Theorem nconstwlpo 15710

Description: Existence of a certain non-constant function from reals to integers implies ω ∈ WOmni (the Weak Limited Principle of Omniscience or WLPO). Based on Exercise 11.6(ii) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 22-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
nconstwlpo.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
nconstwlpo.rp	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpo	⊢ (𝜑 → ω ∈ WOmni)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹

Proof of Theorem nconstwlpo

Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nconstwlpo.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
2	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → 𝐹:ℝ⟶ℤ)
3		nconstwlpo.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → (𝐹‘0) = 0)
5		nconstwlpo.rp	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
6	5	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑥) ≠ 0)
7		elmapi 6729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ) → 𝑔:ℕ⟶{0, 1})
8	7	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → 𝑔:ℕ⟶{0, 1})
9		oveq2 5930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (2↑𝑖) = (2↑𝑗))
10	9	oveq2d 5938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (1 / (2↑𝑖)) = (1 / (2↑𝑗)))
11		fveq2 5558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑔‘𝑖) = (𝑔‘𝑗))
12	10, 11	oveq12d 5940	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑔‘𝑖)) = ((1 / (2↑𝑗)) · (𝑔‘𝑗)))
13	12	cbvsumv 11526	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑔‘𝑖)) = Σ𝑗 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑗)) · (𝑔‘𝑗))
14	2, 4, 6, 8, 13	nconstwlpolem 15709	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0))
15		df-dc 836	. . . . 5 ⊢ (DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0 ↔ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0 ∨ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0))
16	14, 15	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0)
17	16	ralrimiva 2570	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0)
18		nnex 8996	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
19		iswomni0 15695	. . . 4 ⊢ (ℕ ∈ V → (ℕ ∈ WOmni ↔ ∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0))
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℕ ∈ WOmni ↔ ∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)DECID ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑔‘𝑦) = 0)
21	17, 20	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ WOmni)
22		nnenom 10526	. . 3 ⊢ ℕ ≈ ω
23		enwomni 7236	. . 3 ⊢ (ℕ ≈ ω → (ℕ ∈ WOmni ↔ ω ∈ WOmni))
24	22, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℕ ∈ WOmni ↔ ω ∈ WOmni)
25	21, 24	sylib 122	1 ⊢ (𝜑 → ω ∈ WOmni)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∀wral 2475  Vcvv 2763  {cpr 3623   class class class wbr 4033  ωcom 4626  ⟶wf 5254  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922   ↑_𝑚 cmap 6707   ≈ cen 6797  WOmnicwomni 7229  ℝcr 7878  0cc0 7879  1c1 7880   · cmul 7884   / cdiv 8699  ℕcn 8990  2c2 9041  ℤcz 9326  ℝ⁺crp 9728  ↑cexp 10630  Σcsu 11518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6592  df-map 6709  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-womni 7230  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-ico 9969  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519

This theorem is referenced by: (None)