ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1idpru GIF version

Theorem 1idpru 7593
Description: Lemma for 1idpr 7594. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
1idpru (๐ด โˆˆ P โ†’ (2nd โ€˜(๐ด ยทP 1P)) = (2nd โ€˜๐ด))

Proof of Theorem 1idpru
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘“ โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3177 . . . . . 6 (2nd โ€˜1P) โІ (2nd โ€˜1P)
2 rexss 3224 . . . . . 6 ((2nd โ€˜1P) โІ (2nd โ€˜1P) โ†’ (โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž) โ†” โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)(โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž))))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 (โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž) โ†” โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)(โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
4 1pr 7556 . . . . . . . . . . 11 1P โˆˆ P
5 prop 7477 . . . . . . . . . . . 12 (1P โˆˆ P โ†’ โŸจ(1st โ€˜1P), (2nd โ€˜1P)โŸฉ โˆˆ P)
6 elprnqu 7484 . . . . . . . . . . . 12 ((โŸจ(1st โ€˜1P), (2nd โ€˜1P)โŸฉ โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)) โ†’ โ„Ž โˆˆ Q)
75, 6sylan 283 . . . . . . . . . . 11 ((1P โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)) โ†’ โ„Ž โˆˆ Q)
84, 7mpan 424 . . . . . . . . . 10 (โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P) โ†’ โ„Ž โˆˆ Q)
9 prop 7477 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ P โ†’ โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P)
10 elprnqu 7484 . . . . . . . . . . . 12 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ Q)
119, 10sylan 283 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ Q)
12 breq2 4009 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†” ๐‘“ <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
13123ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†” ๐‘“ <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
14 1pru 7558 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2nd โ€˜1P) = {โ„Ž โˆฃ 1Q <Q โ„Ž}
1514abeq2i 2288 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P) โ†” 1Q <Q โ„Ž)
16 1nq 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1Q โˆˆ Q
17 ltmnqg 7403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1Q โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (1Q <Q โ„Ž โ†” (๐‘“ ยทQ 1Q) <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
1816, 17mp3an1 1324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((โ„Ž โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (1Q <Q โ„Ž โ†” (๐‘“ ยทQ 1Q) <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
1918ancoms 268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (1Q <Q โ„Ž โ†” (๐‘“ ยทQ 1Q) <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
20 mulidnq 7391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (๐‘“ ยทQ 1Q) = ๐‘“)
2120breq1d 4015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ ((๐‘“ ยทQ 1Q) <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž) โ†” ๐‘“ <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
2221adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘“ ยทQ 1Q) <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž) โ†” ๐‘“ <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
2319, 22bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (1Q <Q โ„Ž โ†” ๐‘“ <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
2415, 23bitr2id 193 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž) โ†” โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)))
25243adant3 1017 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)) โ†’ (๐‘“ <Q (๐‘“ ยทQ โ„Ž) โ†” โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)))
2613, 25bitrd 188 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘“ โˆˆ Q โˆง โ„Ž โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†” โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)))
2711, 26syl3an1 1271 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง โ„Ž โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†” โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)))
288, 27syl3an2 1272 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†” โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)))
29283expia 1205 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†” โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P))))
3029pm5.32rd 451 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)) โ†’ ((๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)) โ†” (โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž))))
3130rexbidva 2474 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)(๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)) โ†” โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)(โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž))))
32 r19.42v 2634 . . . . . 6 (โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)(๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)) โ†” (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
3331, 32bitr3di 195 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)(โ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)) โ†” (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž))))
343, 33bitrid 192 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ (โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž) โ†” (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž))))
3534rexbidva 2474 . . 3 (๐ด โˆˆ P โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)(๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž))))
36 df-imp 7471 . . . . 5 ยทP = (๐‘ฆ โˆˆ P, ๐‘ง โˆˆ P โ†ฆ โŸจ{๐‘ค โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘ข โˆˆ Q โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ Q (๐‘ข โˆˆ (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (1st โ€˜๐‘ง) โˆง ๐‘ค = (๐‘ข ยทQ ๐‘ฃ))}, {๐‘ค โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘ข โˆˆ Q โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ Q (๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ง) โˆง ๐‘ค = (๐‘ข ยทQ ๐‘ฃ))}โŸฉ)
37 mulclnq 7378 . . . . 5 ((๐‘ข โˆˆ Q โˆง ๐‘ฃ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ข ยทQ ๐‘ฃ) โˆˆ Q)
3836, 37genpelvu 7515 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง 1P โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP 1P)) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
394, 38mpan2 425 . . 3 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP 1P)) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
40 prnminu 7491 . . . . . . 7 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘“ <Q ๐‘ฅ)
