  df-sumdc 11937

This theorem is referenced by:  mertenslemi1  12119  mertenslem2  12120  trilpolemlt1  16712  nconstwlpolemgt0  16736