Theorem elab2g 2973

Description: Membership in a class abstraction, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
elab2g.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
elab2g.2	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝜑}

Assertion

Ref	Expression
elab2g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem elab2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elab2g.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝜑}
2	1	eleq2i 2305	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑})
3		elab2g.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	3	elabg 2972	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ 𝜓))
5	2, 4	bitrid 192	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝜓))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823

This theorem is used by:  elab2  2974  elab4g  2975  eldif  3229  elun  3370  elin  3412  elif  3652  elsng  3724  elprg  3729  eluni  3938  eliun  4016  eliin  4017  elopab  4402  elong  4520  opeliunxp  4832  elrn2g  4972  eldmg  4978  elrnmpt  5033  elrnmpt1  5035  elimag  5133  elrnmpog  6204  eloprabi  6436  tfrlem3ag  6585  tfr1onlem3ag  6613  tfrcllemsucaccv  6630  elqsg  6864  elixp2  6990  isomni  7483  ismkv  7500  iswomni  7512  isacnm  7566  1idprl  7964  1idpru  7965  recexprlemell  7996  recexprlemelu  7997  mertenslemub  12326  mertenslemi1  12327  mertenslem2  12328  4sqexercise1  13206  4sqexercise2  13207  4sqlemsdc  13208  ballotfilemfmpn  13292  ismgm  13736  istopg  15258  isbasisg  15303  2sqlem8  16480  2sqlem9  16481  isuhgrm  16550  isushgrm  16551  isupgren  16574  isumgren  16584  isuspgren  16636  isusgren  16637