ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lspcl GIF version
Theorem lspcl 13516
Description: The span of a set of vectors is a subspace. (Contributed by NM, 9-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspval.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspval.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspcl ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ 𝑆)
Proof of Theorem lspcl
StepHypRef Expression
1 lspval.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lspval.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 lspval.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
41, 2, 3lspf 13514 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑁:𝒫 π‘‰βŸΆπ‘†)
54adantr 276 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑁:𝒫 π‘‰βŸΆπ‘†)
6 simpr 110 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
7 basfn 12523 . . . . . 6 Base Fn V
8 elex 2750 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ V)
98adantr 276 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘Š ∈ V)
10 funfvex 5534 . . . . . . 7 ((Fun Base ∧ π‘Š ∈ dom Base) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V)
1110funfni 5318 . . . . . 6 ((Base Fn V ∧ π‘Š ∈ V) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V)
127, 9, 11sylancr 414 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V)
131, 12eqeltrid 2264 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑉 ∈ V)
14 elpw2g 4158 . . . 4 (𝑉 ∈ V β†’ (π‘ˆ ∈ 𝒫 𝑉 ↔ π‘ˆ βŠ† 𝑉))
1513, 14syl 14 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝒫 𝑉 ↔ π‘ˆ βŠ† 𝑉))
166, 15mpbird 167 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝒫 𝑉)
175, 16ffvelcdmd 5655 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   βŠ† wss 3131  π’« cpw 3577   Fn wfn 5213  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  Basecbs 12465  LModclmod 13415  LSubSpclss 13480  LSpanclspn 13511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltadd 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-ltxr 8000  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-sets 12472  df-plusg 12552  df-mulr 12553  df-sca 12555  df-vsca 12556  df-0g 12713  df-mgm 12782  df-sgrp 12815  df-mnd 12826  df-grp 12888  df-minusg 12889  df-sbg 12890  df-mgp 13147  df-ur 13181  df-ring 13219  df-lmod 13417  df-lssm 13481  df-lsp 13512
This theorem is referenced by:  lspsncl  13517  lspprcl  13518  lsptpcl  13519  lspssv  13523  lspidm  13526  lspsnvsi  13543  lsp0  13548  lspun0  13550  lsslsp  13554  rspcl  13609
  Copyright terms: Public domain W3C validator