ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1idprl GIF version

Theorem 1idprl 7588
Description: Lemma for 1idpr 7590. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
1idprl (๐ด โˆˆ P โ†’ (1st โ€˜(๐ด ยทP 1P)) = (1st โ€˜๐ด))

Proof of Theorem 1idprl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘“ ๐‘” are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3175 . . . . . 6 (1st โ€˜1P) โŠ† (1st โ€˜1P)
2 rexss 3222 . . . . . 6 ((1st โ€˜1P) โŠ† (1st โ€˜1P) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)(๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 (โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)(๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)))
4 1pr 7552 . . . . . . . . . . 11 1P โˆˆ P
5 prop 7473 . . . . . . . . . . . 12 (1P โˆˆ P โ†’ โŸจ(1st โ€˜1P), (2nd โ€˜1P)โŸฉ โˆˆ P)
6 elprnql 7479 . . . . . . . . . . . 12 ((โŸจ(1st โ€˜1P), (2nd โ€˜1P)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)) โ†’ ๐‘” โˆˆ Q)
75, 6sylan 283 . . . . . . . . . . 11 ((1P โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)) โ†’ ๐‘” โˆˆ Q)
84, 7mpan 424 . . . . . . . . . 10 (๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P) โ†’ ๐‘” โˆˆ Q)
9 prop 7473 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ P โ†’ โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P)
10 elprnql 7479 . . . . . . . . . . . 12 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ Q)
119, 10sylan 283 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ Q)
12 breq1 4006 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†” (๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘“))
13123ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†” (๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘“))
14 1prl 7553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1st โ€˜1P) = {๐‘” โˆฃ ๐‘” <Q 1Q}
1514abeq2i 2288 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P) โ†” ๐‘” <Q 1Q)
16 1nq 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1Q โˆˆ Q
17 ltmnqg 7399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง 1Q โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘” <Q 1Q โ†” (๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q (๐‘“ ยทQ 1Q)))
1816, 17mp3an2 1325 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘” <Q 1Q โ†” (๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q (๐‘“ ยทQ 1Q)))
1918ancoms 268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q) โ†’ (๐‘” <Q 1Q โ†” (๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q (๐‘“ ยทQ 1Q)))
20 mulidnq 7387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (๐‘“ ยทQ 1Q) = ๐‘“)
2120breq2d 4015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ ((๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q (๐‘“ ยทQ 1Q) โ†” (๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘“))
2221adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q (๐‘“ ยทQ 1Q) โ†” (๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘“))
2319, 22bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q) โ†’ (๐‘” <Q 1Q โ†” (๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘“))
2415, 23bitr2id 193 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘“ โ†” ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)))
25243adant3 1017 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†’ ((๐‘“ ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘“ โ†” ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)))
2613, 25bitrd 188 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘” โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†” ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)))
2711, 26syl3an1 1271 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘” โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†” ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)))
288, 27syl3an2 1272 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†” ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)))
29283expia 1205 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†” ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P))))
3029pm5.32rd 451 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)) โ†’ ((๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†” (๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
3130rexbidva 2474 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)(๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)(๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
32 r19.42v 2634 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)(๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†” (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)))
3331, 32bitr3di 195 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)(๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†” (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
343, 33bitrid 192 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โ†” (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
3534rexbidva 2474 . . 3 (๐ด โˆˆ P โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)(๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
36 df-imp 7467 . . . . 5 ยทP = (๐‘ฆ โˆˆ P, ๐‘ง โˆˆ P โ†ฆ โŸจ{๐‘ค โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘ข โˆˆ Q โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ Q (๐‘ข โˆˆ (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐‘ง) โˆง ๐‘ค = (๐‘ข ยทQ ๐‘ฃ))}, {๐‘ค โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘ข โˆˆ Q โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ Q (๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ง) โˆง ๐‘ค = (๐‘ข ยทQ ๐‘ฃ))}โŸฉ)
37 mulclnq 7374 . . . . 5 ((๐‘ข โˆˆ Q โˆง ๐‘ฃ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ข ยทQ ๐‘ฃ) โˆˆ Q)
3836, 37genpelvl 7510 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง 1P โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP 1P)) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)))
394, 38mpan2 425 . . 3 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP 1P)) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)))
