Theorem fz0to4untppr 10080

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 8938	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2cn 8949	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	2	addid2i 8062	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
4	3	eqcomi 2174	. . . . . 6 ⊢ 2 = (0 + 2)
5	4	oveq1i 5863	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = ((0 + 2) + 1)
6	1, 5	eqtri 2191	. . . 4 ⊢ 3 = ((0 + 2) + 1)
7		3z 9241	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
8		0re 7920	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		3re 8952	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
10		3pos 8972	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
11	8, 9, 10	ltleii 8022	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
12		0z 9223	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
13	12	eluz1i 9494	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
14	7, 11, 13	mpbir2an 937	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
15	6, 14	eqeltrri 2244	. . 3 ⊢ ((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
16		4z 9242	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
17		2re 8948	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		4re 8955	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
19		2lt4 9051	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
20	17, 18, 19	ltleii 8022	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
21		2z 9240	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
22	21	eluz1i 9494	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
23	16, 20, 22	mpbir2an 937	. . . 4 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
24	4	fveq2i 5499	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(0 + 2))
25	23, 24	eleqtri 2245	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘(0 + 2))
26		fzsplit2 10006	. . 3 ⊢ ((((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘(0 + 2))) → (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)))
27	15, 25, 26	mp2an 424	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4))
28		fztp 10034	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
29	12, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
30		ax-1cn 7867	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
31		eqidd 2171	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → 0 = 0)
32		addid2 8058	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (0 + 1) = 1)
33	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (0 + 2) = 2)
34	31, 32, 33	tpeq123d 3675	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
35	30, 34	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2}
36	29, 35	eqtri 2191	. . 3 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
37	3	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
38	37	oveq1d 5868	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = (2 + 1))
39	38, 1	eqtr4di 2221	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = 3)
40	39	oveq1d 5868	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = (3...4))
41		eqid 2170	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = 3
42		df-4 8939	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
43	41, 42	pm3.2i 270	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))
44	43	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
45		3lt4 9050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 < 4
46	9, 18, 45	ltleii 8022	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≤ 4
47	7	eluz1i 9494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
48	16, 46, 47	mpbir2an 937	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘3)
49		fzopth 10017	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) → ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
51	44, 50	sylibr 133	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = (3...(3 + 1)))
52		fzpr 10033	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
53	51, 52	eqtrd 2203	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, (3 + 1)})
54	42	eqcomi 2174	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
55	54	preq2i 3664	. . . . . 6 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
56	53, 55	eqtrdi 2219	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, 4})
57	40, 56	eqtrd 2203	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4})
58	7, 57	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4}
59	36, 58	uneq12i 3279	. 2 ⊢ ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
60	27, 59	eqtri 2191	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ∪ cun 3119  {cpr 3584  {ctp 3585   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   ≤ cle 7955  2c2 8929  3c3 8930  4c4 8931  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487  ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-tp 3591  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966

This theorem is referenced by:  prm23lt5  12217