ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lspval GIF version
Theorem lspval 13542
Description: The span of a set of vectors (in a left module). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspval.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspval.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspval ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑})
Distinct variable groups:   𝑑,𝑆   𝑑,π‘ˆ   𝑑,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑑)   π‘Š(𝑑)
Proof of Theorem lspval
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspval.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lspval.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 lspval.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
41, 2, 3lspfval 13540 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑁 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑑}))
54fveq1d 5529 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑑})β€˜π‘ˆ))
65adantr 276 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑑})β€˜π‘ˆ))
7 eqid 2187 . . 3 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑑}) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑑})
8 sseq1 3190 . . . . 5 (𝑠 = π‘ˆ β†’ (𝑠 βŠ† 𝑑 ↔ π‘ˆ βŠ† 𝑑))
98rabbidv 2738 . . . 4 (𝑠 = π‘ˆ β†’ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑑} = {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑})
109inteqd 3861 . . 3 (𝑠 = π‘ˆ β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑑} = ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑})
11 simpr 110 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
12 basfn 12533 . . . . . . 7 Base Fn V
13 elex 2760 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ V)
1413adantr 276 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘Š ∈ V)
15 funfvex 5544 . . . . . . . 8 ((Fun Base ∧ π‘Š ∈ dom Base) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V)
1615funfni 5328 . . . . . . 7 ((Base Fn V ∧ π‘Š ∈ V) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V)
1712, 14, 16sylancr 414 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V)
181, 17eqeltrid 2274 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑉 ∈ V)
19 elpw2g 4168 . . . . 5 (𝑉 ∈ V β†’ (π‘ˆ ∈ 𝒫 𝑉 ↔ π‘ˆ βŠ† 𝑉))
2018, 19syl 14 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝒫 𝑉 ↔ π‘ˆ βŠ† 𝑉))
2111, 20mpbird 167 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝒫 𝑉)
221, 2lss1 13514 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑉 ∈ 𝑆)
23 sseq2 3191 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑉 β†’ (π‘ˆ βŠ† 𝑑 ↔ π‘ˆ βŠ† 𝑉))
2423rspcev 2853 . . . . 5 ((𝑉 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑆 π‘ˆ βŠ† 𝑑)
2522, 24sylan 283 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑆 π‘ˆ βŠ† 𝑑)
26 intexrabim 4165 . . . 4 (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑆 π‘ˆ βŠ† 𝑑 β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑} ∈ V)
2725, 26syl 14 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑} ∈ V)
287, 10, 21, 27fvmptd3 5622 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑑})β€˜π‘ˆ) = ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑})
296, 28eqtrd 2220 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  βˆƒwrex 2466  {crab 2469  Vcvv 2749   βŠ† wss 3141  π’« cpw 3587  βˆ© cint 3856   ↦ cmpt 4076   Fn wfn 5223  β€˜cfv 5228  Basecbs 12475  LModclmod 13439  LSubSpclss 13504  LSpanclspn 13538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-lmod 13441  df-lssm 13505  df-lsp 13539
This theorem is referenced by:  lspid  13549  lspss  13551  lspssid  13552
  Copyright terms: Public domain W3C validator