Theorem fz0to4untppr 10190

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9042	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2cn 9053	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	2	addid2i 8162	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
4	3	eqcomi 2197	. . . . . 6 ⊢ 2 = (0 + 2)
5	4	oveq1i 5928	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = ((0 + 2) + 1)
6	1, 5	eqtri 2214	. . . 4 ⊢ 3 = ((0 + 2) + 1)
7		3z 9346	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
8		0re 8019	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		3re 9056	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
10		3pos 9076	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
11	8, 9, 10	ltleii 8122	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
12		0z 9328	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
13	12	eluz1i 9599	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
14	7, 11, 13	mpbir2an 944	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
15	6, 14	eqeltrri 2267	. . 3 ⊢ ((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
16		4z 9347	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
17		2re 9052	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		4re 9059	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
19		2lt4 9155	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
20	17, 18, 19	ltleii 8122	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
21		2z 9345	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
22	21	eluz1i 9599	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
23	16, 20, 22	mpbir2an 944	. . . 4 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
24	4	fveq2i 5557	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(0 + 2))
25	23, 24	eleqtri 2268	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘(0 + 2))
26		fzsplit2 10116	. . 3 ⊢ ((((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘(0 + 2))) → (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)))
27	15, 25, 26	mp2an 426	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4))
28		fztp 10144	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
29	12, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
30		ax-1cn 7965	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
31		eqidd 2194	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → 0 = 0)
32		addlid 8158	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (0 + 1) = 1)
33	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (0 + 2) = 2)
34	31, 32, 33	tpeq123d 3710	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
35	30, 34	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2}
36	29, 35	eqtri 2214	. . 3 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
37	3	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
38	37	oveq1d 5933	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = (2 + 1))
39	38, 1	eqtr4di 2244	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = 3)
40	39	oveq1d 5933	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = (3...4))
41		eqid 2193	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = 3
42		df-4 9043	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
43	41, 42	pm3.2i 272	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))
44	43	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
45		3lt4 9154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 < 4
46	9, 18, 45	ltleii 8122	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≤ 4
47	7	eluz1i 9599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
48	16, 46, 47	mpbir2an 944	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘3)
49		fzopth 10127	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) → ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
51	44, 50	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = (3...(3 + 1)))
52		fzpr 10143	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
53	51, 52	eqtrd 2226	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, (3 + 1)})
54	42	eqcomi 2197	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
55	54	preq2i 3699	. . . . . 6 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
56	53, 55	eqtrdi 2242	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, 4})
57	40, 56	eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4})
58	7, 57	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4}
59	36, 58	uneq12i 3311	. 2 ⊢ ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
60	27, 59	eqtri 2214	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ∪ cun 3151  {cpr 3619  {ctp 3620   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   ≤ cle 8055  2c2 9033  3c3 9034  4c4 9035  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592  ...cfz 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075

This theorem is referenced by:  prm23lt5  12401