Theorem lspval 13699

Description: The span of a set of vectors (in a left module). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspval	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) = ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})

Distinct variable groups:   𝑡,𝑆   𝑡,𝑈   𝑡,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑡)   𝑊(𝑡)

Proof of Theorem lspval

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspval.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lspval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	lspfval 13697	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡}))
5	4	fveq1d 5533	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘𝑈) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡})‘𝑈))
6	5	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡})‘𝑈))
7		eqid 2189	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡}) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡})
8		sseq1 3193	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (𝑠 ⊆ 𝑡 ↔ 𝑈 ⊆ 𝑡))
9	8	rabbidv 2741	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡} = {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
10	9	inteqd 3864	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡} = ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
11		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
12		basfn 12565	. . . . . . 7 ⊢ Base Fn V
13		elex 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ V)
14	13	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑊 ∈ V)
15		funfvex 5548	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
16	15	funfni 5332	. . . . . . 7 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
17	12, 14, 16	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (Base‘𝑊) ∈ V)
18	1, 17	eqeltrid 2276	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑉 ∈ V)
19		elpw2g 4171	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ 𝑈 ⊆ 𝑉))
20	18, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ 𝑈 ⊆ 𝑉))
21	11, 20	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑉)
22	1, 2	lss1 13671	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)
23		sseq2 3194	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑉 → (𝑈 ⊆ 𝑡 ↔ 𝑈 ⊆ 𝑉))
24	23	rspcev 2856	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → ∃𝑡 ∈ 𝑆 𝑈 ⊆ 𝑡)
25	22, 24	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → ∃𝑡 ∈ 𝑆 𝑈 ⊆ 𝑡)
26		intexrabim 4168	. . . 4 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝑆 𝑈 ⊆ 𝑡 → ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡} ∈ V)
27	25, 26	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡} ∈ V)
28	7, 10, 21, 27	fvmptd3 5626	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡})‘𝑈) = ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
29	6, 28	eqtrd 2222	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) = ∩ {𝑡 ∈ 𝑆 ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∃wrex 2469  {crab 2472  Vcvv 2752   ⊆ wss 3144  𝒫 cpw 3590  ∩ cint 3859   ↦ cmpt 4079   Fn wfn 5227  ‘cfv 5232  Basecbs 12507  LModclmod 13596  LSubSpclss 13661  LSpanclspn 13695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1re 7930  ax-addrcl 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-5 9006  df-6 9007  df-ndx 12510  df-slot 12511  df-base 12513  df-plusg 12595  df-mulr 12596  df-sca 12598  df-vsca 12599  df-0g 12756  df-mgm 12825  df-sgrp 12858  df-mnd 12871  df-grp 12941  df-lmod 13598  df-lssm 13662  df-lsp 13696

This theorem is referenced by:  lspid  13706  lspss  13708  lspssid  13709