419, 40sylan 283 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘“ <Q ๐‘ฅ)
42 ltrelnq 7367 . . . . . . . . . . . . . 14 <Q โІ (Q ร— Q)
4342brel 4680 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ (๐‘“ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q))
4443ancomd 267 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q))
45 ltmnqg 7403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฆ <Q ๐‘ง โ†” (๐‘ค ยทQ ๐‘ฆ) <Q (๐‘ค ยทQ ๐‘ง)))
4645adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q)) โ†’ (๐‘ฆ <Q ๐‘ง โ†” (๐‘ค ยทQ ๐‘ฆ) <Q (๐‘ค ยทQ ๐‘ง)))
47 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ ๐‘“ โˆˆ Q)
48 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ Q)
49 recclnq 7394 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜๐‘“) โˆˆ Q)
5049adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (*Qโ€˜๐‘“) โˆˆ Q)
51 mulcomnqg 7385 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ))
5251adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q)) โ†’ (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ))
5346, 47, 48, 50, 52caovord2d 6047 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†” (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
54 recidnq 7395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) = 1Q)
5554breq1d 4015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ ((๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โ†” 1Q <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
5655adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โ†” 1Q <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
5753, 56bitrd 188 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†” 1Q <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
5857biimpd 144 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ 1Q <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
5944, 58mpcom 36 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ 1Q <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)))
60 mulclnq 7378 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜๐‘“) โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ Q)
6149, 60sylan2 286 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ Q)
62 breq2 4009 . . . . . . . . . . . . 13 (โ„Ž = (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โ†’ (1Q <Q โ„Ž โ†” 1Q <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
6362, 14elab2g 2886 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ Q โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ (2nd โ€˜1P) โ†” 1Q <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
6444, 61, 633syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ (2nd โ€˜1P) โ†” 1Q <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
6559, 64mpbird 167 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ (2nd โ€˜1P))
66 mulassnqg 7386 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) = (๐‘ฆ ยทQ (๐‘ง ยทQ ๐‘ค)))
6766adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q โˆง ๐‘ค โˆˆ Q)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) ยทQ ๐‘ค) = (๐‘ฆ ยทQ (๐‘ง ยทQ ๐‘ค)))
6847, 48, 50, 52, 67caov12d 6059 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))) = (๐‘ฅ ยทQ (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
6954oveq2d 5894 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))) = (๐‘ฅ ยทQ 1Q))
7069adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (๐‘“ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))) = (๐‘ฅ ยทQ 1Q))
71 mulidnq 7391 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ 1Q) = ๐‘ฅ)
7271adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ 1Q) = ๐‘ฅ)
7368, 70, 723eqtrrd 2215 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘“ โˆˆ Q) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
7444, 73syl 14 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
75 oveq2 5886 . . . . . . . . . . . 12 (โ„Ž = (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โ†’ (๐‘“ ยทQ โ„Ž) = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“))))
7675eqeq2d 2189 . . . . . . . . . . 11 (โ„Ž = (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž) โ†” ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)))))
7776rspcev 2843 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)) โˆˆ (2nd โ€˜1P) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘“)))) โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž))
7865, 74, 77syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž))
7978a1i 9 . . . . . . . 8 (๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
8079ancld 325 . . . . . . 7 (๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž))))
8180reximia 2572 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)(๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
8241, 81syl 14 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)(๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)))
8382ex 115 . . . 4 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)(๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž))))
84 prcunqu 7487 . . . . . . 7 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)))
859, 84sylan 283 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘“ <Q ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)))
8685adantrd 279 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โ†’ ((๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)))
8786rexlimdva 2594 . . . 4 (๐ด โˆˆ P โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)(๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)))
8883, 87impbid 129 . . 3 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)(๐‘“ <Q ๐‘ฅ โˆง โˆƒโ„Ž โˆˆ (2nd โ€˜1P)๐‘ฅ = (๐‘“ ยทQ โ„Ž))))
8935, 39, 883bitr4d 220 . 2 (๐ด โˆˆ P โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP 1P)) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)))
9089eqrdv 2175 1 (๐ด โˆˆ P โ†’ (2nd โ€˜(๐ด ยทP 1P)) = (2nd โ€˜๐ด))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   โІ wss 3131  โŸจcop 3597   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  1st c1st 6142  2nd c2nd 6143  Qcnq 7282  1Qc1q 7283   ยทQ cmq 7285  *Qcrq 7286   <Q cltq 7287  Pcnp 7293  1Pc1p 7294   ยทP cmp 7296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-omul 6425  df-er 6538  df-ec 6540  df-qs 6544  df-ni 7306  df-pli 7307  df-mi 7308  df-lti 7309  df-plpq 7346  df-mpq 7347  df-enq 7349  df-nqqs 7350  df-plqqs 7351  df-mqqs 7352  df-1nqqs 7353  df-rq 7354  df-ltnqqs 7355  df-inp 7468  df-i1p 7469  df-imp 7471
This theorem is referenced by:  1idpr  7594
  Copyright terms: Public domain W3C validator