Theorem fz0to4untppr 10421

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9262	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2cn 9273	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	2	addlidi 8381	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
4	3	eqcomi 2235	. . . . . 6 ⊢ 2 = (0 + 2)
5	4	oveq1i 6038	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = ((0 + 2) + 1)
6	1, 5	eqtri 2252	. . . 4 ⊢ 3 = ((0 + 2) + 1)
7		3z 9569	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
8		0re 8239	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		3re 9276	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
10		3pos 9296	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
11	8, 9, 10	ltleii 8341	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
12		0z 9551	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
13	12	eluz1i 9824	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
14	7, 11, 13	mpbir2an 951	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
15	6, 14	eqeltrri 2305	. . 3 ⊢ ((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
16		4z 9570	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
17		2re 9272	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		4re 9279	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
19		2lt4 9376	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
20	17, 18, 19	ltleii 8341	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
21		2z 9568	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
22	21	eluz1i 9824	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
23	16, 20, 22	mpbir2an 951	. . . 4 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
24	4	fveq2i 5651	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(0 + 2))
25	23, 24	eleqtri 2306	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘(0 + 2))
26		fzsplit2 10347	. . 3 ⊢ ((((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘(0 + 2))) → (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)))
27	15, 25, 26	mp2an 426	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4))
28		fztp 10375	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
29	12, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
30		ax-1cn 8185	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
31		eqidd 2232	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → 0 = 0)
32		addlid 8377	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (0 + 1) = 1)
33	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (0 + 2) = 2)
34	31, 32, 33	tpeq123d 3767	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
35	30, 34	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2}
36	29, 35	eqtri 2252	. . 3 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
37	3	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
38	37	oveq1d 6043	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = (2 + 1))
39	38, 1	eqtr4di 2282	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = 3)
40	39	oveq1d 6043	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = (3...4))
41		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = 3
42		df-4 9263	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
43	41, 42	pm3.2i 272	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))
44	43	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
45		3lt4 9375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 < 4
46	9, 18, 45	ltleii 8341	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≤ 4
47	7	eluz1i 9824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
48	16, 46, 47	mpbir2an 951	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘3)
49		fzopth 10358	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) → ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
51	44, 50	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = (3...(3 + 1)))
52		fzpr 10374	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
53	51, 52	eqtrd 2264	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, (3 + 1)})
54	42	eqcomi 2235	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
55	54	preq2i 3756	. . . . . 6 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
56	53, 55	eqtrdi 2280	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, 4})
57	40, 56	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4})
58	7, 57	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4}
59	36, 58	uneq12i 3361	. 2 ⊢ ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
60	27, 59	eqtri 2252	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ∪ cun 3199  {cpr 3674  {ctp 3675   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8090  0cc0 8092  1c1 8093   + caddc 8095   ≤ cle 8274  2c2 9253  3c3 9254  4c4 9255  ℤcz 9540  ℤ_≥cuz 9816  ...cfz 10305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306

This theorem is referenced by:  prm23lt5  12916