Theorem nconstwlpo 16779

Description: Existence of a certain non-constant function from reals to integers implies ω ∈ WOmni (the Weak Limited Principle of Omniscience or WLPO). Based on Exercise 11.6(ii) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 22-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
nconstwlpo.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
nconstwlpo.rp	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpo	⊢ (𝜑 → ω ∈ WOmni)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹

Proof of Theorem nconstwlpo

Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nconstwlpo.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
2	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
3		nconstwlpo.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → (𝐹‘0) = 0)
5		nconstwlpo.rp	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
6	5	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
7		elmapi 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ) → 𝑔:ℕ⟶{0, 1})
8	7	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → 𝑔:ℕ⟶{0, 1})
9		oveq2 6036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (2↑𝑖) = (2↑𝑗))
10	9	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (1 / (2↑𝑖)) = (1 / (2↑𝑗)))
11		fveq2 5648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑔‘𝑖) = (𝑔‘𝑗))
12	10, 11	oveq12d 6046	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑔‘𝑖)) = ((1 / (2↑𝑗)) · (𝑔‘𝑗)))
13	12	cbvsumv 11982	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑔‘𝑖)) = Σ𝑗 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑗)) · (𝑔‘𝑗))
14	2, 4, 6, 8, 13	nconstwlpolem 16778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0))
15		df-dc 843	. . . . 5 ⊢ (DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0 ↔ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0))
16	14, 15	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0)
17	16	ralrimiva 2606	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0)
18		nnex 9192	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
19		iswomni0 16764	. . . 4 ⊢ (ℕ ∈ V → (ℕ ∈ WOmni ↔ ∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0))
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℕ ∈ WOmni ↔ ∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0)
21	17, 20	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ WOmni)
22		nnenom 10740	. . 3 ⊢ ℕ ≈ ω
23		enwomni 7412	. . 3 ⊢ (ℕ ≈ ω → (ℕ ∈ WOmni ↔ ω ∈ WOmni))
24	22, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℕ ∈ WOmni ↔ ω ∈ WOmni)
25	21, 24	sylib 122	1 ⊢ (𝜑 → ω ∈ WOmni)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  ∀wral 2511  Vcvv 2803  {cpr 3674   class class class wbr 4093  ωcom 4694  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   ↑_𝑚 cmap 6860   ≈ cen 6950  WOmnicwomni 7405  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   · cmul 8080   / cdiv 8895  ℕcn 9186  2c2 9237  ℤcz 9522  ℝ⁺crp 9931  ↑cexp 10844  Σcsu 11974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-womni 7406  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-ico 10172  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-ihash 11082  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-clim 11900  df-sumdc 11975

This theorem is referenced by: (None)