Theorem fz0to4untppr 10141

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 8996	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2cn 9007	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	2	addid2i 8117	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
4	3	eqcomi 2192	. . . . . 6 ⊢ 2 = (0 + 2)
5	4	oveq1i 5900	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = ((0 + 2) + 1)
6	1, 5	eqtri 2209	. . . 4 ⊢ 3 = ((0 + 2) + 1)
7		3z 9299	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
8		0re 7974	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		3re 9010	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
10		3pos 9030	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
11	8, 9, 10	ltleii 8077	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
12		0z 9281	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
13	12	eluz1i 9552	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
14	7, 11, 13	mpbir2an 943	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
15	6, 14	eqeltrri 2262	. . 3 ⊢ ((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
16		4z 9300	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
17		2re 9006	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		4re 9013	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
19		2lt4 9109	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
20	17, 18, 19	ltleii 8077	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
21		2z 9298	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
22	21	eluz1i 9552	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
23	16, 20, 22	mpbir2an 943	. . . 4 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
24	4	fveq2i 5532	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(0 + 2))
25	23, 24	eleqtri 2263	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘(0 + 2))
26		fzsplit2 10067	. . 3 ⊢ ((((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘(0 + 2))) → (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)))
27	15, 25, 26	mp2an 426	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4))
28		fztp 10095	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
29	12, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
30		ax-1cn 7921	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
31		eqidd 2189	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → 0 = 0)
32		addlid 8113	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (0 + 1) = 1)
33	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (0 + 2) = 2)
34	31, 32, 33	tpeq123d 3698	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
35	30, 34	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2}
36	29, 35	eqtri 2209	. . 3 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
37	3	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
38	37	oveq1d 5905	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = (2 + 1))
39	38, 1	eqtr4di 2239	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = 3)
40	39	oveq1d 5905	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = (3...4))
41		eqid 2188	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = 3
42		df-4 8997	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
43	41, 42	pm3.2i 272	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))
44	43	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
45		3lt4 9108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 < 4
46	9, 18, 45	ltleii 8077	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≤ 4
47	7	eluz1i 9552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
48	16, 46, 47	mpbir2an 943	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘3)
49		fzopth 10078	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) → ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
51	44, 50	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = (3...(3 + 1)))
52		fzpr 10094	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
53	51, 52	eqtrd 2221	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, (3 + 1)})
54	42	eqcomi 2192	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
55	54	preq2i 3687	. . . . . 6 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
56	53, 55	eqtrdi 2237	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, 4})
57	40, 56	eqtrd 2221	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4})
58	7, 57	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4}
59	36, 58	uneq12i 3301	. 2 ⊢ ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
60	27, 59	eqtri 2209	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2159   ∪ cun 3141  {cpr 3607  {ctp 3608   class class class wbr 4017  ‘cfv 5230  (class class class)co 5890  ℂcc 7826  0cc0 7828  1c1 7829   + caddc 7831   ≤ cle 8010  2c2 8987  3c3 8988  4c4 8989  ℤcz 9270  ℤ_≥cuz 9545  ...cfz 10025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-addcom 7928  ax-addass 7930  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-tp 3614  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-n0 9194  df-z 9271  df-uz 9546  df-fz 10026

This theorem is referenced by:  prm23lt5  12280