ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lspcl GIF version
Theorem lspcl 13637
Description: The span of a set of vectors is a subspace. (Contributed by NM, 9-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspval.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspval.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspcl ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ 𝑆)
Proof of Theorem lspcl
StepHypRef Expression
1 lspval.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lspval.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 lspval.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
41, 2, 3lspf 13635 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑁:𝒫 π‘‰βŸΆπ‘†)
54adantr 276 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑁:𝒫 π‘‰βŸΆπ‘†)
6 simpr 110 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
7 basfn 12534 . . . . . 6 Base Fn V
8 elex 2760 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ V)
98adantr 276 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘Š ∈ V)
10 funfvex 5544 . . . . . . 7 ((Fun Base ∧ π‘Š ∈ dom Base) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V)
1110funfni 5328 . . . . . 6 ((Base Fn V ∧ π‘Š ∈ V) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V)
127, 9, 11sylancr 414 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V)
131, 12eqeltrid 2274 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑉 ∈ V)
14 elpw2g 4168 . . . 4 (𝑉 ∈ V β†’ (π‘ˆ ∈ 𝒫 𝑉 ↔ π‘ˆ βŠ† 𝑉))
1513, 14syl 14 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝒫 𝑉 ↔ π‘ˆ βŠ† 𝑉))
166, 15mpbird 167 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝒫 𝑉)
175, 16ffvelcdmd 5665 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  Vcvv 2749   βŠ† wss 3141  π’« cpw 3587   Fn wfn 5223  βŸΆwf 5224  β€˜cfv 5228  Basecbs 12476  LModclmod 13533  LSubSpclss 13598  LSpanclspn 13632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltadd 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-sets 12483  df-plusg 12564  df-mulr 12565  df-sca 12567  df-vsca 12568  df-0g 12725  df-mgm 12794  df-sgrp 12827  df-mnd 12840  df-grp 12909  df-minusg 12910  df-sbg 12911  df-mgp 13230  df-ur 13269  df-ring 13307  df-lmod 13535  df-lssm 13599  df-lsp 13633
This theorem is referenced by:  lspsncl  13638  lspprcl  13639  lsptpcl  13640  lspssv  13644  lspidm  13647  lspsnvsi  13664  lsp0  13669  lspun0  13671  lsslsp  13675  rspcl  13737
  Copyright terms: Public domain W3C validator