Theorem nconstwlpo 17332

Description: Existence of a certain non-constant function from reals to integers implies ω ∈ WOmni (the Weak Limited Principle of Omniscience or WLPO). Based on Exercise 11.6(ii) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 22-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
nconstwlpo.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
nconstwlpo.rp	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpo	⊢ (𝜑 → ω ∈ WOmni)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹

Proof of Theorem nconstwlpo

Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nconstwlpo.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
2	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
3		nconstwlpo.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → (𝐹‘0) = 0)
5		nconstwlpo.rp	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
6	5	adantlr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
7		elmapi 6949	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ) → 𝑔:ℕ⟶{0, 1})
8	7	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → 𝑔:ℕ⟶{0, 1})
9		oveq2 6096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (2↑𝑖) = (2↑𝑗))
10	9	oveq2d 6104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (1 / (2↑𝑖)) = (1 / (2↑𝑗)))
11		fveq2 5698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑔‘𝑖) = (𝑔‘𝑗))
12	10, 11	oveq12d 6106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑔‘𝑖)) = ((1 / (2↑𝑗)) · (𝑔‘𝑗)))
13	12	cbvsumv 12150	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑔‘𝑖)) = Σ𝑗 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑗)) · (𝑔‘𝑗))
14	2, 4, 6, 8, 13	nconstwlpolem 17331	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0))
15		df-dc 847	. . . . 5 ⊢ (DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0 ↔ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0))
16	14, 15	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0)
17	16	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0)
18		nnex 9318	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
19		iswomni0 17317	. . . 4 ⊢ (ℕ ∈ V → (ℕ ∈ WOmni ↔ ∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0))
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℕ ∈ WOmni ↔ ∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0)
21	17, 20	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ WOmni)
22		nnenom 10890	. . 3 ⊢ ℕ ≈ ω
23		enwomni 7515	. . 3 ⊢ (ℕ ≈ ω → (ℕ ∈ WOmni ↔ ω ∈ WOmni))
24	22, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℕ ∈ WOmni ↔ ω ∈ WOmni)
25	21, 24	sylib 122	1 ⊢ (𝜑 → ω ∈ WOmni)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528  Vcvv 2821  {cpr 3710   class class class wbr 4131  ωcom 4739  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ↑_𝑚 cmap 6927   ≈ cen 7026  WOmnicwomni 7508  ℝcr 8183  0cc0 8184  1c1 8185   · cmul 8189   / cdiv 9009  ℕcn 9312  2c2 9363  ℤcz 9652  ℝ⁺crp 10069  ↑cexp 10994  Σcsu 12142

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8275  ax-resscn 8276  ax-1cn 8277  ax-1re 8278  ax-icn 8279  ax-addcl 8280  ax-addrcl 8281  ax-mulcl 8282  ax-mulrcl 8283  ax-addcom 8284  ax-mulcom 8285  ax-addass 8286  ax-mulass 8287  ax-distr 8288  ax-i2m1 8289  ax-0lt1 8290  ax-1rid 8291  ax-0id 8292  ax-rnegex 8293  ax-precex 8294  ax-cnre 8295  ax-pre-ltirr 8296  ax-pre-ltwlin 8297  ax-pre-lttrn 8298  ax-pre-apti 8299  ax-pre-ltadd 8300  ax-pre-mulgt0 8301  ax-pre-mulext 8302  ax-arch 8303  ax-caucvg 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-irdg 6646  df-frec 6667  df-1o 6692  df-2o 6693  df-oadd 6696  df-er 6812  df-map 6929  df-en 7029  df-dom 7030  df-fin 7031  df-womni 7509  df-pnf 8367  df-mnf 8368  df-xr 8369  df-ltxr 8370  df-le 8371  df-sub 8505  df-neg 8506  df-reap 8910  df-ap 8917  df-div 9010  df-inn 9313  df-2 9371  df-3 9372  df-4 9373  df-n0 9574  df-z 9653  df-uz 9936  df-q 10034  df-rp 10070  df-ico 10311  df-fz 10427  df-fzo 10565  df-seqfrec 10904  df-exp 10995  df-ihash 11235  df-cj 11627  df-re 11628  df-im 11629  df-rsqrt 11784  df-abs 11785  df-clim 12068  df-sumdc 12143

This theorem is used by: (None)