Theorem mertenslemub 11303

Description: Lemma for mertensabs 11306. An upper bound for 𝑇. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mertenslemub.gb	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
mertenslemub.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
mertenslemub.cvg	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
mertenslemub.t	⊢ 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))}
mertenslemub.elt	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑇)
mertenslemub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
mertenslemub	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺,𝑛,𝑧   𝑆,𝑘,𝑛,𝑧   𝑛,𝑋,𝑧   𝜑,𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑧,𝑘,𝑛)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem mertenslemub

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mertenslemub.elt	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑇)
2		eqeq1 2146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) ↔ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))))
3	2	rexbidv 2438	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))))
4		mertenslemub.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))}
5	3, 4	elab2g 2831	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑇 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))))
6	1, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘))))
7	1, 6	mpbid 146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)))
8		fvoveq1 5797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑎 → (ℤ≥‘(𝑛 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑎 + 1)))
9	8	sumeq1d 11135	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑎 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))(𝐺‘𝑘))
10	9	fveq2d 5425	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑎 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))(𝐺‘𝑘)))
11	10	eqeq2d 2151	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑎 → (𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) ↔ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))(𝐺‘𝑘))))
12	11	cbvrexv 2655	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) ↔ ∃𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))(𝐺‘𝑘)))
13	7, 12	sylib 121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))(𝐺‘𝑘)))
14		simprr 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))(𝐺‘𝑘)))) → 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))(𝐺‘𝑘)))
15		0zd 9066	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))(𝐺‘𝑘)))) → 0 ∈ ℤ)
16		mertenslemub.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
17	16	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))(𝐺‘𝑘)))) → 𝑆 ∈ ℕ)
18	17	nnzd 9172	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))(𝐺‘𝑘)))) → 𝑆 ∈ ℤ)
19		1zzd 9081	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))(𝐺‘𝑘)))) → 1 ∈ ℤ)
20	18, 19	zsubcld 9178	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))(𝐺‘𝑘)))) → (𝑆 − 1) ∈ ℤ)
21	15, 20	fzfigd 10204	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))(𝐺‘𝑘)))) → (0...(𝑆 − 1)) ∈ Fin)
22		eqid 2139	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘(𝑛 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑛 + 1))
23		elfzelz 9806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
24	23	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
25	24	peano2zd 9176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
26		eqidd 2140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
27		simpll 518	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → 𝜑)
28		elfznn0 9894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
29	28	ad2antlr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
30		peano2nn0 9017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
32		eluznn0 9393	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
33	31, 32	sylancom 416	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
34		mertenslemub.gb	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = 𝐵)
35		mertenslemub.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
36	34, 35	eqeltrd 2216	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
37	27, 33, 36	syl2anc 408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
38		mertenslemub.cvg	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
39	38	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
40		nn0uz 9360	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
41	28	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
42	41, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
43	36	adantlr 468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
44	40, 42, 43	iserex 11108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝑛 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
45	39, 44	mpbid 146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → seq(𝑛 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
46	22, 25, 26, 37, 45	isumcl 11194	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
47	46	adantlr 468	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))(𝐺‘𝑘)))) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
48	47	abscld 10953	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))(𝐺‘𝑘)))) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
49	47	absge0d 10956	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))(𝐺‘𝑘)))) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)))
50		simprl 520	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))(𝐺‘𝑘)))) → 𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)))
51	21, 48, 49, 10, 50	fsumge1 11230	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))(𝐺‘𝑘)))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))(𝐺‘𝑘)) ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)))
52	14, 51	eqbrtrd 3950	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑎 + 1))(𝐺‘𝑘)))) → 𝑋 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)))
53	13, 52	rexlimddv 2554	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑛 + 1))(𝐺‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {cab 2125  ∃wrex 2417   class class class wbr 3929  dom cdm 4539  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   ≤ cle 7801   − cmin 7933  ℕcn 8720  ℕ₀cn0 8977  ℤcz 9054  ℤ_≥cuz 9326  ...cfz 9790  seqcseq 10218  abscabs 10769   ⇝ cli 11047  Σcsu 11122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-ico 9677  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123

This theorem is referenced by:  mertenslem2  11305