Theorem nconstwlpo 16620

Description: Existence of a certain non-constant function from reals to integers implies ω ∈ WOmni (the Weak Limited Principle of Omniscience or WLPO). Based on Exercise 11.6(ii) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 22-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
nconstwlpo.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
nconstwlpo.rp	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpo	⊢ (𝜑 → ω ∈ WOmni)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹

Proof of Theorem nconstwlpo

Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nconstwlpo.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
2	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
3		nconstwlpo.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → (𝐹‘0) = 0)
5		nconstwlpo.rp	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
6	5	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
7		elmapi 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ) → 𝑔:ℕ⟶{0, 1})
8	7	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → 𝑔:ℕ⟶{0, 1})
9		oveq2 6021	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (2↑𝑖) = (2↑𝑗))
10	9	oveq2d 6029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (1 / (2↑𝑖)) = (1 / (2↑𝑗)))
11		fveq2 5635	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑔‘𝑖) = (𝑔‘𝑗))
12	10, 11	oveq12d 6031	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑔‘𝑖)) = ((1 / (2↑𝑗)) · (𝑔‘𝑗)))
13	12	cbvsumv 11915	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑔‘𝑖)) = Σ𝑗 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑗)) · (𝑔‘𝑗))
14	2, 4, 6, 8, 13	nconstwlpolem 16619	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0))
15		df-dc 840	. . . . 5 ⊢ (DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0 ↔ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0))
16	14, 15	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0)
17	16	ralrimiva 2603	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0)
18		nnex 9142	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
19		iswomni0 16605	. . . 4 ⊢ (ℕ ∈ V → (ℕ ∈ WOmni ↔ ∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0))
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℕ ∈ WOmni ↔ ∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0)
21	17, 20	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ WOmni)
22		nnenom 10689	. . 3 ⊢ ℕ ≈ ω
23		enwomni 7363	. . 3 ⊢ (ℕ ≈ ω → (ℕ ∈ WOmni ↔ ω ∈ WOmni))
24	22, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℕ ∈ WOmni ↔ ω ∈ WOmni)
25	21, 24	sylib 122	1 ⊢ (𝜑 → ω ∈ WOmni)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∀wral 2508  Vcvv 2800  {cpr 3668   class class class wbr 4086  ωcom 4686  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   ↑_𝑚 cmap 6812   ≈ cen 6902  WOmnicwomni 7356  ℝcr 8024  0cc0 8025  1c1 8026   · cmul 8030   / cdiv 8845  ℕcn 9136  2c2 9187  ℤcz 9472  ℝ⁺crp 9881  ↑cexp 10793  Σcsu 11907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-er 6697  df-map 6814  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-womni 7357  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-ico 10122  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-ihash 11031  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-clim 11833  df-sumdc 11908

This theorem is referenced by: (None)