Theorem elab2g 2973

Description: Membership in a class abstraction, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
elab2g.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
elab2g.2	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝜑}

Assertion

Ref	Expression
elab2g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem elab2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elab2g.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝜑}
2	1	eleq2i 2305	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑})
3		elab2g.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	3	elabg 2972	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ 𝜓))
5	2, 4	bitrid 192	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823

This theorem is referenced by:  elab2  2974  elab4g  2975  eldif  3229  elun  3370  elin  3412  elif  3652  elsng  3723  elprg  3728  eluni  3936  eliun  4014  eliin  4015  elopab  4398  elong  4516  opeliunxp  4828  elrn2g  4968  eldmg  4974  elrnmpt  5029  elrnmpt1  5031  elimag  5128  elrnmpog  6195  eloprabi  6426  tfrlem3ag  6574  tfr1onlem3ag  6602  tfrcllemsucaccv  6619  elqsg  6853  elixp2  6978  isomni  7470  ismkv  7487  iswomni  7499  isacnm  7553  1idprl  7951  1idpru  7952  recexprlemell  7983  recexprlemelu  7984  mertenslemub  12284  mertenslemi1  12285  mertenslem2  12286  4sqexercise1  13160  4sqexercise2  13161  4sqlemsdc  13162  ballotfilemfmpn  13217  ismgm  13660  istopg  15083  isbasisg  15128  2sqlem8  16225  2sqlem9  16226  isuhgrm  16295  isushgrm  16296  isupgren  16319  isumgren  16329  isuspgren  16381  isusgren  16382