ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lspval GIF version
Theorem lspval 13666
Description: The span of a set of vectors (in a left module). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspval.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspval.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspval ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑})
Distinct variable groups:   𝑑,𝑆   𝑑,π‘ˆ   𝑑,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑑)   π‘Š(𝑑)
Proof of Theorem lspval
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspval.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lspval.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 lspval.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
41, 2, 3lspfval 13664 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑁 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑑}))
54fveq1d 5531 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑑})β€˜π‘ˆ))
65adantr 276 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑑})β€˜π‘ˆ))
7 eqid 2188 . . 3 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑑}) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑑})
8 sseq1 3192 . . . . 5 (𝑠 = π‘ˆ β†’ (𝑠 βŠ† 𝑑 ↔ π‘ˆ βŠ† 𝑑))
98rabbidv 2740 . . . 4 (𝑠 = π‘ˆ β†’ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑑} = {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑})
109inteqd 3863 . . 3 (𝑠 = π‘ˆ β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑑} = ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑})
11 simpr 110 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
12 basfn 12537 . . . . . . 7 Base Fn V
13 elex 2762 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ V)
1413adantr 276 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘Š ∈ V)
15 funfvex 5546 . . . . . . . 8 ((Fun Base ∧ π‘Š ∈ dom Base) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V)
1615funfni 5330 . . . . . . 7 ((Base Fn V ∧ π‘Š ∈ V) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V)
1712, 14, 16sylancr 414 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V)
181, 17eqeltrid 2275 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑉 ∈ V)
19 elpw2g 4170 . . . . 5 (𝑉 ∈ V β†’ (π‘ˆ ∈ 𝒫 𝑉 ↔ π‘ˆ βŠ† 𝑉))
2018, 19syl 14 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝒫 𝑉 ↔ π‘ˆ βŠ† 𝑉))
2111, 20mpbird 167 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝒫 𝑉)
221, 2lss1 13638 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑉 ∈ 𝑆)
23 sseq2 3193 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑉 β†’ (π‘ˆ βŠ† 𝑑 ↔ π‘ˆ βŠ† 𝑉))
2423rspcev 2855 . . . . 5 ((𝑉 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑆 π‘ˆ βŠ† 𝑑)
2522, 24sylan 283 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑆 π‘ˆ βŠ† 𝑑)
26 intexrabim 4167 . . . 4 (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑆 π‘ˆ βŠ† 𝑑 β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑} ∈ V)
2725, 26syl 14 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑} ∈ V)
287, 10, 21, 27fvmptd3 5624 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ↦ ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ 𝑠 βŠ† 𝑑})β€˜π‘ˆ) = ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑})
296, 28eqtrd 2221 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = ∩ {𝑑 ∈ 𝑆 ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2159  βˆƒwrex 2468  {crab 2471  Vcvv 2751   βŠ† wss 3143  π’« cpw 3589  βˆ© cint 3858   ↦ cmpt 4078   Fn wfn 5225  β€˜cfv 5230  Basecbs 12479  LModclmod 13563  LSubSpclss 13628  LSpanclspn 13662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1re 7922  ax-addrcl 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-5 8998  df-6 8999  df-ndx 12482  df-slot 12483  df-base 12485  df-plusg 12567  df-mulr 12568  df-sca 12570  df-vsca 12571  df-0g 12728  df-mgm 12797  df-sgrp 12830  df-mnd 12843  df-grp 12913  df-lmod 13565  df-lssm 13629  df-lsp 13663
This theorem is referenced by:  lspid  13673  lspss  13675  lspssid  13676
  Copyright terms: Public domain W3C validator