40 prnmaxl 7486 . . . . . . 7 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฅ <Q ๐‘“)
419, 40sylan 283 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฅ <Q ๐‘“)
42 ltrelnq 7363 . . . . . . . . . . . . 13 <Q โŠ† (Q ร— Q)
4342brel 4678 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q))
44 ltmnqg 7399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฆ <Q ๐‘ง โ†” (๐‘ค ยทQ ๐‘ฆ) <Q (๐‘ค ยทQ ๐‘ง)))
4544adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q)) โ†’ (๐‘ฆ <Q ๐‘ง โ†” (๐‘ค ยทQ ๐‘ฆ) <Q (๐‘ค ยทQ ๐‘ง)))
46 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ Q)
47 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ ๐‘“ โˆˆ Q)
48 recclnq 7390 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜๐‘“) โˆˆ Q)
4948adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (*Qโ€˜๐‘“) โˆˆ Q)
50 mulcomnqg 7381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ))
5150adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q)) โ†’ (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ))
5245, 46, 47, 49, 51caovord2d 6043 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) <Q (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
53 recidnq 7391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) = 1Q)
5453breq2d 4015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) <Q (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) <Q 1Q))
5554adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) <Q (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) <Q 1Q))
5652, 55bitrd 188 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) <Q 1Q))
5756biimpd 144 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) <Q 1Q))
5843, 57mpcom 36 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) <Q 1Q)
59 mulclnq 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜๐‘“) โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ Q)
6048, 59sylan2 286 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ Q)
6143, 60syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ Q)
62 breq1 4006 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘” = (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โ†’ (๐‘” <Q 1Q โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) <Q 1Q))
6362, 14elab2g 2884 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ Q โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ (1st โ€˜1P) โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) <Q 1Q))
6461, 63syl 14 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ (1st โ€˜1P) โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) <Q 1Q))
6558, 64mpbird 167 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ (1st โ€˜1P))
66 mulassnqg 7382 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) = (๐‘ฆ ยทQ (๐‘ง ยทQ ๐‘ค)))
6766adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) = (๐‘ฆ ยทQ (๐‘ง ยทQ ๐‘ค)))
6847, 46, 49, 51, 67caov12d 6055 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))) = (๐‘ฅ ยทQ (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
6953oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))) = (๐‘ฅ ยทQ 1Q))
7069adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))) = (๐‘ฅ ยทQ 1Q))
71 mulidnq 7387 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ 1Q) = ๐‘ฅ)
7271adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ 1Q) = ๐‘ฅ)
7368, 70, 723eqtrrd 2215 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
7443, 73syl 14 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
75 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โ†’ (๐‘“ ยทQ ๐‘”) = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
7675eqeq2d 2189 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”) โ†” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)))))
7776rspcev 2841 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ (1st โ€˜1P) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)))) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))
7865, 74, 77syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))
7978a1i 9 . . . . . . . 8 (๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)))
8079ancld 325 . . . . . . 7 (๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
8180reximia 2572 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)(๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)))
8241, 81syl 14 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)(๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)))
8382ex 115 . . . 4 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)(๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
84 prcdnql 7482 . . . . . . 7 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)))
859, 84sylan 283 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘“ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)))
8685adantrd 279 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)))
8786rexlimdva 2594 . . . 4 (๐ด โˆˆ P โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)(๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)))
8883, 87impbid 129 . . 3 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)(๐‘ฅ <Q ๐‘“ โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ (1st โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ ๐‘”))))
8935, 39, 883bitr4d 220 . 2 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP 1P)) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (1st โ€˜๐ด)))
9089eqrdv 2175 1 (๐ด โˆˆ P โ†’ (1st โ€˜(๐ด ยทP 1P)) = (1st โ€˜๐ด))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   โŠ† wss 3129  โŸจcop 3595   class class class wbr 4003  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  1st c1st 6138  2nd c2nd 6139  Qcnq 7278  1Qc1q 7279   ยทQ cmq 7281  *Qcrq 7282   <Q cltq 7283  Pcnp 7289  1Pc1p 7290   ยทP cmp 7292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-lti 7305  df-plpq 7342  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-plqqs 7347  df-mqqs 7348  df-1nqqs 7349  df-rq 7350  df-ltnqqs 7351  df-inp 7464  df-i1p 7465  df-imp 7467
This theorem is referenced by:  1idpr  7590
  Copyright terms: Public domain W3C validator