Theorem fz0to4untppr 10033

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 8899	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2cn 8910	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	2	addid2i 8023	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
4	3	eqcomi 2161	. . . . . 6 ⊢ 2 = (0 + 2)
5	4	oveq1i 5837	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = ((0 + 2) + 1)
6	1, 5	eqtri 2178	. . . 4 ⊢ 3 = ((0 + 2) + 1)
7		3z 9202	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
8		0re 7881	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		3re 8913	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
10		3pos 8933	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
11	8, 9, 10	ltleii 7983	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
12		0z 9184	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
13	12	eluz1i 9452	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
14	7, 11, 13	mpbir2an 927	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
15	6, 14	eqeltrri 2231	. . 3 ⊢ ((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
16		4z 9203	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
17		2re 8909	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		4re 8916	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
19		2lt4 9012	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
20	17, 18, 19	ltleii 7983	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
21		2z 9201	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
22	21	eluz1i 9452	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
23	16, 20, 22	mpbir2an 927	. . . 4 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
24	4	fveq2i 5474	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(0 + 2))
25	23, 24	eleqtri 2232	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘(0 + 2))
26		fzsplit2 9959	. . 3 ⊢ ((((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘(0 + 2))) → (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)))
27	15, 25, 26	mp2an 423	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4))
28		fztp 9987	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
29	12, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
30		ax-1cn 7828	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
31		eqidd 2158	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → 0 = 0)
32		addid2 8019	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (0 + 1) = 1)
33	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (0 + 2) = 2)
34	31, 32, 33	tpeq123d 3653	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
35	30, 34	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2}
36	29, 35	eqtri 2178	. . 3 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
37	3	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
38	37	oveq1d 5842	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = (2 + 1))
39	38, 1	eqtr4di 2208	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = 3)
40	39	oveq1d 5842	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = (3...4))
41		eqid 2157	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = 3
42		df-4 8900	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
43	41, 42	pm3.2i 270	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))
44	43	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
45		3lt4 9011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 < 4
46	9, 18, 45	ltleii 7983	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≤ 4
47	7	eluz1i 9452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
48	16, 46, 47	mpbir2an 927	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘3)
49		fzopth 9970	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) → ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
51	44, 50	sylibr 133	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = (3...(3 + 1)))
52		fzpr 9986	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
53	51, 52	eqtrd 2190	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, (3 + 1)})
54	42	eqcomi 2161	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
55	54	preq2i 3642	. . . . . 6 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
56	53, 55	eqtrdi 2206	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, 4})
57	40, 56	eqtrd 2190	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4})
58	7, 57	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4}
59	36, 58	uneq12i 3260	. 2 ⊢ ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
60	27, 59	eqtri 2178	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ∪ cun 3100  {cpr 3562  {ctp 3563   class class class wbr 3967  ‘cfv 5173  (class class class)co 5827  ℂcc 7733  0cc0 7735  1c1 7736   + caddc 7738   ≤ cle 7916  2c2 8890  3c3 8891  4c4 8892  ℤcz 9173  ℤ_≥cuz 9445  ...cfz 9919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-addcom 7835  ax-addass 7837  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-tp 3569  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-id 4256  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-fv 5181  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-inn 8840  df-2 8898  df-3 8899  df-4 8900  df-n0 9097  df-z 9174  df-uz 9446  df-fz 9920

This theorem is referenced by:  prm23lt5  12154