Theorem nconstwlpo 16696

Description: Existence of a certain non-constant function from reals to integers implies ω ∈ WOmni (the Weak Limited Principle of Omniscience or WLPO). Based on Exercise 11.6(ii) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 22-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
nconstwlpo.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
nconstwlpo.rp	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpo	⊢ (𝜑 → ω ∈ WOmni)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹

Proof of Theorem nconstwlpo

Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nconstwlpo.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
2	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
3		nconstwlpo.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → (𝐹‘0) = 0)
5		nconstwlpo.rp	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
6	5	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
7		elmapi 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ) → 𝑔:ℕ⟶{0, 1})
8	7	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → 𝑔:ℕ⟶{0, 1})
9		oveq2 6026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (2↑𝑖) = (2↑𝑗))
10	9	oveq2d 6034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (1 / (2↑𝑖)) = (1 / (2↑𝑗)))
11		fveq2 5639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑔‘𝑖) = (𝑔‘𝑗))
12	10, 11	oveq12d 6036	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑔‘𝑖)) = ((1 / (2↑𝑗)) · (𝑔‘𝑗)))
13	12	cbvsumv 11926	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑔‘𝑖)) = Σ𝑗 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑗)) · (𝑔‘𝑗))
14	2, 4, 6, 8, 13	nconstwlpolem 16695	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0))
15		df-dc 842	. . . . 5 ⊢ (DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0 ↔ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0))
16	14, 15	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0)
17	16	ralrimiva 2605	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0)
18		nnex 9149	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
19		iswomni0 16681	. . . 4 ⊢ (ℕ ∈ V → (ℕ ∈ WOmni ↔ ∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0))
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℕ ∈ WOmni ↔ ∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0)
21	17, 20	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ WOmni)
22		nnenom 10697	. . 3 ⊢ ℕ ≈ ω
23		enwomni 7369	. . 3 ⊢ (ℕ ≈ ω → (ℕ ∈ WOmni ↔ ω ∈ WOmni))
24	22, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℕ ∈ WOmni ↔ ω ∈ WOmni)
25	21, 24	sylib 122	1 ⊢ (𝜑 → ω ∈ WOmni)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ∀wral 2510  Vcvv 2802  {cpr 3670   class class class wbr 4088  ωcom 4688  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018   ↑_𝑚 cmap 6817   ≈ cen 6907  WOmnicwomni 7362  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033   · cmul 8037   / cdiv 8852  ℕcn 9143  2c2 9194  ℤcz 9479  ℝ⁺crp 9888  ↑cexp 10801  Σcsu 11918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-er 6702  df-map 6819  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-womni 7363  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-ico 10129  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-ihash 11039  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-clim 11844  df-sumdc 11919

This theorem is referenced by: (None)