ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mertenslemub GIF version

Theorem mertenslemub 11556
Description: Lemma for mertensabs 11559. An upper bound for 𝑇. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
mertenslemub.gb ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
mertenslemub.b ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
mertenslemub.cvg (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
mertenslemub.t 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))}
mertenslemub.elt (𝜑𝑋𝑇)
mertenslemub.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
mertenslemub (𝜑𝑋 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺,𝑛,𝑧   𝑆,𝑘,𝑛,𝑧   𝑛,𝑋,𝑧   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑧,𝑘,𝑛)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem mertenslemub
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mertenslemub.elt . . . 4 (𝜑𝑋𝑇)
2 eqeq1 2194 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
32rexbidv 2488 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑋 → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
4 mertenslemub.t . . . . . 6 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))}
53, 4elab2g 2896 . . . . 5 (𝑋𝑇 → (𝑋𝑇 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
61, 5syl 14 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝑇 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
71, 6mpbid 147 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
8 fvoveq1 5911 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑎 → (ℤ‘(𝑛 + 1)) = (ℤ‘(𝑎 + 1)))
98sumeq1d 11388 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑎 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘))
109fveq2d 5531 . . . . 5 (𝑛 = 𝑎 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))
1110eqeq2d 2199 . . . 4 (𝑛 = 𝑎 → (𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘))))
1211cbvrexv 2716 . . 3 (∃𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ ∃𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))
137, 12sylib 122 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1))𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))
14 simprr 531 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) → 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))
15 0zd 9279 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) → 0 ∈ ℤ)
16 mertenslemub.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
1716adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) → 𝑆 ∈ ℕ)
1817nnzd 9388 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) → 𝑆 ∈ ℤ)
19 1zzd 9294 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) → 1 ∈ ℤ)
2018, 19zsubcld 9394 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) → (𝑆 − 1) ∈ ℤ)
2115, 20fzfigd 10445 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) → (0...(𝑆 − 1)) ∈ Fin)
22 eqid 2187 . . . . . . 7 (ℤ‘(𝑛 + 1)) = (ℤ‘(𝑛 + 1))
23 elfzelz 10039 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
2423adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
2524peano2zd 9392 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
26 eqidd 2188 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
27 simpll 527 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝜑)
28 elfznn0 10128 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
2928ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
30 peano2nn0 9230 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
3129, 30syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
32 eluznn0 9613 . . . . . . . . 9 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3331, 32sylancom 420 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
34 mertenslemub.gb . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
35 mertenslemub.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
3634, 35eqeltrd 2264 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3727, 33, 36syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
38 mertenslemub.cvg . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
3938adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
40 nn0uz 9576 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
4128adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4241, 30syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
4336adantlr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
4440, 42, 43iserex 11361 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝑛 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
4539, 44mpbid 147 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → seq(𝑛 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
4622, 25, 26, 37, 45isumcl 11447 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘) ∈ ℂ)
4746adantlr 477 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘) ∈ ℂ)
4847abscld 11204 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
4947absge0d 11207 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))) → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
50 simprl 529 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) → 𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)))
5121, 48, 49, 10, 50fsumge1 11483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)) ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
5214, 51eqbrtrd 4037 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (0...(𝑆 − 1)) ∧ 𝑋 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑎 + 1))(𝐺𝑘)))) → 𝑋 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
5313, 52rexlimddv 2609 1 (𝜑𝑋 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑆 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1363  wcel 2158  {cab 2173  wrex 2466   class class class wbr 4015  dom cdm 4638  cfv 5228  (class class class)co 5888  cc 7823  0cc0 7825  1c1 7826   + caddc 7828  cle 8007  cmin 8142  cn 8933  0cn0 9190  cz 9267  cuz 9542  ...cfz 10022  seqcseq 10459  abscabs 11020  cli 11300  Σcsu 11375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-ico 9908  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-ihash 10770  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-sumdc 11376
This theorem is referenced by:  mertenslem2  11558
  Copyright terms: Public domain W3C validator