Theorem elab2g 2966

Description: Membership in a class abstraction, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
elab2g.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
elab2g.2	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝜑}

Assertion

Ref	Expression
elab2g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem elab2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elab2g.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝜑}
2	1	eleq2i 2301	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑})
3		elab2g.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	3	elabg 2965	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ 𝜓))
5	2, 4	bitrid 192	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {cab 2220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817

This theorem is referenced by:  elab2  2967  elab4g  2968  eldif  3222  elun  3362  elin  3404  elif  3636  elsng  3706  elprg  3711  eluni  3919  eliun  3997  eliin  3998  elopab  4378  elong  4496  opeliunxp  4807  elrn2g  4947  eldmg  4953  elrnmpt  5008  elrnmpt1  5010  elimag  5107  elrnmpog  6168  eloprabi  6394  tfrlem3ag  6542  tfr1onlem3ag  6570  tfrcllemsucaccv  6587  elqsg  6821  elixp2  6939  isomni  7429  ismkv  7446  iswomni  7458  isacnm  7512  1idprl  7910  1idpru  7911  recexprlemell  7942  recexprlemelu  7943  mertenslemub  12228  mertenslemi1  12229  mertenslem2  12230  4sqexercise1  13104  4sqexercise2  13105  4sqlemsdc  13106  ballotfilemfmpn  13159  ismgm  13591  istopg  14913  isbasisg  14958  2sqlem8  16045  2sqlem9  16046  isuhgrm  16115  isushgrm  16116  isupgren  16139  isumgren  16149  isuspgren  16201  isusgren  16202