ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2sqlem9 GIF version

Theorem 2sqlem9 14127
Description: Lemma for 2sq . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem7.2 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}
2sqlem9.5 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...(𝑀 − 1))∀𝑎𝑌 (𝑏𝑎𝑏𝑆))
2sqlem9.7 (𝜑𝑀𝑁)
2sqlem9.6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2sqlem9.4 (𝜑𝑁𝑌)
Assertion
Ref Expression
2sqlem9 (𝜑𝑀𝑆)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦   𝑀,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧   𝑌,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑤)   𝑀(𝑤)   𝑁(𝑤,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 2sqlem9
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem9.4 . . 3 (𝜑𝑁𝑌)
2 eqeq1 2184 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑁 → (𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ 𝑁 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
32anbi2d 464 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑁 → (((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
432rexbidv 2502 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑁 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
5 oveq1 5876 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 gcd 𝑦) = (𝑢 gcd 𝑦))
65eqeq1d 2186 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑢 → ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ↔ (𝑢 gcd 𝑦) = 1))
7 oveq1 5876 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥↑2) = (𝑢↑2))
87oveq1d 5884 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑢 → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑢↑2) + (𝑦↑2)))
98eqeq2d 2189 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑢 → (𝑁 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑦↑2))))
106, 9anbi12d 473 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑢 → (((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝑢 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑦↑2)))))
11 oveq2 5877 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 → (𝑢 gcd 𝑦) = (𝑢 gcd 𝑣))
1211eqeq1d 2186 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 → ((𝑢 gcd 𝑦) = 1 ↔ (𝑢 gcd 𝑣) = 1))
13 oveq1 5876 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑣 → (𝑦↑2) = (𝑣↑2))
1413oveq2d 5885 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 → ((𝑢↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2)))
1514eqeq2d 2189 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 → (𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑦↑2)) ↔ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2))))
1612, 15anbi12d 473 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑣 → (((𝑢 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2)))))
1710, 16cbvrex2vw 2715 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ ((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2))))
184, 17bitrdi 196 . . . . 5 (𝑧 = 𝑁 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ ((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2)))))
19 2sqlem7.2 . . . . 5 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}
2018, 19elab2g 2884 . . . 4 (𝑁𝑌 → (𝑁𝑌 ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ ((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2)))))
2120ibi 176 . . 3 (𝑁𝑌 → ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ ((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2))))
221, 21syl 14 . 2 (𝜑 → ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ ((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2))))
23 simpr 110 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2)))) ∧ 𝑀 = 1) → 𝑀 = 1)
24 1z 9268 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
25 zgz 12354 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ[i])
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ[i]
27 sq1 10599 . . . . . . . . 9 (1↑2) = 1
2827eqcomi 2181 . . . . . . . 8 1 = (1↑2)
29 fveq2 5511 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = (abs‘1))
30 abs1 11065 . . . . . . . . . . 11 (abs‘1) = 1
3129, 30eqtrdi 2226 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = 1)
3231oveq1d 5884 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → ((abs‘𝑥)↑2) = (1↑2))
3332rspceeqv 2859 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ[i] ∧ 1 = (1↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 1 = ((abs‘𝑥)↑2))
3426, 28, 33mp2an 426 . . . . . . 7 𝑥 ∈ ℤ[i] 1 = ((abs‘𝑥)↑2)
35 2sq.1 . . . . . . . 8 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
36352sqlem1 14117 . . . . . . 7 (1 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ[i] 1 = ((abs‘𝑥)↑2))
3734, 36mpbir 146 . . . . . 6 1 ∈ 𝑆
3823, 37eqeltrdi 2268 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2)))) ∧ 𝑀 = 1) → 𝑀𝑆)
39 2sqlem9.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...(𝑀 − 1))∀𝑎𝑌 (𝑏𝑎𝑏𝑆))
