Theorem cos01bnd 12452

Description: Bounds on the cosine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cos01bnd	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))

Proof of Theorem cos01bnd

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8325	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		1re 8278	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		elioc2 10275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
5	4	simp1bi 1039	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		eqid 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
7	6	recos4p 12413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
8	5, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (cos‘𝐴) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
9	8	eqcomd 2240	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) = (cos‘𝐴))
10	5	recoscld 12418	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	recnd 8307	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
12	5	resqcld 11069	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
13	12	rehalfcld 9490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ)
14		resubcl 8542	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
15	2, 13, 14	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 8307	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
17		ax-icn 8227	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
18	5	recnd 8307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
19		mulcl 8259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
20	17, 18, 19	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
21		4nn0 9520	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ0
22	6	eftlcl 12382	. . . . . . . . 9 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
23	20, 21, 22	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
24	23	recld 11631	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
25	24	recnd 8307	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℂ)
26	11, 16, 25	subaddd 8607	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2))) = (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ↔ ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) = (cos‘𝐴)))
27	9, 26	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2))) = (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
28	27	fveq2d 5676	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) = (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
29	25	abscld 11874	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ∈ ℝ)
30	23	abscld 11874	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
31		6nn 9408	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
32		nndivre 9278	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / 6) ∈ ℝ)
33	12, 31, 32	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 6) ∈ ℝ)
34		absrele 11776	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
35	23, 34	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
36		reexpcl 10925	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
37	5, 21, 36	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
38		nndivre 9278	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
39	37, 31, 38	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
40	6	ef01bndlem 12450	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
41		2nn0 9518	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
42	41	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 2 ∈ ℕ0)
43		4z 9612	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℤ
44		2re 9312	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
45		4re 9319	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
46		2lt4 9416	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 < 4
47	44, 45, 46	ltleii 8381	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≤ 4
48		2z 9610	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
49	48	eluz1i 9867	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
50	43, 47, 49	mpbir2an 951	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
51	50	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ (ℤ≥‘2))
52	4	simp2bi 1040	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
53		0re 8279	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
54		ltle 8366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
55	53, 5, 54	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
56	52, 55	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
57	4	simp3bi 1041	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
58	5, 42, 51, 56, 57	leexp2rd 11073	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ≤ (𝐴↑2))
59		6re 9323	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
60	59	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 6 ∈ ℝ)
61		6pos 9343	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 6
62	61	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 6)
63		lediv1 9148	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑2) / 6)))
64	37, 12, 60, 62, 63	syl112anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑2) / 6)))
65	58, 64	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑2) / 6))
66	30, 39, 33, 40, 65	ltletrd 8702	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑2) / 6))
67	29, 30, 33, 35, 66	lelttrd 8403	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) < ((𝐴↑2) / 6))
68	28, 67	eqbrtrd 4133	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) < ((𝐴↑2) / 6))
69	10, 15, 33	absdifltd 11871	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) < ((𝐴↑2) / 6) ↔ (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)))))
70		1cnd 8295	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 1 ∈ ℂ)
71	13	recnd 8307	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ)
72	33	recnd 8307	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 6) ∈ ℂ)
73	70, 71, 72	subsub4d 8620	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) = (1 − (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6))))
74		halfpm6th 9463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
75	74	simpri 113	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
76	75	oveq2i 6063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = ((𝐴↑2) · (2 / 3))
77	12	recnd 8307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
78		2cn 9313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
79		2ap0 9335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 # 0
80	78, 79	recclapi 9021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
81		6cn 9324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℂ
82	31	nnap0i 9273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 # 0
83	81, 82	recclapi 9021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
84		adddi 8264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
85	80, 83, 84	mp3an23 1366	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
86	77, 85	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
87	76, 86	eqtr3id 2281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
88		3cn 9317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
89		3ap0 9338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 # 0
90	88, 89	pm3.2i 272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 # 0)
91		div12ap 8973	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 # 0)) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
92	78, 90, 91	mp3an13 1365	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℂ → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
93	77, 92	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
94		divrecap 8967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → ((𝐴↑2) / 2) = ((𝐴↑2) · (1 / 2)))
95	78, 79, 94	mp3an23 1366	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 2) = ((𝐴↑2) · (1 / 2)))
96	77, 95	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 2) = ((𝐴↑2) · (1 / 2)))
97		divrecap 8967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) → ((𝐴↑2) / 6) = ((𝐴↑2) · (1 / 6)))
98	81, 82, 97	mp3an23 1366	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 6) = ((𝐴↑2) · (1 / 6)))
99	77, 98	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 6) = ((𝐴↑2) · (1 / 6)))
100	96, 99	oveq12d 6070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
101	87, 93, 100	3eqtr4rd 2278	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6)) = (2 · ((𝐴↑2) / 3)))
102	101	oveq2d 6068	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6))) = (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))))
103	73, 102	eqtrd 2267	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) = (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))))
104	103	breq1d 4121	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) < (cos‘𝐴) ↔ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴)))
105	70, 71, 72	subsubd 8617	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6))) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)))
106	74	simpli 111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
107	106	oveq2i 6063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = ((𝐴↑2) · (1 / 3))
108		subdi 8663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
109	80, 83, 108	mp3an23 1366	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
110	77, 109	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
111	107, 110	eqtr3id 2281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (1 / 3)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
112		divrecap 8967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 # 0) → ((𝐴↑2) / 3) = ((𝐴↑2) · (1 / 3)))
113	88, 89, 112	mp3an23 1366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 3) = ((𝐴↑2) · (1 / 3)))
114	77, 113	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 3) = ((𝐴↑2) · (1 / 3)))
115	96, 99	oveq12d 6070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
116	111, 114, 115	3eqtr4rd 2278	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6)) = ((𝐴↑2) / 3))
117	116	oveq2d 6068	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6))) = (1 − ((𝐴↑2) / 3)))
118	105, 117	eqtr3d 2269	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)) = (1 − ((𝐴↑2) / 3)))
119	118	breq2d 4123	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((cos‘𝐴) < ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)) ↔ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))
120	104, 119	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6))) ↔ ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3)))))
121	69, 120	bitrd 188	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) < ((𝐴↑2) / 6) ↔ ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3)))))
122	68, 121	mpbid 147	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111   ↦ cmpt 4173  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  ℝcr 8131  0cc0 8132  1c1 8133  ici 8134   + caddc 8135   · cmul 8137  ℝ^*cxr 8312   < clt 8313   ≤ cle 8314   − cmin 8449   # cap 8860   / cdiv 8951  ℕcn 9242  2c2 9293  3c3 9294  4c4 9295  6c6 9297  ℕ₀cn0 9501  ℤcz 9582  ℤ_≥cuz 9859  (,]cioc 10228  ↑cexp 10907  !cfa 11095  ℜcre 11533  abscabs 11690  Σcsu 12046  cosccos 12339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251  ax-caucvg 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-oadd 6653  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-q 9958  df-rp 9993  df-ioc 10232  df-ico 10233  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-seqfrec 10817  df-exp 10908  df-fac 11096  df-ihash 11147  df-shft 11508  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-rsqrt 11691  df-abs 11692  df-clim 11972  df-sumdc 12047  df-ef 12342  df-cos 12345

This theorem is referenced by:  cos1bnd  12453  cos01gt0  12457  tangtx  15752