Theorem lspcl 14411

Description: The span of a set of vectors is a subspace. (Contributed by NM, 9-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspcl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspval.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lspval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	lspf 14409	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 𝑉⟶𝑆)
5	4	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑁:𝒫 𝑉⟶𝑆)
6		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
7		basfn 13146	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
8		elex 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ V)
9	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑊 ∈ V)
10		funfvex 5656	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
11	10	funfni 5432	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
12	7, 9, 11	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (Base‘𝑊) ∈ V)
13	1, 12	eqeltrid 2318	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑉 ∈ V)
14		elpw2g 4246	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ 𝑈 ⊆ 𝑉))
15	13, 14	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ 𝑈 ⊆ 𝑉))
16	6, 15	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑉)
17	5, 16	ffvelcdmd 5783	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200  𝒫 cpw 3652   Fn wfn 5321  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  Basecbs 13087  LModclmod 14307  LSubSpclss 14372  LSpanclspn 14406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-sets 13094  df-plusg 13178  df-mulr 13179  df-sca 13181  df-vsca 13182  df-0g 13346  df-mgm 13444  df-sgrp 13490  df-mnd 13505  df-grp 13591  df-minusg 13592  df-sbg 13593  df-mgp 13940  df-ur 13979  df-ring 14017  df-lmod 14309  df-lssm 14373  df-lsp 14407

This theorem is referenced by:  lspsncl  14412  lspprcl  14413  lsptpcl  14414  lspssv  14418  lspidm  14421  lspsnvsi  14438  lsp0  14443  lspun0  14445  lsslsp  14449  rspcl  14511