ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1idpru GIF version

Theorem 1idpru 7604
Description: Lemma for 1idpr 7605. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
1idpru (๐ด โˆˆ P โ†’ (2nd โ€˜(๐ด ยทP 1P)) = (2nd โ€˜๐ด))

Proof of Theorem 1idpru
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘“ โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3187 . . . . . 6 (2nd โ€˜1P) โІ (2nd โ€˜1P)
2 rexss 3234 . . . . . 6 ((2nd โ€˜1P) โІ (2nd โ€˜1P) โ†’ (โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž) โ†” โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)(โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž))))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 (โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž) โ†” โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)(โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
4 1pr 7567 . . . . . . . . . . 11 1P โˆˆ P
5 prop 7488 . . . . . . . . . . . 12 (1P โˆˆ P โ†’ โŸจ(1st โ€˜1P), (2nd โ€˜1P)โŸฉ โˆˆ P)
6 elprnqu 7495 . . . . . . . . . . . 12 ((โŸจ(1st โ€˜1P), (2nd โ€˜1P)โŸฉ โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)) โ†’ โ„Ž โˆˆ Q)
75, 6sylan 283 . . . . . . . . . . 11 ((1P โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)) โ†’ โ„Ž โˆˆ Q)
84, 7mpan 424 . . . . . . . . . 10 (โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P) โ†’ โ„Ž โˆˆ Q)
9 prop 7488 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ P โ†’ โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P)
10 elprnqu 7495 . . . . . . . . . . . 12 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ Q)
119, 10sylan 283 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ Q)
12 breq2 4019 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†” ๐‘“ <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
13123ad2ant3 1021 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†” ๐‘“ <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
14 1pru 7569 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2nd โ€˜1P) = {โ„Ž โˆฃ 1Q <Q โ„Ž}
1514abeq2i 2298 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P) โ†” 1Q <Q โ„Ž)
16 1nq 7379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1Q โˆˆ Q
17 ltmnqg 7414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1Q โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (1Q <Q โ„Ž โ†” (๐‘“ ยทQ 1Q) <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
1816, 17mp3an1 1334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((โ„Ž โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (1Q <Q โ„Ž โ†” (๐‘“ ยทQ 1Q) <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
1918ancoms 268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (1Q <Q โ„Ž โ†” (๐‘“ ยทQ 1Q) <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
20 mulidnq 7402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (๐‘“ ยทQ 1Q) = ๐‘“)
2120breq1d 4025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ ((๐‘“ ยทQ 1Q) <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž) โ†” ๐‘“ <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
2221adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘“ ยทQ 1Q) <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž) โ†” ๐‘“ <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
2319, 22bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (1Q <Q โ„Ž โ†” ๐‘“ <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
2415, 23bitr2id 193 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž) โ†” โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)))
25243adant3 1018 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)) โ†’ (๐‘“ <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž) โ†” โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)))
2613, 25bitrd 188 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†” โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)))
2711, 26syl3an1 1281 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง โ„Ž โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†” โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)))
288, 27syl3an2 1282 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†” โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)))
29283expia 1206 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†” โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P))))
3029pm5.32rd 451 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)) โ†’ ((๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)) โ†” (โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž))))
3130rexbidva 2484 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)(๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)) โ†” โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)(โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž))))
32 r19.42v 2644 . . . . . 6 (โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)(๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)) โ†” (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
3331, 32bitr3di 195 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)(โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)) โ†” (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž))))
343, 33bitrid 192 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž) โ†” (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž))))
3534rexbidva 2484 . . 3 (๐ด โˆˆ P โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)(๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž))))
36 df-imp 7482 . . . . 5 ยทP = (๐‘ฆ โˆˆ P, ๐‘ง โˆˆ P โ†ฆ โŸจ{๐‘ค โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘ข โˆˆ Q โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ Q (๐‘ข โˆˆ (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐‘ง) โˆง ๐‘ค = (๐‘ข ยทQ ๐‘ฃ))}, {๐‘ค โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘ข โˆˆ Q โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ Q (๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ง) โˆง ๐‘ค = (๐‘ข ยทQ ๐‘ฃ))}โŸฉ)
37 mulclnq 7389 . . . . 5 ((๐‘ข โˆˆ Q โˆง ๐‘ฃ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ข ยทQ ๐‘ฃ) โˆˆ Q)
3836, 37genpelvu 7526 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง 1P โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP 1P)) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
394, 38mpan2 425 . . 3 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP 1P)) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
