Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mertenslemub GIF version

Theorem mertenslemub 11303
 Description: Lemma for mertensabs 11306. An upper bound for 𝑇. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
mertenslemub.gb ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
mertenslemub.b ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
mertenslemub.cvg (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
mertenslemub.t 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))}
mertenslemub.elt (𝜑𝑋𝑇)
mertenslemub.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
mertenslemub (𝜑𝑋 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺,𝑛,𝑧   𝑆,𝑘,𝑛,𝑧   𝑛,𝑋,𝑧   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑧,𝑘,𝑛)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem mertenslemub
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mertenslemub.elt . . . 4 (𝜑𝑋𝑇)
2 eqeq1 2146 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
32rexbidv 2438 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑋 → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
4 mertenslemub.t . . . . . 6 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))}
53, 4elab2g 2831 . . . . 5 (𝑋𝑇 → (𝑋𝑇 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
61, 5syl 14 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝑇 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
71, 6mpbid 146 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
8 fvoveq1 5797 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑎 → (ℤ‘(𝑛 + 1)) = (ℤ‘(𝑎 + 1)))
98sumeq1d 11135 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑎 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘))
109fveq2d 5425 . . . . 5 (𝑛 = 𝑎 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))
1110eqeq2d 2151 . . . 4 (𝑛 = 𝑎 → (𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘))))
1211cbvrexv 2655 . . 3 (∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ ∃𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))
137, 12sylib 121 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))
14 simprr 521 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) → 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))
15 0zd 9066 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) → 0 ∈ ℤ)
16 mertenslemub.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
1716adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) → 𝑆 ∈ ℕ)
1817nnzd 9172 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) → 𝑆 ∈ ℤ)
19 1zzd 9081 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) → 1 ∈ ℤ)
2018, 19zsubcld 9178 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) → (𝑆 − 1) ∈ ℤ)
2115, 20fzfigd 10204 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) → (0...(𝑆 − 1)) ∈ Fin)
22 eqid 2139 . . . . . . 7 (ℤ‘(𝑛 + 1)) = (ℤ‘(𝑛 + 1))
23 elfzelz 9806 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
2423adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
2524peano2zd 9176 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
26 eqidd 2140 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
27 simpll 518 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝜑)
28 elfznn0 9894 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
2928ad2antlr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
30 peano2nn0 9017 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
3129, 30syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
32 eluznn0 9393 . . . . . . . . 9 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3331, 32sylancom 416 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
34 mertenslemub.gb . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
35 mertenslemub.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
3634, 35eqeltrd 2216 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3727, 33, 36syl2anc 408 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
38 mertenslemub.cvg . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
3938adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
40 nn0uz 9360 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
4128adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4241, 30syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
4336adantlr 468 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
4440, 42, 43iserex 11108 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝑛 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
4539, 44mpbid 146 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → seq(𝑛 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
4622, 25, 26, 37, 45isumcl 11194 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘) ∈ ℂ)
4746adantlr 468 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘) ∈ ℂ)
4847abscld 10953 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
4947absge0d 10956 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
50 simprl 520 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) → 𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)))
5121, 48, 49, 10, 50fsumge1 11230 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)) ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
5214, 51eqbrtrd 3950 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) → 𝑋 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
5313, 52rexlimddv 2554 1 (𝜑𝑋 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {cab 2125  ∃wrex 2417   class class class wbr 3929  dom cdm 4539  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   ≤ cle 7801   − cmin 7933  ℕcn 8720  ℕ0cn0 8977  ℤcz 9054  ℤ≥cuz 9326  ...cfz 9790  seqcseq 10218  abscabs 10769   ⇝ cli 11047  Σcsu 11122 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-ico 9677  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123 This theorem is referenced by:  mertenslem2  11305
 Copyright terms: Public domain W3C validator