4039ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ (((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2))) ∧ 𝑀 ≠ 1)) → ∀𝑏 ∈ (1...(𝑀 − 1))∀𝑎𝑌 (𝑏𝑎𝑏𝑆))
41 2sqlem9.7 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑁)
4241ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ (((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2))) ∧ 𝑀 ≠ 1)) → 𝑀𝑁)
4335, 192sqlem7 14124 . . . . . . . . . 10 𝑌 ⊆ (𝑆 ∩ ℕ)
44 inss2 3356 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∩ ℕ) ⊆ ℕ
4543, 44sstri 3164 . . . . . . . . 9 𝑌 ⊆ ℕ
4645, 1sselid 3153 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4746ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ (((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2))) ∧ 𝑀 ≠ 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
48 2sqlem9.6 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4948ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ (((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2))) ∧ 𝑀 ≠ 1)) → 𝑀 ∈ ℕ)
50 simprr 531 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ (((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2))) ∧ 𝑀 ≠ 1)) → 𝑀 ≠ 1)
51 eluz2b3 9593 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≠ 1))
5249, 50, 51sylanbrc 417 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ (((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2))) ∧ 𝑀 ≠ 1)) → 𝑀 ∈ (ℤ‘2))
53 simplrl 535 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ (((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2))) ∧ 𝑀 ≠ 1)) → 𝑢 ∈ ℤ)
54 simplrr 536 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ (((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2))) ∧ 𝑀 ≠ 1)) → 𝑣 ∈ ℤ)
55 simprll 537 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ (((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2))) ∧ 𝑀 ≠ 1)) → (𝑢 gcd 𝑣) = 1)
56 simprlr 538 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ (((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2))) ∧ 𝑀 ≠ 1)) → 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2)))
57 eqid 2177 . . . . . . 7 (((𝑢 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑢 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
58 eqid 2177 . . . . . . 7 (((𝑣 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (((𝑣 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
59 eqid 2177 . . . . . . 7 ((((𝑢 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) / ((((𝑢 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) gcd (((𝑣 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)))) = ((((𝑢 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) / ((((𝑢 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) gcd (((𝑣 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))))
60 eqid 2177 . . . . . . 7 ((((𝑣 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) / ((((𝑢 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) gcd (((𝑣 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)))) = ((((𝑣 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) / ((((𝑢 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) gcd (((𝑣 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))))
6135, 19, 40, 42, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 602sqlem8 14126 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ (((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2))) ∧ 𝑀 ≠ 1)) → 𝑀𝑆)
6261anassrs 400 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2)))) ∧ 𝑀 ≠ 1) → 𝑀𝑆)
6348nnzd 9363 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6463ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
65 zdceq 9317 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 1)
6664, 24, 65sylancl 413 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2)))) → DECID 𝑀 = 1)
67 dcne 2358 . . . . . 6 (DECID 𝑀 = 1 ↔ (𝑀 = 1 ∨ 𝑀 ≠ 1))
6866, 67sylib 122 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2)))) → (𝑀 = 1 ∨ 𝑀 ≠ 1))
6938, 62, 68mpjaodan 798 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2)))) → 𝑀𝑆)
7069ex 115 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → (((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2))) → 𝑀𝑆))
7170rexlimdvva 2602 . 2 (𝜑 → (∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ ((𝑢 gcd 𝑣) = 1 ∧ 𝑁 = ((𝑢↑2) + (𝑣↑2))) → 𝑀𝑆))
7222, 71mpd 13 1 (𝜑𝑀𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  {cab 2163  wne 2347  wral 2455  wrex 2456  cin 3128   class class class wbr 4000  cmpt 4061  ran crn 4624  cfv 5212  (class class class)co 5869  1c1 7803   + caddc 7805  cmin 8118   / cdiv 8618  cn 8908  2c2 8959  cz 9242  cuz 9517  ...cfz 9995   mod cmo 10308  cexp 10505  abscabs 10990  cdvds 11778   gcd cgcd 11926  ℤ[i]cgz 12350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-en 6735  df-sup 6977  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-prm 12091  df-gz 12351
This theorem is referenced by:  2sqlem10  14128
  Copyright terms: Public domain W3C validator