40 prnminu 7502 . . . . . . 7 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘“ <Q ๐‘ฅ)
419, 40sylan 283 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘“ <Q ๐‘ฅ)
42 ltrelnq 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 <Q โІ (Q ร— Q)
4342brel 4690 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ (๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q))
4443ancomd 267 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q))
45 ltmnqg 7414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฆ <Q ๐‘ง โ†” (๐‘ค ยทQ ๐‘ฆ) <Q (๐‘ค ยทQ ๐‘ง)))
4645adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q)) โ†’ (๐‘ฆ <Q ๐‘ง โ†” (๐‘ค ยทQ ๐‘ฆ) <Q (๐‘ค ยทQ ๐‘ง)))
47 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ ๐‘“ โˆˆ Q)
48 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ Q)
49 recclnq 7405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜๐‘“) โˆˆ Q)
5049adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (*Qโ€˜๐‘“) โˆˆ Q)
51 mulcomnqg 7396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ))
5251adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q)) โ†’ (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ))
5346, 47, 48, 50, 52caovord2d 6058 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†” (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
54 recidnq 7406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) = 1Q)
5554breq1d 4025 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ ((๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โ†” 1Q <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
5655adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โ†” 1Q <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
5753, 56bitrd 188 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†” 1Q <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
5857biimpd 144 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ 1Q <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
5944, 58mpcom 36 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ 1Q <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)))
60 mulclnq 7389 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜๐‘“) โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ Q)
6149, 60sylan2 286 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ Q)
62 breq2 4019 . . . . . . . . . . . . 13 (โ„Ž = (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โ†’ (1Q <Q โ„Ž โ†” 1Q <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
6362, 14elab2g 2896 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ Q โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ (2nd โ€˜1P) โ†” 1Q <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
6444, 61, 633syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ (2nd โ€˜1P) โ†” 1Q <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
6559, 64mpbird 167 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ (2nd โ€˜1P))
66 mulassnqg 7397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) = (๐‘ฆ ยทQ (๐‘ง ยทQ ๐‘ค)))
6766adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) = (๐‘ฆ ยทQ (๐‘ง ยทQ ๐‘ค)))
6847, 48, 50, 52, 67caov12d 6070 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))) = (๐‘ฅ ยทQ (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
6954oveq2d 5904 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))) = (๐‘ฅ ยทQ 1Q))
7069adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))) = (๐‘ฅ ยทQ 1Q))
71 mulidnq 7402 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ 1Q) = ๐‘ฅ)
7271adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ 1Q) = ๐‘ฅ)
7368, 70, 723eqtrrd 2225 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
7444, 73syl 14 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
75 oveq2 5896 . . . . . . . . . . . 12 (โ„Ž = (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โ†’ (๐‘“ ยทQ โ„Ž) = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
7675eqeq2d 2199 . . . . . . . . . . 11 (โ„Ž = (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž) โ†” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)))))
7776rspcev 2853 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ (2nd โ€˜1P) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)))) โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž))
7865, 74, 77syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž))
7978a1i 9 . . . . . . . 8 (๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
8079ancld 325 . . . . . . 7 (๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž))))
8180reximia 2582 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)(๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
8241, 81syl 14 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)(๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
8382ex 115 . . . 4 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)(๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž))))
84 prcunqu 7498 . . . . . . 7 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)))
859, 84sylan 283 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)))
8685adantrd 279 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ ((๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)))
8786rexlimdva 2604 . . . 4 (๐ด โˆˆ P โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)(๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)))
8883, 87impbid 129 . . 3 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)(๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž))))
8935, 39, 883bitr4d 220 . 2 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP 1P)) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)))
9089eqrdv 2185 1 (๐ด โˆˆ P โ†’ (2nd โ€˜(๐ด ยทP 1P)) = (2nd โ€˜๐ด))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โˆƒwrex 2466   โІ wss 3141  โŸจcop 3607   class class class wbr 4015  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  1st c1st 6153  2nd c2nd 6154  Qcnq 7293  1Qc1q 7294   ยทQ cmq 7296  *Qcrq 7297   <Q cltq 7298  Pcnp 7304  1Pc1p 7305   ยทP cmp 7307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-pli 7318  df-mi 7319  df-lti 7320  df-plpq 7357  df-mpq 7358  df-enq 7360  df-nqqs 7361  df-plqqs 7362  df-mqqs 7363  df-1nqqs 7364  df-rq 7365  df-ltnqqs 7366  df-inp 7479  df-i1p 7480  df-imp 7482
This theorem is referenced by:  1idpr  7605
  Copyright terms: Public domain W3C validator